En matemáticas , los grupos de cohomología de Tate son una forma ligeramente modificada de los grupos de cohomología habituales de un grupo finito que combina grupos de homología y cohomología en una secuencia. Fueron introducidos por John Tate ( 1952 , p. 297) y se utilizan en la teoría de campo de clases .
Definición
Si G es un grupo finito y A un módulo G , entonces hay un mapa natural N de a teniendo un representante de una de(la suma de todos los G -conjugados de a ). Los grupos de cohomología de Tate están definidos por
- por ,
- cociente de por normas de elementos de A ,
- cociente de la norma 0 elementos de A por elementos principales de A ,
- por .
Propiedades
- Si
es una breve secuencia exacta de módulos G , luego obtenemos la secuencia larga exacta habitual de grupos de cohomología de Tate:
- Si A es un módulo G inducido , todos los grupos de cohomología Tate de A desaparecen.
- El grupo cero de cohomología Tate de A es
- (Puntos fijos de G en A ) / (Puntos fijos obvios de G actuando sobre A )
donde por el punto fijo "obvio" nos referimos a los de la forma . En otras palabras, el grupo cohomology de orden cero en cierto sentido se describen los puntos fijos no evidentes de G actúa sobre A .
Los grupos de cohomología de Tate se caracterizan por las tres propiedades anteriores.
Teorema de tate
El teorema de Tate ( Tate 1952 ) da las condiciones para que la multiplicación por una clase de cohomología sea un isomorfismo entre grupos de cohomología. Hay varias versiones ligeramente diferentes; una versión que es particularmente conveniente para la teoría de campos de clases es la siguiente:
Suponga que A es un módulo sobre un grupo finito G y que a es un elemento de, tal que para cada subgrupo E de G
- es trivial, y
- es generado por , Que ha pedido E . Entonces el producto de taza con a es un isomorfismo
para todo n ; en otras palabras, la cohomología Tate calificada de A es isomorfa a la cohomología Tate con coeficientes integrales, con el grado desplazado en 2.
Cohomología Tate-Farrell
F. Thomas Farrell extendió los grupos de cohomología de Tate al caso de todos los grupos G de dimensión cohomológica virtual finita . En la teoría de Farrell, los gruposson isomorfos a los grupos de cohomología habituales siempre que n es mayor que la dimensión cohomológico virtual del grupo G . Los grupos finitos tienen una dimensión cohomológica virtual 0, y en este caso los grupos de cohomología de Farrell son los mismos que los de Tate.
Ver también
Referencias
- MF Atiyah y CTC Wall , "Cohomología de grupos", en Teoría algebraica de números por JWS Cassels, A. Frohlich ISBN 0-12-163251-2 , Capítulo IV. Ver sección 6.
- Brown, Kenneth S. (1982). Cohomología de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 87 . Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6. Señor 0672956 .
- Farrell, F. Thomas (1977). "Una extensión de la cohomología tate a una clase de grupos infinitos". Revista de álgebra pura y aplicada . 10 (2): 153-161. doi : 10.1016 / 0022-4049 (77) 90018-4 . Señor 0470103 .
- Tate, John (1952), "Los grupos de cohomología de dimensiones superiores de la teoría de campos de clase", Annals of Mathematics , 2, 56 : 294-297, doi : 10.2307 / 1969801 , JSTOR 1969801 , MR 0049950