Las ecuaciones del telegrafista (o simplemente las ecuaciones telegráficas ) son un par de ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas que describen el voltaje y la corriente en una línea de transmisión eléctrica con la distancia y el tiempo . Las ecuaciones provienen de Oliver Heaviside, quien desarrolló el modelo de línea de transmisión a partir de un artículo de agosto de 1876, On the Extra Current . [1] : 66–67 El modelo demuestra que las ondas electromagnéticas puede reflejarse en el cable y que se pueden formar patrones de ondas a lo largo de la línea.
La teoría se aplica a las líneas de transmisión de todas las frecuencias, incluidas las de corriente continua y de alta frecuencia . Desarrollada originalmente para describir cables telegráficos , la teoría también se puede aplicar a conductores de radiofrecuencia , audiofrecuencia (como líneas telefónicas ), baja frecuencia (como líneas eléctricas) y pulsos de corriente continua . También se puede utilizar para modelar eléctricamente antenas de radio de cable como líneas de transmisión de un solo conductor truncadas. [2] : 7–10 [3] : 232
Componentes distribuidos
Las ecuaciones del telegrafista, como todas las demás ecuaciones que describen fenómenos eléctricos, resultan de las ecuaciones de Maxwell . En un enfoque más práctico, se supone que los conductores están compuestos por una serie infinita de componentes elementales de dos puertos , cada uno de los cuales representa un segmento infinitesimalmente corto de la línea de transmisión:
- La resistencia distribuida de los conductores está representado por una resistencia en serie (expresada en ohmios por unidad de longitud). En conductores prácticos, a frecuencias más altas,aumenta aproximadamente proporcionalmente a la raíz cuadrada de la frecuencia debido al efecto piel .
- La inductancia distribuida (debido al campo magnético alrededor de los cables, autoinductancia , etc.) está representado por un inductor en serie ( henries por unidad de longitud).
- La capacitancia entre los dos conductores está representado por un condensador de derivación C ( faradios por unidad de longitud).
- La conductancia del material dieléctrico que separa los dos conductores está representado por una resistencia en derivación entre el cable de señal y el cable de retorno ( siemens por unidad de longitud). Esta resistencia en el modelo tiene una resistencia de ohmios. explica tanto la conductividad global del dieléctrico como la pérdida dieléctrica . Si el dieléctrico es un vacío ideal, entonces.
El modelo consta de una serie infinitesimal de elementos infinitesimales que se muestran en la figura, y que los valores de los componentes se especifican por unidad de longitud, por lo que la imagen del componente puede ser engañosa. Una notación alternativa es usar, , , y para enfatizar que los valores son derivados con respecto a la longitud. Estas cantidades también pueden ser conocidas como las constantes de línea primaria de distinguir de las constantes de línea secundaria derivados de ellos, siendo estos la impedancia característica , la constante de propagación , constante de atenuación y constante de fase . Todas estas constantes son constantes con respecto al tiempo, voltaje y corriente. Pueden ser funciones de frecuencia no constantes.
Papel de los diferentes componentes
El papel de los diferentes componentes se puede visualizar en base a la animación de la derecha.
- La inductancia L hace que parezca que la corriente tiene inercia; es decir, con una inductancia grande, es difícil aumentar o disminuir el flujo de corriente en un punto dado. La inductancia grande hace que la onda se mueva más lentamente, al igual que las ondas viajan más lentamente por una cuerda pesada que por una ligera. La inductancia grande también aumenta la impedancia de onda (corriente más baja para el mismo voltaje).
- La capacitancia C controla cuánto los electrones agrupados dentro de cada conductor repelen los electrones en el otro conductor. Al absorber algunos de estos electrones agrupados, la velocidad de la onda y su fuerza (voltaje) se reducen. Con una capacitancia mayor, hay menos repulsión, porque la otra línea (que siempre tiene la carga opuesta) anula parcialmente estas fuerzas repulsivas dentro de cada conductor. Una capacitancia más grande equivale a ( fuerza de restauración más débil ) s, lo que hace que la onda se mueva un poco más lento, y también le da a la línea de transmisión una impedancia más baja (corriente más alta para el mismo voltaje).
- R corresponde a la resistencia dentro de cada línea y G permite que la corriente fluya de una línea a la otra. La figura de la derecha muestra una línea de transmisión sin pérdidas, donde tanto R como G son 0.
Valores de parámetros primarios para cable telefónico
Datos de parámetros representativos para cable telefónico aislado de polietileno (PIC) de calibre 24 a 70 ° F (294 K)
Frecuencia | R | L | GRAMO | C | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hz | Ω ⁄ km | Ω ⁄ 1000 pies | mH ⁄ km | mH ⁄ 1000 pies | µS ⁄ km | µS ⁄ 1000 pies | nF ⁄ km | nF ⁄ 1000 pies |
1 Hz | 172,24 | 52,50 | 0,6129 | 0,1868 | 0.000 | 0.000 | 51,57 | 15,72 |
1 kHz | 172,28 | 52,51 | 0,6125 | 0,1867 | 0.072 | 0.022 | 51,57 | 15,72 |
10 kHz | 172,70 | 52,64 | 0,6099 | 0,1859 | 0.531 | 0,162 | 51,57 | 15,72 |
100 kHz | 191,63 | 58,41 | 0.5807 | 0,1770 | 3.327 | 1.197 | 51,57 | 15,72 |
1 MHz | 463,59 | 141,30 | 0.5062 | 0,1543 | 29.111 | 8.873 | 51,57 | 15,72 |
2 MHz | 643,14 | 196.03 | 0.4862 | 0.1482 | 53.205 | 16.217 | 51,57 | 15,72 |
5 MHz | 999,41 | 304,62 | 0.4675 | 0.1425 | 118.074 | 35.989 | 51,57 | 15,72 |
Tablas y tablas más extensas para otros medidores, temperaturas y tipos están disponibles en Reeve. [4] Chen [5] proporciona los mismos datos en una forma parametrizada que, según él, es utilizable hasta 50 MHz.
La variación de y se debe principalmente al efecto de la piel y al efecto de proximidad .
La constancia de la capacitancia es una consecuencia de un diseño cuidadoso e intencional.
La variación de G se puede inferir de Terman: “El factor de potencia ... tiende a ser independiente de la frecuencia, ya que la fracción de energía perdida durante cada ciclo ... es sustancialmente independiente del número de ciclos por segundo en amplios rangos de frecuencia . " [6] Una función de la forma con cerca de 1.0 encajaría en la declaración de Terman. Chen [5] da una ecuación de forma similar.
G en esta tabla se puede modelar bien con
Por lo general, las pérdidas resistivas crecen proporcionalmente a y las pérdidas dieléctricas crecen proporcionalmente a con por tanto, a una frecuencia suficientemente alta, las pérdidas dieléctricas superarán las pérdidas resistivas. En la práctica, antes de llegar a ese punto, se utiliza una línea de transmisión con un mejor dieléctrico. En cable coaxial rígido de larga distancia , para obtener pérdidas dieléctricas muy bajas, el dieléctrico sólido se puede reemplazar por aire con espaciadores de plástico a intervalos para mantener el conductor central en el eje.
Las ecuaciones
Las ecuaciones del telegrafista son:
Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones diferenciales parciales, cada una con una sola variable dependiente, ya sea o :
Excepto por la variable dependiente ( o ) las fórmulas son idénticas.
Solución general para líneas terminadas de longitud finita
Dejar
ser la transformada de Fourier del voltaje de entrada, entonces las soluciones generales para voltaje y corriente son [ cita requerida ]
y
con
siendo la función de transferencia de la línea,
la impedancia en serie, y
la impedancia de la derivación. El parámetro representa la longitud total de la línea. es la impedancia de la terminación eléctrica . Sin rescisión, es infinito.
Transmisión sin pérdidas
Cuando ω L >> R y ω C >> G , la resistencia puede despreciarse y la línea de transmisión se considera una estructura ideal sin pérdidas. En este caso, el modelo depende solo de los elementos L y C. Las ecuaciones del telegrafista luego describen la relación entre el voltaje V y la corriente I a lo largo de la línea de transmisión, cada una de las cuales es función de la posición xy el tiempo t :
Las ecuaciones para líneas de transmisión sin pérdidas
Las ecuaciones en sí consisten en un par de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden acopladas . La primera ecuación muestra que el voltaje inducido está relacionado con la tasa de cambio en el tiempo de la corriente a través de la inductancia del cable, mientras que la segunda muestra, de manera similar, que la corriente consumida por la capacitancia del cable está relacionada con la tasa de cambio en el tiempo. cambio de voltaje.
Las ecuaciones del telegrafista se desarrollan en formas similares en las siguientes referencias: Kraus, [7] Hayt, [8] Marshall, [9] Sadiku, [10] Harrington, [11] Karakash, [12] y Metzger. [13]
Estas ecuaciones se pueden combinar para formar dos ecuaciones de onda exactas , una para el voltaje V y la otra para la corriente I :
dónde
es la velocidad de propagación de las ondas que viajan a través de la línea de transmisión. Para líneas de transmisión hechas de conductores perfectos paralelos con vacío entre ellos, esta velocidad es igual a la velocidad de la luz.
Estado estable sinusoidal
En el caso del estado estable sinusoidal (es decir, cuando se aplica un voltaje sinusoidal puro y los transitorios han cesado), el voltaje y la corriente toman la forma de ondas sinusoidales de un solo tono:
dónde es la frecuencia angular de la onda de estado estable. En este caso, las ecuaciones del Telegrapher se reducen a
Asimismo, las ecuaciones de onda se reducen a
donde k es el número de onda:
Cada una de estas dos ecuaciones tiene la forma de la ecuación de Helmholtz unidimensional .
En el caso sin pérdidas, es posible demostrar que
y
dónde es una cantidad real que puede depender de la frecuencia y es la impedancia característica de la línea de transmisión, que, para una línea sin pérdidas, viene dada por
y y son constantes arbitrarias de integración, que están determinadas por las dos condiciones de contorno (una para cada extremo de la línea de transmisión).
Esta impedancia no cambia a lo largo de la línea ya que L y C son constantes en cualquier punto de la línea, siempre que la geometría de la sección transversal de la línea permanezca constante.
La línea sin pérdidas y la línea sin distorsión se analizan en Sadiku, [14] y Marshall, [15]
Solución general
La solución general de la ecuación de onda para el voltaje es la suma de una onda que viaja hacia adelante y una onda que viaja hacia atrás:
dónde
- y puede ser cualquier función, y
- es la velocidad de propagación de la forma de onda (también conocida como velocidad de fase ).
f 1 representa una onda que viaja de izquierda a derecha en una dirección x positiva, mientras que f 2 representa una onda que viaja de derecha a izquierda. Puede verse que el voltaje instantáneo en cualquier punto x de la línea es la suma de los voltajes debidos a ambas ondas.
Dado que la corriente I está relacionada con el voltaje V por las ecuaciones del telegrafista, podemos escribir
Línea de transmisión con pérdidas
Cuando los elementos de pérdida R y G no son despreciables, las ecuaciones diferenciales que describen el segmento elemental de la línea son
Al diferenciar ambas ecuaciones con respecto ax , y alguna manipulación algebraica, obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, cada una de las cuales involucra solo una incógnita:
Estas ecuaciones se asemejan a la ecuación de onda homogénea con términos adicionales en V e I y sus primeras derivadas. Estos términos adicionales hacen que la señal decaiga y se extienda con el tiempo y la distancia. Si la línea de transmisión tiene solo una pérdida leve ( R ≪ ωL y G ≪ ωC ), la intensidad de la señal decaerá con la distancia como e - α x , donde[16] : 130
Ejemplos de patrones de señal
Dependiendo de los parámetros de la ecuación telegráfica, los cambios de la distribución del nivel de la señal a lo largo del medio de transmisión unidimensional pueden tomar la forma de onda simple, onda con decremento o el patrón de difusión de la ecuación telegráfica. La forma del patrón de difusión es causada por el efecto de la capacitancia en derivación.
Antenas
Debido a que las ecuaciones que gobiernan el flujo de corriente en las antenas de alambre son idénticas a las ecuaciones del telegrafista, [2] : 7–10 [3] : 232 segmentos de antena pueden modelarse como líneas de transmisión de dos vías y un solo conductor. La antena se divide en múltiples segmentos de línea, teniendo cada segmento parámetros de la línea primaria aproximadamente constante, R , L , C , y G . [a]
En la punta de la antena, la impedancia de la línea de transmisión es esencialmente infinita (equivalentemente, la admitancia es casi cero) y después de un breve "amontonamiento" en la punta, la onda invierte la dirección y fluye hacia el punto de alimentación. La consecuencia es que el cable de la antena transporta ondas desde el punto de alimentación hasta la punta, y luego desde la punta, de regreso al punto de alimentación. La combinación de ondas superpuestas y dirigidas de manera opuesta forma las ondas estacionarias familiares más a menudo consideradas para la construcción práctica de antenas. Además, se producen reflejos parciales dentro de la antena donde siempre hay una impedancia no coincidente en la unión de dos o más elementos, y estas ondas reflejadas también contribuyen a las ondas estacionarias a lo largo de la longitud de los cables. [2] [3]
Soluciones de las ecuaciones del telegrafista como componentes del circuito.
Las soluciones de las ecuaciones del telegrafista se pueden insertar directamente en un circuito como componentes. El circuito de la figura superior implementa las soluciones de las ecuaciones del telegrafista. [17]
El circuito inferior se deriva del circuito superior mediante transformaciones de fuente. [18] También implementa las soluciones de las ecuaciones del telegrafista.
La solución de las ecuaciones del telegrafista se puede expresar como una red de dos puertos tipo ABCD con las siguientes ecuaciones definitorias [19]
El tipo ABCD de dos puertos ofrece y como funciones de y . Ambos circuitos anteriores, cuando se resuelven para y como funciones de y producir exactamente las mismas ecuaciones.
En el circuito inferior, todos los voltajes excepto los voltajes del puerto son con respecto a tierra y los amplificadores diferenciales tienen conexiones a tierra no mostradas. Un ejemplo de una línea de transmisión modelada por este circuito sería una línea de transmisión balanceada como una línea telefónica. Las impedancias Z (s), las fuentes de corriente dependientes del voltaje (VDCS) y los amplificadores diferenciales (el triángulo con el número "1") explican la interacción de la línea de transmisión con el circuito externo. Los bloques T (s) tienen en cuenta el retardo, la atenuación, la dispersión y todo lo que sucede con la señal en tránsito. Uno de los bloques T (s) lleva la onda hacia adelante y el otro lleva la onda hacia atrás . El circuito, como se muestra, es completamente simétrico, aunque no está dibujado de esa manera. El circuito representado es equivalente a una línea de transmisión conectada desde a en el sentido de que , , y Sería lo mismo si este circuito o una línea de transmisión real estuviera conectada entre y . No hay ninguna implicación de que en realidad haya amplificadores dentro de la línea de transmisión.
Cada línea de transmisión de dos cables o balanceada tiene un tercer cable implícito (o en algunos casos explícito) que puede llamarse blindaje, revestimiento, común, tierra o tierra. Entonces, cada línea de transmisión balanceada de dos cables tiene dos modos que se denominan nominalmente modos diferencial y común. El circuito que se muestra en la parte inferior solo modela el modo diferencial.
En el circuito superior, los duplicadores de voltaje, los amplificadores diferenciales y las impedancias Z (s) explican la interacción de la línea de transmisión con el circuito externo. Este circuito, como se muestra, también es completamente simétrico y tampoco está dibujado de esa manera. Este circuito es un equivalente útil para una línea de transmisión no balanceada como un cable coaxial o una línea de microcinta .
Estos no son los únicos circuitos equivalentes posibles.
Ver también
- Reflexiones de señales en líneas conductoras.
- Ley de cuadrados , el trabajo preliminar de Lord Kelvin sobre este tema
Notas
- ^ Dado que el voltaje perdido debido a la radiación es típicamente pequeño en comparación con los voltajes requeridos debido a la impedancia de sobretensión de la antena, y dado que el aire seco es un muy buen aislante, la antena a menudo se modela como sin pérdidas: R = G = 0 . La pérdida o ganancia de voltaje esencial por transmisión o recepción suele insertarse post-hoc, después de las soluciones de línea de transmisión, aunque puede modelarse como un valor pequeño de R a expensas de trabajar con números complejos .
Citas
- ^ Caza 1961
- ↑ a b c Raines, Jeremy Keith (2007). Antenas Unipolares Plegadas: Teoría y aplicaciones . Ingeniería Electrónica (1ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-147485-6.ISBN 0-07-147485-4
- ^ a b c Schelkunoff, Sergei A .; Friis, Harald T. (julio de 1966) [1952]. Antenas: teoría y práctica . John Wiley e hijos. LCCN 52-5083 .
- ^ Reeve 1995 , p. 558
- ↑ a b Chen , 2004 , p. 26
- ↑ Terman , 1943 , pág. 112
- ↑ Kraus , 1989 , págs. 380–419.
- ^ Hayt , 1989 , págs. 382–392
- ^ Marshall 1987 , págs. 359–378
- ^ Sadiku 1989 , págs. 497–505
- ^ Harrington 1961 , págs. 61–65
- ^ Karakash 1950 , págs. 5-14
- ^ Metzger 1969 , págs. 1-10
- ^ Sadiku 1989 , págs. 501–503
- ^ Marshall 1987 , págs. 369-372
- ^ Miano, Giovanni; Maffucci, Antonio (2001). Líneas de transmisión y circuitos agrupados . Prensa académica. ISBN 0-12-189710-9.Este libro usa el símbolo μ en lugar de α .
- ^ McCammon 2010
- ↑ Hayt , 1971 , págs. 73–77.
- ^ Karakash , 1950 , p. 44
Referencias
- Chen, Walter Y. (2004), Conceptos básicos sobre redes domésticas , Prentice Hall, ISBN 0-13-016511-5
- Harrington, Roger F. (1961), Campos electromagnéticos de armónicos de tiempo , McGraw-Hill
- Hayt, William H. (1971), Engineering Circuit Analysis (segunda ed.), Nueva York, NY: McGraw-Hill, ISBN 0070273820
- Hayt, William (1989), Ingeniería electromagnética (5.a ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-027406-1
- Hunt, Bruce J. (2005), The Maxwellians , Cornell University Press, ISBN 0801482348
- Karakash, John J. (1950), Líneas de transmisión y redes de filtros (1ª ed.), Macmillan
- Kraus, John D. (1984), Electromagnetics (3.a ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5
- Marshall, Stanley V. (1987), Conceptos y aplicaciones electromagnéticos (1ª ed.), Prentice-Hall, ISBN 0-13-249004-8
- Metzger, Georges; Vabre, Jean-Paul (1969), Líneas de transmisión con excitación por pulsos , Academic Press
- McCammon, Roy (junio de 2010), SPICE Simulación de líneas de transmisión por el método del telegrafista (PDF) , consultado el 22 de octubre de 2010; también simulación SPICE de líneas de transmisión por el método del telegrafista (parte 1 de 3)
- Reeve, Whitman D. (1995), Manual de transmisión y señalización de bucle de abonado , IEEE Press, ISBN 0-7803-0440-3
- Sadiku, Matthew NO (1989), Elements of Electromagnetics (1ª ed.), Saunders College Publishing, ISBN 0030134846
- Terman, Frederick Emmons (1943), Manual de ingenieros de radio (1ª ed.), McGraw-Hill