número de taxi
En matemáticas , el n -ésimo número de taxi , típicamente denotado Ta( n ) o Taxicab( n ), también llamado n - ésimo número de Hardy-Ramanujan , se define como el entero más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos enteros positivos en n maneras distintas. El número de taxi más famoso es 1729 = Ta(2) = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 .
El nombre se deriva de una conversación de alrededor de 1919 entre los matemáticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan . Según lo dicho por Hardy:
Recuerdo que una vez fui a verlo [a Ramanujan] cuando estaba enfermo en Putney . Yo había viajado en el taxi número 1729 y comenté que el número parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos [positivos] de dos maneras diferentes". [1] [2]
El concepto fue mencionado por primera vez en 1657 por Bernard Frénicle de Bessy , quien publicó el número de Hardy-Ramanujan Ta(2) = 1729. Este ejemplo particular de 1729 se hizo famoso a principios del siglo XX por una historia que involucra a Srinivasa Ramanujan . En 1938, GH Hardy y EM Wright demostraron que tales números existen para todos los enteros positivos n , y su prueba se convierte fácilmente en un programa para generar tales números. Sin embargo, la prueba no afirma en absoluto si los números así generados son los más pequeños posibles y, por lo tanto, no se puede usar para encontrar el valor real de Ta( n ).
Los números de taxi posteriores a 1729 se encontraron con la ayuda de computadoras. John Leech obtuvo Ta(3) en 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel encontraron Ta(4) en 1989. [3] JA Dardis encontró Ta(5) en 1994 y fue confirmado por David W. Wilson en 1999 [ 4] [5] Ta(6) fue anunciado por Uwe Hollerbach en la lista de correo de NMBRTHRY el 9 de marzo de 2008, [6] después de un artículo de 2003 de Calude et al. eso dio un 99% de probabilidad de que el número fuera en realidad Ta(6). [7] Los límites superiores para Ta(7) a Ta(12) fueron encontrados por Christian Boyer en 2006. [8]
La restricción de los sumandos a números positivos es necesaria, porque permitir números negativos permite más (y más pequeñas) instancias de números que pueden expresarse como sumas de cubos en n formas distintas. El concepto de número de taxi se ha introducido para permitir definiciones alternativas y menos restrictivas de esta naturaleza. En cierto sentido, la especificación de dos sumandos y potencias de tres también es restrictiva; un número de taxi generalizado permite que estos valores sean distintos de dos y tres, respectivamente.
