La teoría del diseño combinatorio es la parte de la matemática combinatoria que se ocupa de la existencia, construcción y propiedades de sistemas de conjuntos finitos cuyas disposiciones satisfacen conceptos generalizados de equilibrio y / o simetría . Estos conceptos no son precisos de modo que se pueda pensar en una amplia gama de objetos bajo el mismo paraguas. A veces, esto podría involucrar los tamaños numéricos de las intersecciones de conjuntos como en los diseños de bloques , mientras que en otras ocasiones podría involucrar la disposición espacial de las entradas en una matriz como en las cuadrículas de sudoku .
La teoría del diseño combinatorio se puede aplicar al área del diseño de experimentos . Parte de la teoría básica de los diseños combinatorios se originó en el trabajo del estadístico Ronald Fisher sobre el diseño de experimentos biológicos. Las aplicaciones modernas también se encuentran en una amplia gama de áreas, incluyendo la geometría finita , la programación de torneo , loterías , química matemática , biología matemática , el diseño de algoritmos y análisis , la creación de redes , las pruebas de grupo y la criptografía . [1]
Ejemplo
Dado un cierto número n de personas, ¿es posible asignarlos a conjuntos de modo que cada persona esté en al menos un conjunto, cada par de personas esté en exactamente un conjunto juntos, cada dos conjuntos tengan exactamente una persona en común y no el conjunto contiene a todos, a todos menos a una persona, o exactamente a una persona? La respuesta depende de n .
Esto tiene una solución solo si n tiene la forma q 2 + q + 1. Es menos simple demostrar que existe una solución si q es una potencia prima . Se conjetura que estas son las únicas soluciones. Además, se ha demostrado que si existe una solución para q congruente con 1 o 2 mod 4, entonces q es una suma de dos números cuadrados . Este último resultado, el teorema de Bruck-Ryser , se demuestra mediante una combinación de métodos constructivos basados en campos finitos y una aplicación de formas cuadráticas .
Cuando existe tal estructura, se denomina plano proyectivo finito ; mostrando así cómo se cruzan la geometría finita y la combinatoria. Cuando q = 2, el plano proyectivo se llama plano de Fano .
Historia
Los diseños combinatorios datan de la antigüedad, siendo el cuadrado Lo Shu uno de los primeros cuadrados mágicos . Una de las primeras aplicaciones datables del diseño combinatorio se encuentra en la India en el libro Brhat Samhita de Varahamihira, escrito alrededor del 587 d.C., con el propósito de hacer perfumes usando 4 sustancias seleccionadas de 16 sustancias diferentes usando un cuadrado mágico. [2]
Los diseños combinatorios se desarrollaron junto con el crecimiento general de la combinatoria a partir del siglo XVIII, por ejemplo, con cuadrados latinos en el siglo XVIII y sistemas Steiner en el siglo XIX. Los diseños también han sido populares en matemáticas recreativas , como el problema de colegiala de Kirkman (1850), y en problemas prácticos, como la programación de torneos rotativos (solución publicada en la década de 1880). En el siglo XX, los diseños se aplicaron al diseño de experimentos , especialmente cuadrados latinos, geometría finita y esquemas de asociación , dando lugar al campo de la estadística algebraica .
Diseños combinatorios fundamentales
El núcleo clásico del tema de diseños combinatorios se basa en diseños de bloques incompletos equilibrados (BIBD) , matrices de Hadamard y diseños de Hadamard , BIBD simétricos , cuadrados latinos , BIBD resolubles , conjuntos de diferencias y diseños equilibrados por pares (PBD). [3] Otros diseños combinatorios están relacionados o se han desarrollado a partir del estudio de estos fundamentales.
- Un diseño de bloque incompleto balanceado o BIBD (generalmente llamado diseño de bloque ) es una colección B de b subconjuntos (llamados bloques ) de un conjunto finito X de v elementos, de manera que cualquier elemento de X está contenido en el mismo número r de bloques, cada bloque tiene el mismo número k de elementos, y cada par de elementos distintos aparecen juntos en el mismo número λ de bloques. Los BIBD también se conocen como diseños de 2 y, a menudo, se denominan diseños de 2 ( v , k , λ). Como ejemplo, cuando λ = 1 y b = v , tenemos un plano proyectivo : X es el conjunto de puntos del plano y los bloques son las líneas.
- Un diseño de bloque incompleto balanceado simétrico o SBIBD es un BIBD en el que v = b (el número de puntos es igual al número de bloques). Son la subclase de BIBD más importante y mejor estudiada. Los planos proyectivos, los biplanos y los diseños 2 de Hadamard son todos SBIBD. Son de particular interés ya que son los ejemplos extremos de la desigualdad de Fisher ( b ≥ v ).
- Un BIBD resoluble es un BIBD cuyos bloques se pueden dividir en conjuntos (llamados clases paralelas ), cada uno de los cuales forma una partición del conjunto de puntos del BIBD. El conjunto de clases paralelas se denomina resolución del diseño. Una solución del famoso problema de las 15 colegialas es la resolución de un BIBD con v = 15, k = 3 y λ = 1. [4]
- Un rectángulo latino es una matriz r × n que tiene los números 1, 2, 3, ..., n como entradas (o cualquier otro conjunto de n símbolos distintos) sin que ningún número aparezca más de una vez en cualquier fila o columna donde r ≤ n . Un rectángulo latino de n × n se llama cuadrado latino . Si r < n , entonces es posible agregar n - r filas a un rectángulo latino r × n para formar un cuadrado latino, usando el teorema del matrimonio de Hall . [5]
- Se dice que dos cuadrados latinos de orden n son ortogonales si el conjunto de todos los pares ordenados que consisten en las entradas correspondientes en los dos cuadrados tiene n 2 miembros distintos (todos los pares ordenados posibles ocurren). Un conjunto de cuadrados latinos del mismo orden forma un conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales (MOLS) si cada par de cuadrados latinos del conjunto son ortogonales. Puede haber como máximo n - 1 cuadrados en un conjunto de MOLS de orden n . Se puede utilizar un conjunto de n - 1 MOLS de orden n para construir un plano proyectivo de orden n (y viceversa).
- Un conjunto de diferencias ( v , k , λ) es un subconjunto D de un grupo G tal que el orden de G es v , el tamaño de D es k , y cada elemento no identitario de G puede expresarse como un producto d 1 d 2 −1 de los elementos de D exactamente en formas λ (cuando G se escribe con una operación multiplicativa). [6]
- Si D es un conjunto diferencia, y g en G , entonces g D = { gd : d en D } es también un conjunto diferencia, y se llama un traducen de D . El conjunto de todas las traducciones de un conjunto de diferencias D forma un diseño de bloque simétrico . En tal diseño hay v elementos y v bloques. Cada bloque del diseño consta de k puntos, cada punto está contenido en k bloques. Dos bloques tienen exactamente elementos λ en común y dos puntos aparecen juntos en bloques λ. Este SBIBD se llama el desarrollo de D . [7]
- En particular, si λ = 1, entonces el conjunto de diferencias da lugar a un plano proyectivo . Un ejemplo de una diferencia (7,3,1) establecida en el grupo (un grupo abeliano escrito de forma aditiva) es el subconjunto {1,2,4}. El desarrollo de este conjunto diferencial le da al avión Fano .
- Dado que cada conjunto de diferencias da un SBIBD, el conjunto de parámetros debe satisfacer el teorema de Bruck-Ryser-Chowla , pero no todos los SBIBD dan un conjunto de diferencias.
- Una matriz de Hadamard de orden m es una matriz H de m × m cuyas entradas son ± 1 tales que HH ⊤ = m I m , donde H ⊤ es la transpuesta de H e I m es la matriz identidad m × m . Una matriz de Hadamard se puede poner en forma estandarizada (es decir, convertir a una matriz de Hadamard equivalente) donde las entradas de la primera fila y la primera columna son todas +1. Si el orden m > 2 entonces m debe ser un múltiplo de 4.
- Dada una matriz de Hadamard de orden 4 a en forma estandarizada, elimine la primera fila y la primera columna y convierta cada −1 en un 0. La matriz 0-1 resultante M es la matriz de incidencia de un simétrico 2 - (4 a - 1, 2 a - 1, a - 1) diseño llamado Hadamard 2-design . [8] Esta construcción es reversible, y la matriz de incidencia de un diseño 2 simétrico con estos parámetros se puede utilizar para formar una matriz de Hadamard de orden 4 a . Cuando a = 2 obtenemos el, ahora familiar, plano de Fano como un diseño Hadamard 2.
- Un diseño equilibrado por pares (o PBD) es un conjunto X junto con una familia de subconjuntos de X (que no necesitan tener el mismo tamaño y pueden contener repeticiones) de modo que cada par de elementos distintos de X está contenido exactamente en λ (un positivo integer) subconjuntos. Se permite que el conjunto X sea uno de los subconjuntos, y si todos los subconjuntos son copias de X , el PBD se denomina trivial . El tamaño de X es v y el número de subconjuntos de la familia (contados con multiplicidad) es b .
- La desigualdad de Fisher es válida para los PBD: [9] Para cualquier PBD no trivial, v ≤ b .
- Este resultado también generaliza el famoso teorema de Erdős-De Bruijn : para un PBD con λ = 1 sin bloques de tamaño 1 o tamaño v , v ≤ b , con igualdad si y solo si el PBD es un plano proyectivo o casi un lápiz . [10]
Otros diseños combinatorios
El Handbook of Combinatorial Designs ( Colbourn & Dinitz 2007 ) tiene, entre otros, 65 capítulos, cada uno dedicado a un diseño combinatorio diferente a los mencionados anteriormente. A continuación se proporciona una lista parcial:
- Esquemas de asociación
- Un diseño ternario balanceado BTD ( V , B ; ρ 1 , ρ 2 , R ; K , Λ) es una disposición de V elementos en B multisets (bloques), cada uno de cardinalidad K ( K ≤ V ), que satisface:
- Cada elemento aparece R = ρ 1 + 2 ρ 2 veces en total, con multiplicidad uno en exactamente ρ 1 bloques y multiplicidad dos en exactamente ρ 2 bloques.
- Cada par de elementos distintos aparece Λ veces (contados con multiplicidad); es decir, si m vb es la multiplicidad del elemento v en el bloque b , entonces para cada par de elementos distintos v y w ,.
- Por ejemplo, uno de los dos únicos BTD no isomórficos (4,8; 2,3,8; 4,6) s (los bloques son columnas) es: [11]
1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 2 |
2 | 3 | 4 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 |
2 | 3 | 4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
- La matriz de incidencia de un BTD (donde las entradas son las multiplicidades de los elementos en los bloques) se puede utilizar para formar un código ternario de corrección de errores análogo a la forma en que se forman los códigos binarios a partir de las matrices de incidencia de los BIBD. [12]
- A diseño torneo equilibrado de ordenn(a BTD (n)) es una disposición de todos los pares no ordenadas distintas de un 2n-setVen unn × (2n - 1) matriz de modo que
- cada elemento de V aparece precisamente una vez en cada columna, y
- cada elemento de V aparece como máximo dos veces en cada fila.
- Un ejemplo de BTD (3) viene dado por
dieciséis | 3 5 | 2 3 | 4 5 | 2 4 |
2 5 | 4 6 | 1 4 | 1 3 | 3 6 |
3 4 | 1 2 | 5 6 | 2 6 | 15 |
- Las columnas de un BTD ( n ) proporcionan una factorización 1 del gráfico completo en 2 n vértices, K 2 n . [13]
- Los BTD ( n ) se pueden utilizar para programar torneos de todos contra todos : las filas representan las ubicaciones, las columnas las rondas de juego y las entradas son los jugadores o equipos que compiten.
- Funciones dobladas
- Arreglos costas
- Diseños factoriales
- Un cuadrado de frecuencia ( F- cuadrado ) es una generalización de orden superior de un cuadrado latino . Sea S = { s 1 , s 2 , ..., s m } un conjunto de símbolos distintos y (λ 1 , λ 2 , ..., λ m ) un vector de frecuencia de enteros positivos. Un cuadrado de frecuencia de orden n es una matriz n × n en la que cada símbolo s i aparece λ i veces, i = 1,2, ..., m, en cada fila y columna. El orden n = λ 1 + λ 2 + ... + λ m . Un cuadrado F está en forma estándar si en la primera fila y columna, todas las apariciones de s i preceden a las de s j siempre que i < j .
- Un cuadrado de frecuencia F 1 de orden n basado en el conjunto { s 1 , s 2 , ..., s m } con vector de frecuencia ( λ 1 , λ 2 , ..., λ m ) y un cuadrado de frecuencia F 2 , también de orden n , basados en el conjunto { t 1 , t 2 , ..., t k } con vector de frecuencia ( μ 1 , μ 2 , ..., μ k ) son ortogonales si cada par ordenado ( s i , t j ) aparece precisamente λ i μ j veces cuando F 1 y F 2 se superponen.
- Los sistemas triples Hall (HTS) son sistemas triples Steiner (STS) (pero los bloques se llaman líneas ) con la propiedad de que la subestructura generada por dos líneas que se cruzan es isomorfa al plano afín finito AG (2,3).
- Cualquier espacio afín AG ( n , 3) da un ejemplo de un HTS. Tal HTS es un HTS afín . También existen HTS no refinados.
- El número de puntos de un HTS es 3 m para algún número entero m ≥ 2. Existen HTS no refinados para cualquier m ≥ 4 y no existen para m = 2 o 3. [14]
- Cada sistema triple de Steiner es equivalente a un cuasigrupo de Steiner ( idempotente , conmutativo y satisfactorio ( xy ) y = x para todo x e y ). Un sistema triple de Hall es equivalente a un cuasigrupo de Steiner que es distributivo , es decir, satisface a ( xy ) = ( ax ) ( ay ) para todo a , x , y en el cuasigrupo. [15]
- Sea S un conjunto de 2 n elementos. Un diseño de Howell , H ( s , 2 n ) (en el conjunto de símbolos S ) es una matriz s × s tal que:
- Cada celda de la matriz está vacía o contiene un par desordenado de S ,
- Cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y columna de la matriz, y
- Cada par de símbolos desordenados se produce como máximo en una celda de la matriz.
- Un ejemplo de H (4,6) es
0 4 | 1 3 | 2 5 | |
2 3 | 1 4 | 0 5 | |
3 5 | 2 4 | 0 1 | |
15 | 0 2 | 3 4 |
- Un H (2 n - 1, 2 n ) es un cuadrado de habitación de lado 2 n - 1 y, por lo tanto, los diseños de Howell generalizan el concepto de cuadrados de habitación.
- Los pares de símbolos en las células de un diseño Howell pueden ser considerados como los bordes de una s grafo regular sobre 2 n vértices, llamados el gráfico subyacente del diseño Howell.
- Los diseños cíclicos de Howell se utilizan como movimientos de Howell en torneos de bridge duplicados. Las filas del diseño representan las rondas, las columnas representan los tableros y las diagonales representan las tablas. [dieciséis]
- Espacios lineales
- Un diseño de ( n , k , p , t ) -lotto es un n -conjunto V de elementos junto con un conjunto β de k -elementos subconjuntos de V (bloques), de modo que para cualquier p -subconjunto P de V , hay un bloque B en β para el cual | P ∩ B | ≥ t . L ( n , k , p , t ) denota el menor número de bloques en cualquier diseño de lote ( n , k , p , t ). El siguiente es un diseño de lote (7,5,4,3) con el menor número posible de bloques: [17]
- {1,2,3,4,7} {1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}.
- Los diseños de lotería modelan cualquier lotería que se ejecute de la siguiente manera: Los individuos compran boletos que consisten en k números elegidos de un conjunto de n números. En cierto punto, se detiene la venta de boletos y se selecciona aleatoriamente un conjunto de p números entre los n números. Estos son los números ganadores . Si alguna entrada vendida contiene t o más de los números ganadores, se da un premio al titular del billete. Los premios más grandes se destinan a entradas con más partidos. El valor de L ( n , k , p , t ) es de interés tanto para los jugadores como para los investigadores, ya que es el menor número de entradas que se necesitan comprar para garantizar un premio.
- La Lotería Húngara tiene un diseño de (90,5,5, t ) -lotto y se sabe que L (90,5,5,2) = 100. Las loterías con parámetros (49,6,6, t ) también son populares en todo el mundo y se sabe que L (49,6,6,2) = 19. Sin embargo, en general, estos números son difíciles de calcular y siguen siendo desconocidos. [18]
- Una construcción geométrica de uno de esos diseños se da en la lotería de Transilvania .
- Cuadrados magicos
- Un diseño ( v , k , λ ) -Mendelsohn , o MD ( v , k , λ ), es un v -set V y una colección β de k -tuplas ordenadas de distintos elementos de V (llamados bloques ), de modo que cada el par ordenado ( x , y ) con x ≠ y de elementos de V es cíclicamente adyacente en bloques λ . El par ordenado ( x , y ) de elementos distintos es cíclicamente adyacente en un bloque si los elementos aparecen en el bloque como (..., x , y , ...) o ( y , ..., x ). Un MD ( v , 3, λ ) es un sistema triple de Mendelsohn , MTS ( v , λ ). Un ejemplo de un MTS (4,1) en V = {0,1,2,3} es:
- (0,1,2) (1,0,3) (2,1,3) (0,2,3)
- Cualquier sistema triple se puede convertir en un sistema triple de Mendelson reemplazando el triple desordenado { a , b , c } con el par de triples ordenados ( a , b , c ) y ( a , c , b ), pero como muestra el ejemplo , lo contrario de esta afirmación no es cierto.
- Si ( Q , ∗) es un cuasigrupo idempotente semisimétrico , es decir, x ∗ x = x (idempotente) yx ∗ ( y ∗ x ) = y (semisimétrico) para todo x , y en Q , sea β = {( x , y , x ∗ y ): x , y en Q }. Entonces ( Q , β) es un sistema triple de Mendelsohn MTS (| Q |, 1). Esta construcción es reversible. [19]
- Matrices ortogonales
- Un diseño cuasi-3 es un diseño simétrico (SBIBD) en el que cada triple de bloques se cortan, ya sea en x o Y puntos, para fijos x y y llamó a los números de triples de intersección ( x < y ). Cualquier diseño simétrico con λ ≤ 2 es un diseño cuasi-3 con x = 0 e y = 1. El diseño de hiperplano punto de PG ( n , q ) es un diseño cuasi-3 con x = ( q n −2 - 1 ) / ( q - 1) y y = λ = ( q n −1 - 1) / ( q - 1). Si y = λ para un diseño cuasi-3, el diseño es isomorfo a PG ( n , q ) o un plano proyectivo . [20]
- A t - ( v , k , λ ) de diseño D es cuasi-simétrico con números de intersección x y y ( x < Y ) si cada dos bloques distintos de intersección en cualquiera de x o Y puntos. Estos diseños surgen naturalmente en la investigación de los duales de diseños con λ = 1. Un diseño no simétrico ( b > v ) 2- ( v , k , 1) es cuasimétrico con x = 0 e y = 1. Un múltiplo ( repetir todos los bloques un cierto número de veces) de un diseño simétrico 2- ( v , k , λ ) es cuasimétrico con x = λ e y = k . Los 3 diseños de Hadamard (extensiones de los 2 diseños de Hadamard ) son cuasimétricos. [21]
- Cada diseño de bloque cuasimétrico da lugar a un gráfico fuertemente regular (como su gráfico de bloques), pero no todos los SRG surgen de esta manera. [22]
- La matriz de incidencia de un diseño cuasimétrico 2- ( v , k , λ ) con k ≡ x ≡ y (mod 2) genera un código binario auto-ortogonal (cuando se limita si k es impar). [23]
- Cuadrados de habitación
- Un diseño esférico es un conjunto finito X de puntos en una esfera ( d - 1) -dimensional tal que, para algún número entero t , el valor promedio en X de cada polinomio
- del grado total como máximo t es igual al valor promedio de f en toda la esfera, es decir, la integral de f dividida por el área de la esfera.
- Sistemas Turán
- Un rectángulo r × n toscano- k en n símbolos tiene r filas yn columnas de manera que:
- cada fila es una permutación de los n símbolos y
- para cualquier par de símbolos distintos a y b y para cada m de 1 a k , hay como máximo una fila en la que b es m pasos a la derecha de una .
- Si r = n y k = 1, estos se denominan cuadrados toscanos , mientras que si r = n y k = n - 1 son cuadrados florentinos . Un cuadrado romano es un cuadrado toscano que también es un cuadrado latino (también se conocen como cuadrados latinos completos en fila ). Una plaza del Vaticano es una plaza florentina que también es una plaza latina.
- El siguiente ejemplo es un cuadrado toscano-1 con 7 símbolos que no es toscano-2: [24]
6 | 1 | 5 | 2 | 4 | 3 | 7 |
2 | 6 | 3 | 5 | 4 | 7 | 1 |
5 | 7 | 2 | 3 | 1 | 4 | 6 |
4 | 2 | 5 | 1 | 6 | 7 | 3 |
3 | 6 | 2 | 1 | 7 | 4 | 5 |
1 | 3 | 2 | 7 | 5 | 6 | 4 |
7 | 6 | 5 | 3 | 4 | 1 | 2 |
- Un cuadrado toscano con n símbolos equivale a una descomposición del gráfico completo con n vértices en n trayectorias dirigidas hamiltonianas. [25]
- En una secuencia de impresiones visuales, una tarjeta flash puede tener algún efecto sobre la impresión que da la siguiente. Este sesgo se puede cancelar utilizando n secuencias correspondientes a las filas de un cuadrado n × n toscano-1. [26]
- Un diseño equilibrado t-sabio ( ot BD) de tipo t - ( v , K, λ ) es un v -set X junto con una familia de subconjuntos de X (llamados bloques ) cuyos tamaños están en el conjunto K, tal que cada t -subconjunto de elementos distintos de X está contenido exactamente en bloques λ . Si K es un conjunto de enteros positivos estrictamente entre t y v , entonces t BD es propio . Si todos los k -subconjuntos de X para algunos k son bloques, el t BD es un diseño trivial . [27]
- Observe que en el siguiente ejemplo de un diseño 3- {12, {4,6}, 1) basado en el conjunto X = {1,2, ..., 12}, algunos pares aparecen cuatro veces (como 1, 2) mientras que otros aparecen cinco veces (6,12 por ejemplo). [28]
- 1 2 3 4 5 6 1 2 7 8 1 2 9 11 1 2 10 12 3 5 7 8 3 5 9 11 3 5 10 12 4 6 7 8 4 6 9 11 4 6 10 12
- 7 8 9 10 11 12 2 3 8 9 2 3 10 7 2 3 11 12 4 1 8 9 4 1 10 7 4 1 11 12 5 6 8 9 5 6 10 7 5 6 11 12
- 3 4 9 10 3 4 11 8 3 4 7 12 5 2 9 10 5 2 11 8 5 2 7 12 1 6 9 10 1 6 11 8 1 6 7 12
- 4 5 10 11 4 5 7 9 4 5 8 12 1 3 10 11 1 3 7 9 1 3 8 12 2 6 10 11 2 6 7 9 2 6 8 12
- 5 1 11 7 5 1 8 10 5 1 9 12 2 4 11 7 2 4 8 10 2 4 9 12 3 6 11 7 3 6 8 10 3 6 9 12
- Un cuadrado de Youden es una matriz rectangular k × v ( k < v ) de v símbolos de modo que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y los símbolos que aparecen en cualquier columna forman un bloque de diseño simétrico ( v , k , λ ), todos los bloques de los cuales ocurren de esta manera. Un cuadrado de Youden es un rectángulo latino. El término "cuadrado" en el nombre proviene de una definición anterior que usaba una matriz cuadrada. [29] Un ejemplo de un cuadrado de Youden de 4 × 7 viene dado por:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 1 | 2 |
5 | 6 | 7 | 1 | 2 | 3 | 4 |
- Los siete bloques (columnas) forman el biplano de orden 2 (un diseño simétrico (7,4,2)).
Ver también
- Estadística algebraica
- Hypergraph
- Conjetura de Williamson
Notas
- ^ Stinson 2003 , pág.1
- ^ Hayashi, Takao (2008). "Cuadrados mágicos en matemáticas indias". Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en las culturas no occidentales (2 ed.). Saltador. págs. 1252-1259. doi : 10.1007 / 978-1-4020-4425-0_9778 .
- ^ Stinson 2003 , pág. IX
- ^ Beth, Jungnickel y Lenz 1986 , pág. 40 Ejemplo 5.8
- ^ Ryser 1963 , pág. 52, Teorema 3.1
- ^ Cuando el grupo G es un grupo abeliano (o escrito de forma aditiva), la propiedad definitoria se ve como d 1 –d 2 de donde proviene el término conjunto de diferencias .
- ^ Beth, Jungnickel y Lenz 1986 , pág. 262, Teorema 1.6
- ^ Stinson 2003 , pág. 74, teorema 4.5
- ^ Stinson 2003 , pág. 193, Teorema 8.20
- ^ Stinson 2003 , pág. 183, Teorema 8.5
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 331, ejemplo 2.2
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 331, Observación 2.8
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 333, Observación 3.3
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 496, Teorema 28.5
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 497, Teorema 28.15
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 503, Observación 29.38
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 512, ejemplo 32.4
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 512, observación 32,3
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 530, Teorema 35.15
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 577, Teorema 47.15
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , págs. 578-579
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 579, Teorema 48.10
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 580, Lema 48.22
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 652, ejemplos 62.4
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 655, Teorema 62.24
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 657, Observación 62.29
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 657
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 658, ejemplo 63.5
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 669, Observación 65,3
Referencias
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- Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter ; Lenz, Hanfried (1986), teoría del diseño , Cambridge University Press. 2ª ed. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3 .
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