Teorema de la raqueta de tenis

Un cuerpo rígido con 3 ejes distintos de inercia es inestable y gira alrededor del eje medio.

Ejes principales de una raqueta de tenis.

Página de título de "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps", impresión de 1852

El teorema de la raqueta de tenis o teorema del eje intermedio es un resultado de la mecánica clásica que describe el movimiento de un cuerpo rígido con tres momentos principales de inercia distintos . También se le conoce como el efecto Dzhanibekov , en honor al cosmonauta soviético Vladimir Dzhanibekov, quien notó una de las consecuencias lógicas del teorema mientras estaba en el espacio en 1985 ^[1], aunque el efecto ya se conocía al menos 150 años antes de eso. ^{[2] [3]}

El teorema describe el siguiente efecto: la rotación de un objeto alrededor de su primer y tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es.

Esto se puede demostrar con el siguiente experimento: sostenga una raqueta de tenis por su mango, con la cara horizontal, e intente lanzarla al aire para que realice una rotación completa alrededor del eje horizontal perpendicular al mango, e intente para agarrar el mango. En casi todos los casos, durante esa rotación, la cara también habrá completado una media rotación, de modo que la otra cara ahora está hacia arriba. Por el contrario, es fácil lanzar la raqueta de modo que gire alrededor del eje del mango (ê ₁ en el diagrama) sin que la acompañe media rotación alrededor de otro eje; también es posible hacer que gire alrededor del eje vertical perpendicular al mango (ê ₃ ) sin ninguna media rotación que lo acompañe.

El experimento se puede realizar con cualquier objeto que tenga tres momentos diferentes de inercia, por ejemplo, con un libro, un mando a distancia o un teléfono inteligente. El efecto se produce siempre que el eje de rotación difiera sólo ligeramente del segundo eje principal del objeto; la resistencia del aire o la gravedad no son necesarias. ^[4]

Teoría

Una visualización de la inestabilidad del eje intermedio. La magnitud del momento angular y la energía cinética de un objeto giratorio se conservan. Como resultado, el vector de velocidad angular permanece en la intersección de dos elipsoides.

Reproducir medios

Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad , NASA .

El teorema de la raqueta de tenis se puede analizar cualitativamente con la ayuda de las ecuaciones de Euler . En condiciones libres de par , adoptan la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$

Aquí denotamos los principales momentos de inercia del objeto, y asumimos . Las velocidades angulares alrededor de los tres ejes principales del objeto son y sus derivadas en el tiempo se indican con .${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$

Rotación estable alrededor del primer y tercer eje principal

Considere la situación en la que el objeto gira alrededor del eje con un momento de inercia . Para determinar la naturaleza del equilibrio, suponga pequeñas velocidades angulares iniciales a lo largo de los otros dos ejes. Como resultado, según la ecuación (1), es muy pequeño. Por lo tanto, se puede descuidar la dependencia del tiempo .${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$${\displaystyle ~\omega _{1}}$

Ahora, diferenciando la ecuación (2) y sustituyendo de la ecuación (3),${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}$

porque y .${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}$${\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}$

Tenga en cuenta que se está oponiendo y, por lo tanto, la rotación alrededor de este eje es estable para el objeto.${\displaystyle \omega _{2}}$

Un razonamiento similar da que la rotación alrededor del eje con momento de inercia también es estable.${\displaystyle I_{3}}$

Rotación inestable alrededor del segundo eje principal

Ahora aplique el mismo análisis al eje con momento de inercia. Este tiempo es muy pequeño. Por lo tanto, se puede descuidar la dependencia del tiempo .${\displaystyle I_{2}.}$${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$${\displaystyle ~\omega _{2}}$

Ahora, diferenciando la ecuación (1) y sustituyendo de la ecuación (3),${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que se no se opuso (y por lo tanto va a crecer) y por lo tanto la rotación alrededor del segundo eje es inestable . Por lo tanto, incluso una pequeña perturbación a lo largo de otros ejes hace que el objeto se "voltee".${\displaystyle \omega _{1}}$

Ver también

• Diagrama de bifurcación
• Teoría de la bifurcación
• Ángulos de Euler
• Resonancia de Fano
• Constantes de Feigenbaum
• Metaestabilidad
• Momento de inercia
• Elipsoide de Poinsot
• Polhode
• Resonancia de forma

Referencias

1. Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова) , 23 de julio de 2009 (en ruso) . El software se puede descargar desde aquí.
2. Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, París
3. Derek Muller (19 de septiembre de 2019). Explicación del extraño comportamiento de los cuerpos en rotación . Veritasium . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
4. Levi, Mark (2014). Mecánica clásica con cálculo de variaciones y control óptimo: una introducción intuitiva . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 151-152. ISBN 9781470414443.

enlaces externos

• Dan Russell (5 de marzo de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov de cámara lenta con raquetas de tenis de mesa" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.
• zapadlovsky (16 de junio de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.en la Estación Espacial Internacional Mir
• Viacheslav Mezentsev (7 de septiembre de 2011). "Efecto Djanibekov modelado en Mathcad 14" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.
• Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotación des corps , París, Licenciado, 1834, 170 p. OCLC 457954839  : históricamente, la primera descripción matemática de este efecto. 
• "Elipsoides y el extraño comportamiento de los cuerpos giratorios" .- explicación en video intuitiva de Matt Parker