En matemáticas combinatorias , un diseño de bloques es una estructura de incidencia que consiste en un conjunto junto con una familia de subconjuntos conocidos como bloques , elegidos de tal manera que la frecuencia de los elementos satisfaga ciertas condiciones que hacen que la colección de bloques muestre simetría (equilibrio). Tienen aplicaciones en muchas áreas, incluido el diseño experimental , la geometría finita , la química física , las pruebas de software , la criptografía y la geometría algebraica .
Sin más especificaciones el término diseño de bloques suele referirse a un diseño de bloques incompletos balanceados ( BIBD ), en concreto (y también como sinónimo) un diseño en 2, que ha sido el tipo más intensamente estudiado históricamente debido a su aplicación en el diseño de experimentos . [1] [2] Su generalización se conoce como diseño en t .
Se dice que un diseño está balanceado (hasta t ) si todos los t -subconjuntos del conjunto original ocurren en la misma cantidad (es decir, λ ) de bloques. Cuando no se especifica t , normalmente se puede suponer que es 2, lo que significa que cada par de elementos se encuentra en el mismo número de bloques y el diseño está equilibrado por pares . Para t = 1, cada elemento aparece en el mismo número de bloques (el número de reproducción , denotado r ) y se dice que el diseño es regular . Cualquier diseño equilibrado hasta t también está equilibrado en todos los valores inferiores de t(aunque con diferentes valores de λ ), por lo que, por ejemplo, un diseño equilibrado por pares ( t = 2) también es regular ( t = 1). Cuando falla el requisito de equilibrio, un diseño aún puede estar parcialmente equilibrado si los t -subconjuntos se pueden dividir en n clases, cada una con su propio (diferente) valor λ . Para t =2 estos se conocen como diseños PBIBD( n ) , cuyas clases forman un esquema de asociación .
Generalmente se dice (o se asume) que los diseños están incompletos , lo que significa que ningún bloque contiene todos los elementos del conjunto, descartando así un diseño trivial.
Un diseño de bloques en el que todos los bloques tienen el mismo tamaño (generalmente indicado como k ) se llama uniforme o propio . Los diseños discutidos en este artículo son todos uniformes. También se han estudiado diseños de bloques que no son necesariamente uniformes; para t = 2 se conocen en la literatura con el nombre general de diseños balanceados por pares (PBD).
Los diseños de bloques pueden o no tener bloques repetidos. Los diseños sin bloques repetidos se denominan simples , [3] en cuyo caso la "familia" de bloques es un conjunto en lugar de un conjunto múltiple .