En matemáticas , dado un grupo G , un G -módulo es un grupo abeliano M en la que G actúa compatibilidad con la estructura de grupo conmutativo en M . Esta noción ampliamente aplicable generaliza la de una representación de G . La (co) homología de grupo proporciona un conjunto importante de herramientas para estudiar módulos G generales.
El término módulo G también se utiliza para la noción más general de un módulo R en el que G actúa linealmente (es decir, como un grupo de automorfismos del módulo R ).
Definición y fundamentos
Sea G un grupo. Un módulo G izquierdo consta de [1] un grupo abeliano M junto con una acción de grupo izquierdo ρ: G × M → M tal que
- g · ( a + b ) = g · a + g · b
donde g · a denota ρ ( g , a ). Un módulo G derecho se define de manera similar. Dado un módulo G izquierdo M , se puede convertir en un módulo G derecho definiendo a · g = g −1 · a .
Una función f : M → N se llama un morfismo de módulos G (o un mapa lineal G , o un homomorfismo G ) si f es tanto un homomorfismo de grupo como G - equivariante .
La colección de módulos G izquierdos (respectivamente derechos) y sus morfismos forman una categoría abeliana G -Mod (resp. Mod- G ). La categoría G - Mod (resp. Mod - G ) se puede identificar con la categoría de módulos ZG izquierdo (resp. Derecho) , es decir, con los módulos sobre el anillo de grupo Z [ G ].
Un submódulo de un G -módulo M es un subgrupo A ⊆ M que es estable bajo la acción de G , es decir, g · un ∈ A para todos g ∈ G y un ∈ A . Dado un submódulo A de M , el cociente módulo M / A es el grupo cociente con la acción g · ( m + A ) = g · m + A .
Ejemplos de
- Dado un grupo G , el grupo abeliano Z es un módulo G con la acción trivial g · a = a .
- Sea M el conjunto de formas cuadráticas binarias f ( x , y ) = ax 2 + 2 bxy + cy 2 con a , b , c enteros , y sea G = SL (2, Z ) (el grupo lineal especial 2 × 2 sobre Z ). Definir
- dónde
- y ( x , y ) g es la multiplicación de matrices . Entonces M es un módulo G estudiado por Gauss . [2] De hecho, tenemos
- Si V es una representación de G sobre un campo K , entonces V es un módulo G (es un grupo abeliano bajo adición).
Grupos topológicos
Si G es un grupo topológico y M es un grupo topológico abeliano, entonces un módulo G topológico es un módulo G donde el mapa de acción G × M → M es continuo (donde la topología del producto se toma en G × M ). [3]
En otras palabras, un módulo G topológico es un grupo topológico abeliano M junto con un mapa continuo G × M → M que satisface las relaciones habituales g ( a + a ′ ) = ga + ga ′ , ( gg ′ ) a = g ( g′a ) y 1 a = a .
Notas
- ^ Curtis, Charles W .; Reiner, Irving (1962), Teoría de representación de grupos finitos y álgebras asociativas , John Wiley & Sons (Reedición 2006 por AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
- ^ Kim, Myung-Hwan (1999), Formas y celosías cuadráticas integrales: Actas de la Conferencia internacional sobre celosías y formas cuadráticas integrales, 15-19 de junio de 1998, Universidad Nacional de Seúl, Corea , American Mathematical Soc.
- ^ D. Wigner (1973). "Cohomología algebraica de grupos topológicos" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 178 : 83–93. doi : 10.1090 / s0002-9947-1973-0338132-7 .