En física e ingeniería , las rotaciones encadenadas de Davenport son tres rotaciones intrínsecas encadenadas sobre ejes específicos fijos al cuerpo. Las rotaciones de Euler y las rotaciones de Tait-Bryan son casos particulares de la descomposición de la rotación general de Davenport. Los ángulos de rotación se denominan ángulos de Davenport porque Paul B. Davenport estudió primero el problema general de descomponer una rotación en una secuencia de tres. [1]
Puede imaginarse que el sistema de coordenadas giratorio no ortogonal está unido rígidamente a un cuerpo rígido. En este caso, a veces se denomina sistema de coordenadas local . Siendo ejes de rotación son solidarios con el cuerpo en movimiento, las rotaciones generalizadas se pueden dividir en dos grupos (aquí x , y y z se refieren al bastidor móvil no ortogonal):
- Rotaciones de Euler generalizadas
- ( zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy )
- Rotaciones generalizadas de Tait-Bryan
- ( xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz ) .
La mayoría de los casos pertenecen al segundo grupo, siendo las rotaciones de Euler generalizadas un caso degenerado en el que el primer y tercer eje se superponen.
Teorema de rotación de Davenport
El problema general de descomponer una rotación en tres movimientos compuestos sobre ejes intrínsecos fue estudiado por P. Davenport, bajo el nombre de " ángulos de Euler generalizados ", pero más tarde estos ángulos fueron nombrados "ángulos de Davenport" por M. Shuster y L. Markley. [2]
El problema general consiste en obtener la descomposición matricial de una rotación dados los tres ejes conocidos. En algunos casos se repite uno de los ejes. Este problema es equivalente a un problema de descomposición de matrices. [3]
Davenport demostró que se puede lograr cualquier orientación componiendo tres rotaciones elementales utilizando ejes no ortogonales. Las rotaciones elementales pueden ocurrir alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijas ( rotaciones extrínsecas ) o alrededor de los ejes de un sistema de coordenadas rotativas, que inicialmente se alinea con el fijo y modifica su orientación después de cada rotación elemental ( rotaciones intrínsecas ).
Según el teorema de Davenport, una descomposición única es posible si y solo si el segundo eje es perpendicular a los otros dos ejes. Por lo tanto, los ejes 1 y 3 deben estar en el plano ortogonal al eje 2. [4]
Por lo tanto, las descomposiciones en rotaciones encadenadas de Euler y las rotaciones encadenadas de Tait-Bryan son casos particulares de esto. El caso de Tait-Bryan aparece cuando los ejes 1 y 3 son perpendiculares y el caso de Euler aparece cuando se superponen.
Sistema completo de rotaciones
Se dice que un conjunto de rotaciones de Davenport está completo si es suficiente para generar cualquier rotación del espacio por composición. Hablando en términos matriciales, es completo si puede generar cualquier matriz ortonormal del espacio, cuyo determinante es +1. Debido a la no conmutatividad del producto matriz, se debe pedir el sistema de rotación.
A veces, el orden lo impone la geometría del problema subyacente. Por ejemplo, cuando se usa para vehículos, que tienen un eje especial que apunta a la dirección "hacia adelante", solo una de las seis combinaciones posibles de rotaciones es útil. La interesante composición es la que permite controlar el rumbo y la elevación de la aeronave con una rotación independiente cada uno.
En el dibujo adyacente, la composición de guiñada, cabeceo y balanceo (YPR) permite ajustar la dirección de una aeronave con los dos primeros ángulos. Una composición diferente como YRP permitiría establecer la dirección del eje de las alas, lo que obviamente no es útil en la mayoría de los casos.
Rotaciones encadenadas de Tait-Bryan
Las rotaciones de Tait-Bryan son un caso especial en el que el primer y tercer eje son perpendiculares entre ellos. Suponiendo un marco de referencia < x , y , z > con una convención como en la imagen 2, y un plano con ejes
Al principio :
- el eje del rodillo plano está en el eje x del marco de referencia
- el eje de paso plano está en el eje y del marco de referencia
- el eje de guiñada plano está en el eje z del marco de referencia
Las rotaciones se aplican en orden de guiñada, cabeceo y balanceo . En estas condiciones, el rumbo (ángulo en el plano horizontal) será igual a la guiñada aplicada y la elevación será igual al paso.
Las expresiones matriciales para las tres rotaciones de Tait-Bryan en 3 dimensiones son:
La matriz de las rotaciones compuestas es
De las seis combinaciones posibles de guiñada, cabeceo y alabeo, esta combinación es la única en la que el rumbo (dirección del eje de alabeo) es igual a una de las rotaciones (la orientación) y la elevación (ángulo del eje de alabeo) con el plano horizontal) es igual a otra de las rotaciones (al tono).
Rotaciones encadenadas de Euler
Las rotaciones de Euler aparecen como el caso especial en el que el primer y tercer eje de rotaciones se superponen. Estas rotaciones de Euler están relacionadas con los ángulos de Euler adecuados, que se pensaba que estudiaban el movimiento de un cuerpo rígido como un planeta. El ángulo para definir la dirección del eje de balance se denomina normalmente "longitud del eje de revolución" o "longitud de la línea de nodos" en lugar de "rumbo", lo que no tiene sentido para un planeta.
De todos modos, las rotaciones de Euler todavía se pueden usar cuando se habla de un vehículo, aunque tendrán un comportamiento extraño. Como el eje vertical es el origen de los ángulos, se denomina "inclinación" en lugar de "elevación". Como antes, al describir la actitud de un vehículo, hay un eje que se considera que apunta hacia adelante y, por lo tanto, solo una de las posibles combinaciones de rotaciones será útil.
La combinación depende de cómo se toman los ejes y cuál es la posición inicial del plano. Utilizando el del dibujo, y combinando rotaciones de tal forma que se repita un eje, solo roll-pitch-roll permitirá controlar la longitud y la inclinación con una rotación cada una.
Las tres matrices para multiplicar son:
En esta convención Roll 1 impone el "rumbo", Pitch es la "inclinación" (complementaria de la elevación), y Roll 2 impone la "inclinación".
Conversión a rotaciones extrínsecas
Las rotaciones de Davenport se suelen estudiar como una composición de rotación intrínseca, por la importancia de los ejes fijados a un cuerpo en movimiento, pero se pueden convertir a una composición de rotación extrínseca, en caso de que sea más intuitivo.
Cualquier rotación extrínseca equivale a una rotación intrínseca por los mismos ángulos pero con orden invertido de rotaciones elementales y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z ” por los ángulos α , β , γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas zyx por los ángulos γ , β , α . Ambos están representados por una matriz
si R se usa para pre-multiplicar vectores columna , y por una matriz
si R se usa para multiplicar posteriormente los vectores de fila . Consulte Ambigüedades en la definición de matrices de rotación para obtener más detalles.
Relación con los movimientos físicos
Rotaciones intrínsecas
Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas rotativas XYZ , que cambia su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ gira, mientras que xyz está fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación de destino para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación del objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera:
- El sistema XYZ gira α alrededor del eje Z (que coincide con el eje z ). El eje X ahora se encuentra en la línea de nodos.
- El sistema XYZ gira alrededor del eje X ahora girado en β . El eje Z está ahora en su orientación final y el eje X permanece en la línea de nodos.
- El sistema XYZ gira por tercera vez alrededor del nuevo eje Z en γ .
La notación antes mencionada nos permite resumir esto de la siguiente manera: las tres rotaciones elementales del sistema XYZ ocurren alrededor de z , x 'y z ″. De hecho, esta secuencia a menudo se denota z-x'-z ″ . Los conjuntos de ejes de rotación asociados con los ángulos de Euler adecuados y los ángulos de Tait-Bryan se denominan comúnmente usando esta notación (consulte los detalles más arriba). A veces, la misma secuencia se llama simplemente zxz , ZXZ o 3-1-3 , pero esta notación puede ser ambigua, ya que puede ser idéntica a la utilizada para las rotaciones extrínsecas. En este caso, es necesario especificar por separado si las rotaciones son intrínsecas o extrínsecas.
Las matrices de rotación se pueden utilizar para representar una secuencia de rotaciones intrínsecas. Por ejemplo,
representa una composición de rotaciones intrínsecas alrededor de los ejes x-y'-z ″ , si se usa para multiplicar previamente los vectores de columna , mientras que
representa exactamente la misma composición cuando se utiliza para multiplicar posteriormente vectores de fila . Consulte Ambigüedades en la definición de matrices de rotación para obtener más detalles.
Rotaciones extrínsecas
Las rotaciones extrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijas xyz . El sistema XYZ gira, mientras que xyz está fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede usar una composición de tres rotaciones extrínsecas para alcanzar cualquier orientación de destino para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación del objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera:
- El sistema XYZ gira alrededor del eje z en α . El eje X ahora forma un ángulo α con respecto al eje x .
- El sistema XYZ gira nuevamente alrededor del eje x en β . El eje Z ahora forma un ángulo β con respecto al eje z .
- El sistema XYZ gira por tercera vez sobre el eje z en γ .
En suma, las tres rotaciones elementales se producen sobre z , x y z . De hecho, esta secuencia es a menudo denota zxz (o 3-1-3). Los conjuntos de ejes de rotación asociados con los ángulos de Euler adecuados y los ángulos de Tait-Bryan se denominan comúnmente con esta notación (consulte los detalles más arriba).
Las matrices de rotación se pueden utilizar para representar una secuencia de rotaciones extrínsecas. Por ejemplo,
representa una composición de rotaciones extrínsecas alrededor de los ejes xyz , si se usa para multiplicar previamente los vectores de columna , mientras que
representa exactamente la misma composición cuando se utiliza para multiplicar posteriormente vectores de fila . Consulte Ambigüedades en la definición de matrices de rotación para obtener más detalles.
Conversión entre rotaciones intrínsecas y extrínsecas
Cualquier rotación extrínseca equivale a una rotación intrínseca por los mismos ángulos pero con orden invertido de rotaciones elementales y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z ” por los ángulos α , β , γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas zyx por los ángulos γ , β , α . Ambos están representados por una matriz
si R se usa para pre-multiplicar vectores columna , y por una matriz
si R se usa para multiplicar posteriormente los vectores de fila . Consulte Ambigüedades en la definición de matrices de rotación para obtener más detalles.
La prueba de la conversión en el caso de pre-multiplicar
La matriz de rotación de la secuencia de rotación intrínseca x-y'-z ″ se puede obtener mediante las rotaciones secuenciales de los elementos intrínsecos de derecha a izquierda:
En este proceso hay tres cuadros relacionados en la secuencia de rotación intrínseca. Denotemos el fotograma 0 como el fotograma inicial, el fotograma 1 después de la primera rotación alrededor del eje x , el fotograma 2 después de la segunda rotación alrededor del eje y ' y el fotograma 3 como la tercera rotación alrededor del eje z ″ .
Dado que una matriz de rotación se puede representar entre estos tres marcos, usemos el índice del hombro izquierdo para denotar el marco de representación. La siguiente notación significa la matriz de rotación que transforma el marco de una al bastidor b y que se representa en el marco de c :
Una matriz de rotación de elementos intrínsecos representada en ese marco donde ocurre la rotación tiene el mismo valor que el de la matriz de rotación de elementos extrínsecos correspondiente:
La matriz de rotación de elementos intrínsecos Y ' y Z ″ representada en el cuadro 0 se puede expresar como otras formas:
Las dos ecuaciones anteriores se sustituyen por la primera ecuación:
Por lo tanto, la matriz de rotación de una secuencia de rotación de elementos intrínsecos es la misma que la de la secuencia de rotación de elementos extrínsecos inversa:
Ver también
Referencias
- ^ PB Davenport, Rotaciones sobre ejes no ortogonales
- ^ M. Shuster y L. Markley, Generalización de ángulos de Euler, Revista de Ciencias Astronáuticas, Vol. 51, núm. 2, abril-junio de 2003, págs. 123-123
- ^ J. Wittenburg, L. Lilov, Descomposición de una rotación finita en tres rotaciones sobre ejes dados [1]
- ^ M. Shuster y L. Markley, Generalización de ángulos de Euler, Revista de Ciencias Astronáuticas, Vol. 51, núm. 2, abril-junio de 2003, págs. 123-123