La dispersión de Taylor o difusión de Taylor es un efecto en la mecánica de fluidos en el que un flujo cortante puede aumentar la difusividad efectiva de una especie. Esencialmente, la cizalla actúa para difuminar la distribución de la concentración en la dirección del flujo, mejorando la velocidad a la que se propaga en esa dirección. [1] [2] [3] El efecto lleva el nombre del dinamizador de fluidos británico GI Taylor , quien describió la dispersión inducida por cizallamiento para números de Peclet grandes . Posteriormente, Rutherford Aris generalizó el análisis para valores arbitrarios del número de Peclet.. El proceso de dispersión a veces también se denomina dispersión de Taylor-Aris .
El ejemplo canónico es el de una especie de difusión simple en flujo uniforme de Poiseuille a través de una tubería circular uniforme con condiciones de frontera sin flujo.
Descripción
Usamos z como coordenada axial y r como coordenada radial, y asumimos axisimetría. La tubería tiene un radio a y la velocidad del fluido es:
La concentración de las especie que se difunde se denota c y su difusividad es D . Se supone que la concentración se rige por la ecuación lineal de advección-difusión :
La concentración y la velocidad se escriben como la suma de un promedio de sección transversal (indicado por una barra superior) y una desviación (indicada por un primo), así:
Bajo algunos supuestos (ver más abajo), es posible derivar una ecuación que solo involucre las cantidades promedio:
Observe cómo la difusividad efectiva multiplicando la derivada en el lado derecho es mayor que el valor original del coeficiente de difusión, D. La difusividad efectiva a menudo se escribe como:
dónde es el número de Péclet , basado en el radio del canal. El resultado interesante es que para valores grandes del número de Péclet, la difusividad efectiva es inversamente proporcional a la difusividad molecular. Por tanto, el efecto de la dispersión de Taylor es más pronunciado en números de Péclet más altos.
En un marco que se mueve con la velocidad media, es decir, introduciendo , el proceso de dispersión se convierte en un proceso puramente de difusión,
con difusividad dada por la difusividad efectiva.
La suposición es que por dado , que es el caso si la escala de longitud en el dirección es lo suficientemente larga para suavizar el degradado en el dirección. Esto puede traducirse en el requisito de que la escala de tallas en el dirección satisface:
- .
La dispersión también es función de la geometría del canal. Un fenómeno interesante, por ejemplo, es que la dispersión de un flujo entre dos placas planas infinitas y un canal rectangular, que es infinitamente delgado, difiere aproximadamente 8,75 veces. Aquí las paredes laterales muy pequeñas del canal rectangular tienen una enorme influencia en la dispersión.
Si bien la fórmula exacta no se mantendrá en circunstancias más generales, el mecanismo aún se aplica y el efecto es más fuerte en números de Péclet más altos. La dispersión de Taylor es de particular relevancia para los flujos en medios porosos modelados por la ley de Darcy . [4]
Derivación
Se puede derivar la ecuación de Taylor usando el método de promedios, introducido por primera vez por Aris. El resultado también puede derivarse de asintóticos de larga duración. En el sistema de coordenadas, considere el flujo Poiseuille completamente desarrollado fluyendo dentro de una tubería de radio , dónde es la velocidad media del fluido. Una especie de concentración con alguna distribución arbitraria se lanzará en algún lugar dentro de la tubería en el momento . Siempre que esta distribución inicial sea compacta, por ejemplo, la especie / soluto no se libera en todas partes con un nivel de concentración finito, las especies se convencerán a lo largo de la tubería con la velocidad media. En un marco que se mueve con la velocidad media y escalado con las siguientes escalas adimensionales
dónde es el tiempo necesario para que la especie se difunda en dirección radial, es el coeficiente de difusión de la especie y es el número de Peclet , las ecuaciones que gobiernan están dadas por
Así, en este marco en movimiento, a veces (en variables dimensionales, ), la especie se difundirá radialmente. Queda claro entonces que cuando (en variables dimensionales, ), se espera que la concentración se vuelva uniforme a lo largo de la tubería y comience a difundirse en el dirección. La dispersión de Taylor explica el proceso de difusión para grandes.
Suponer , dónde es un número pequeño. Entonces, en estos momentos, la concentración se extendería a una extensión axial. Para cuantificar el comportamiento a largo plazo, las siguientes recalificaciones [5]
se puede introducir. La ecuación luego se convierte en
Si las paredes de la tubería no absorben o reaccionan con las especies, entonces la condición de límite debe estar satisfecho en . Debido a la simetría, a .
Desde , la solución se puede expandir en una serie asintótica, La sustitución de esta serie en la ecuación gobernante y la recopilación de términos de diferentes órdenes conducirá a una serie de ecuaciones. En primer orden, la ecuación obtenida es
Integrando esta ecuación con las condiciones de contorno definidas anteriormente, se encuentra . En este orden,sigue siendo una función desconocida. Este hecho de que es independiente de es un resultado esperado ya que, como ya se dijo, a veces , la difusión radial dominará primero y hará que la concentración sea uniforme en toda la tubería.
Condiciones de pedido conduce a la ecuación
Integrando esta ecuación con respecto a el uso de las condiciones de contorno conduce a
dónde es el valor de a , una función desconocida en este orden.
Condiciones de pedido conduce a la ecuación
Esta ecuación también se puede integrar con respecto a , pero lo que se requiere es la condición de solubilidad de la ecuación anterior. La condición de solubilidad se obtiene multiplicando la ecuación anterior por e integrando toda la ecuación de a . Esto también es lo mismo que promediar la ecuación anterior sobre la dirección radial. Usando las condiciones de contorno y los resultados obtenidos en los dos órdenes anteriores, la condición de solubilidad conduce (volviendo a variables) a
Esta es la ecuación de difusión requerida. Volviendo al marco del laboratorio y las variables dimensionales, la ecuación se convierte en
Referencias
- ^ Probstein R (1994). Hidrodinámica fisicoquímica .
- ^ Chang, HC, Yeo, L. (2009). Microfluídicos y nanofluídicos impulsados electrocinéticamente . Prensa de la Universidad de Cambridge .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-11903-0.
- ^ Hinton, EM, Woods, AW (2020). "Dispersión por cizallamiento en un medio poroso. Parte 1. Una intrusión con una forma estable" . Revista de Mecánica de Fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge . 899 . doi : 10.1017 / jfm.2020.478 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Liñán, A., Rajamanickam, P., Weiss, AD y Sánchez, AL (2020). Combustión controlada por difusión de Taylor en conductos. Teoría y modelado de la combustión, 24 (6), 1054-1069.
Otras fuentes
- Aris, R. (1956) Sobre la dispersión de un soluto en un fluido que fluye a través de un tubo , Proc. Roy. Soc. A., 235 , 67–77.
- Frankel, I. y Brenner, H. (1989) Sobre los fundamentos de la teoría generalizada de la dispersión de Taylor , J. Fluid Mech. , 204 , 97-119.
- Taylor, GI (1953) Dispersión de materia soluble en disolvente que fluye lentamente a través de un tubo , Proc. Roy. Soc. A., 219 , 186-203.
- Taylor, GI (1954) La dispersión de la materia en un flujo turbulento a través de una tubería , Proc. Roy. Soc. A, 223 , 446–468.
- Taylor, GI (1954) Condiciones en las que se puede utilizar la dispersión de un soluto en una corriente de disolvente para medir la difusión molecular , Proc. Roy. Soc. A., 225 , 473–477.
- Brenner, H. (1980) Dispersión resultante del flujo a través de medios porosos espacialmente periódicos , Phil. Trans. Roy. Soc. Lon. A, 297 , 81.
- Mestel. J. Taylor dispersión - difusión aumentada por cizallamiento , Folleto de conferencias para el curso M4A33 , Imperial College.