En matemáticas , dada una matriz A m × n de rango r , una descomposición de rango o factorización de rango de A es una factorización de A de la forma A = CF , donde C es una matriz m × r y F es una matriz r × n .
Existencia
Toda matriz de dimensión finita tiene una descomposición de rango: Sea frijol matriz cuyo rango de columna es. Por lo tanto, hay columnas linealmente independientes en; de manera equivalente, la dimensión del espacio columna de es . Dejarser cualquier base para el espacio de columna de y colocarlos como vectores de columna para formar el matriz . Por lo tanto, cada vector de columna dees una combinación lineal de las columnas de. Para ser precisos, si es un matriz con como el -ésima columna, luego
dónde son los coeficientes escalares de en términos de la base . Esto implica que, dónde es el -th elemento de .
No unicidad
Si es la factorización de rango, tomando y da otra factorización de rango para cualquier matriz invertible de dimensiones compatibles.
Por el contrario, si son dos factorizaciones de rango de , entonces existe una matriz invertible tal que y . [1]
Construcción
Factorización de rango a partir de formas escalonadas de filas reducidas
En la práctica, podemos construir una factorización de rango específico de la siguiente manera: podemos calcular , la forma escalonada reducida de. Luego se obtiene quitando de todas las columnas no pivote (que se pueden determinar buscando columnas en que no contienen un pivote), y se obtiene eliminando cualquier fila de ceros de .
Nota: Para una matriz cuadrada de rango completo (es decir, cuando), este procedimiento producirá el resultado trivial y (la matriz de identidad ).
Ejemplo
Considere la matriz
está en forma de escalón reducido.
Luego se obtiene quitando la tercera columna de , el único que no es una columna pivote, y eliminando la última fila de ceros de , entonces
Es sencillo comprobar que
Prueba
Dejar frijol matriz de permutación tal que en forma de bloques particionados , donde las columnas de son los columnas pivote de . Cada columna de es una combinación lineal de las columnas de , entonces hay una matriz tal que , donde las columnas de contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Entonces, siendo el matriz de identidad. Mostraremos ahora que.
Transformando en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz que es un producto de matrices elementales , entonces, dónde . Entonces podemos escribir, que nos permite identificar , es decir, el distinto de cero filas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación en las columnas que hicimos para . Así tenemos, y desde es invertible esto implica , y la prueba está completa.
Valor singular de descomposición
También se puede construir una factorización de rango completo de mediante el uso de su descomposición de valor singular
Desde es una matriz de rango de columna completa y es una matriz de rango de fila completa, podemos tomar y .
Consecuencias
rango (A) = rango (A T )
Una consecuencia inmediata de la factorización de rango es que el rango de es igual al rango de su transposición . Dado que las columnas de son las filas de , el rango de columna dees igual a su rango de fila . [2]
Prueba: para ver por qué esto es cierto, primero definamos el rango como el rango medio de la columna. Desde, resulta que . De la definición de multiplicación de matrices , esto significa que cada columna dees una combinación lineal de las columnas de. Por lo tanto, el espacio de columna de está contenido dentro del espacio de columna de y por lo tanto, .
Ahora, es , entonces hay columnas en y por lo tanto, . Esto prueba que.
Ahora aplique el resultado a para obtener la desigualdad inversa: ya que , podemos escribir . Esto demuestra.
Por tanto, hemos probado y , entonces . (Vea también la primera prueba en Rango (álgebra lineal) § Pruebas de que rango de columna = rango de fila ).
Notas
- ^ Piziak, R .; Odell, PL (1 de junio de 1999). "Factorización de rango completo de matrices". Revista de Matemáticas . 72 (3): 193. doi : 10.2307 / 2690882 . JSTOR 2690882 .
- ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis de matrices para estadística , Textos en ciencia estadística (1a ed.), Chapman y Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
Referencias
- Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis de matrices para estadística , Textos en ciencia estadística (1a ed.), Chapman y Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
- Lay, David C. (2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3a ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4
- Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales , Estudios Johns Hopkins en Ciencias Matemáticas (3.a ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
- Stewart, Gilbert W. (1998), Algoritmos de matriz. I. Descomposiciones básicas , SIAM, ISBN 978-0-89871-414-2
- Piziak, R .; Odell, PL (1 de junio de 1999). "Factorización de rango completo de matrices". Revista de Matemáticas . 72 (3): 193. doi : 10.2307 / 2690882 . JSTOR 2690882 .