En matemáticas , el cociente de Herbrand es un cociente de órdenes de grupos de cohomología de un grupo cíclico . Fue inventado por Jacques Herbrand . Tiene una aplicación importante en la teoría de campo de clases .
Definición
Si G es un grupo cíclico finito que actúa sobre un módulo G A , entonces los grupos de cohomología H n ( G , A ) tienen un período 2 para n ≥1; en otras palabras
- H norte ( G , A ) = H norte +2 ( G , A ),
un isomorfismo inducido por un producto de copa con un generador de H 2 ( G , Z ). (Si, en cambio, usamos los grupos de cohomología de Tate, la periodicidad se extiende hasta n = 0).
Un módulo de Herbrand es un A para el que los grupos de cohomología son finitos. En este caso, el cociente de Herbrand h ( G , A ) se define como el cociente
- h ( G , A ) = | H 2 ( G , A ) | / | H 1 ( G , A ) |
del orden de los grupos de cohomología pares e impares.
Definición alternativa
El cociente puede definirse para un par de endomorfismos de un grupo abeliano , f y g , que satisfacen la condición fg = gf = 0. Su cociente de marca de fábrica q ( f , g ) se define como
si los dos índices son finitos. Si G es un grupo cíclico con el generador γ actuando sobre un grupo abeliano A , entonces recuperamos la definición anterior tomando f = 1 - γ y g = 1 + γ + γ 2 + ....
Propiedades
- El cociente de Herbrand es multiplicativo en secuencias cortas y exactas . [1] En otras palabras, si
- 0 → A → B → C → 0
es exacta, y dos de los cocientes están definidos, entonces también lo es el tercero y [2]
- h ( G , B ) = h ( G , A ) h ( G , C )
- Si A es finito, entonces h ( G , A ) = 1. [2]
- Para A es un submódulo del G -módulo B de índice finito, si cualquiera de los cocientes está definido, entonces también lo es el otro y son iguales: [1] más generalmente, si hay un G -morfismo A → B con kernel finito y cokernel entonces lo mismo vale. [2]
- Si Z son los números enteros con G actuando trivialmente, entonces h ( G , Z ) = | G |
- Si A es un módulo G generado finitamente , entonces el cociente de Herbrand h ( A ) depende solo del módulo G complejo C ⊗ A (y por lo tanto puede leerse a partir del carácter de esta representación compleja de G ).
Estas propiedades significan que el cociente de Herbrand suele ser relativamente fácil de calcular y, a menudo, mucho más fácil de calcular que los órdenes de cualquiera de los grupos de cohomología individuales.
Ver también
Notas
Referencias
- Atiyah, MF ; Wall, CTC (1967). "Cohomología de grupos". En Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.). Teoría algebraica de números . Prensa académica. Zbl 0153.07403 . Ver sección 8.
- Artin, Emil ; Tate, John (2009). Teoría del campo de clases . AMS Chelsea. pag. 5. ISBN 0-8218-4426-1. Zbl 1179.11040 .
- Cohen, Henri (2007). Teoría de números - Volumen I: Herramientas y ecuaciones diofánticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 239 . Springer-Verlag . págs. 242–248. ISBN 978-0-387-49922-2. Zbl 1119.11001 .
- Janusz, Gerald J. (1973). Campos numéricos algebraicos . Matemática pura y aplicada. 55 . Prensa académica. pag. 142. Zbl 0307.12001 .
- Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Matemáticas. Sci. 62 (2ª edición de la 1ª ed.). Springer-Verlag . págs. 120-121. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 .
- Serre, Jean-Pierre (1979). Campos locales . Textos de Posgrado en Matemáticas. 67 . Traducido por Greenberg, Marvin Jay . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016 .