Símbolo de término

Notation in quantum physics

En mecánica cuántica , el término símbolo es una descripción abreviada de los números cuánticos del momento angular (total) en un átomo de varios electrones (sin embargo, incluso un solo electrón puede describirse mediante un término símbolo). Cada nivel de energía de un átomo con una configuración electrónica dada se describe no solo por la configuración electrónica sino también por su propio símbolo de término, ya que el nivel de energía también depende del momento angular total, incluido el espín. Los símbolos habituales del término atómico asumen acoplamiento LS (también conocido como acoplamiento Russell - Saunders o acoplamiento espín-órbita). El símbolo del término del estado fundamental se predice medianteReglas de Hund .

El uso de la palabra término para un nivel de energía se basa en el principio de combinación de Rydberg-Ritz , una observación empírica de que los números de onda de las líneas espectrales se pueden expresar como la diferencia de dos términos . Esto fue más tarde resume en el modelo de Bohr , que identifica los términos (multiplicado por hc , donde h es la constante de Planck y c la velocidad de la luz ) con los niveles de energía cuantificados y los números de onda espectrales (de nuevo multiplicado por hc ) con energías de fotones.

El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología ha compilado tablas de niveles de energía atómica identificados por sus símbolos de término . En esta base de datos, los átomos neutros se identifican como I, los átomos ionizados individualmente como II, etc. ^[1] Los átomos neutros de los elementos químicos tienen el mismo símbolo de término para cada columna en los elementos del bloque s y del bloque p , pero pueden diferir en elementos de bloque d y bloque f si la configuración electrónica del estado fundamental cambia dentro de una columna. Los símbolos de los términos del estado fundamental para los elementos químicos se dan a continuación.

Símbolos de término con acoplamiento espín-órbita ( LS )

Para los átomos ligeros, la interacción (o acoplamiento) espín-órbita es pequeña, de modo que el momento angular orbital total L y el espín total S son buenos números cuánticos . La interacción entre L y S se conoce como acoplamiento LS , acoplamiento Russell-Saunders (llamado así por Henry Norris Russell y Frederick Albert Saunders , quienes lo describieron en 1925. ^[2] ) o acoplamiento espín-órbita . Los estados atómicos están bien descritos por símbolos de término de la forma

${\displaystyle ^{2S+1}L_{J}}$

dónde

S es el número cuántico de espín total . 2 S + 1 es la multiplicidad de espín , que representa el número de posibles estados de J para un determinado L y S , a condición de que L ≥ S . (Si L < S , el número máximo de J posibles es 2 L + 1). ^[3] Esto se prueba fácilmente usando J _max = L + S y J _min = | L - S|, de modo que el número de J posibles con L y S dados es simplemente J _max - J _min + 1 ya que J varía en pasos unitarios.

J es el número cuántico del momento angular total .

L es el número cuántico orbital total en notación espectroscópica . Los primeros 17 símbolos de L son:

L  =	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis	...
	S	PAG	D	F	GRAMO	H	I	K	L	METRO	norte	O	Q	R	T	U	V	(continúa alfabéticamente) [nota 1]

La nomenclatura (S, P, D, F) se deriva de las características de las líneas espectroscópicas correspondientes a (s, p, d, f) orbitales: agudo , principal , difuso y fundamental ; el resto se nombra en orden alfabético de G en adelante, excepto que J se omite. Cuando se usa para describir los estados de los electrones en un átomo, el término símbolo generalmente sigue la configuración electrónica . Por ejemplo, un nivel de energía bajo del estado del átomo de carbono se escribe como 1s ² 2s ² 2p ^{2 3} P ₂ . El superíndice 3 indica que el estado de giro es un triplete y, por lo tanto, S = 1 (2S + 1 = 3), el P es la notación espectroscópica para L = 1, y el subíndice 2 es el valor de J . Usando la misma notación, el estado fundamental del carbono es 1s ² 2s ² 2p ^{2 3} P ₀ . ^[1]

Las letras minúsculas se refieren a orbitales individuales o números cuánticos de un electrón, mientras que las letras mayúsculas se refieren a estados de muchos electrones o sus números cuánticos.

Términos, niveles y estados

El término símbolo también se usa para describir sistemas compuestos como mesones o núcleos atómicos, o moléculas (ver símbolo de término molecular ). Para las moléculas, las letras griegas se utilizan para designar el componente de los momentos angulares orbitales a lo largo del eje molecular.

Para una configuración electrónica dada

• La combinación de un valor S y un valor L se denomina término y tiene un peso estadístico (es decir, número de microestados posibles) igual a (2 S +1) (2 L +1);
• Una combinación de S , L y J se llama nivel . Un nivel dado tiene un peso estadístico de (2 J +1), que es el número de posibles microestados asociados con este nivel en el término correspondiente;
• Una combinación de S , L , J y M _J determina un solo estado .

El producto como un número de posibles microestados con S y L dados también es un número de estados base en la representación desacoplada, donde S, m _S , L, m _L ( m _S y m _L son componentes del eje z del espín total y momento angular orbital total respectivamente) son buenos números cuánticos cuyos operadores correspondientes conmutan mutuamente. Con S y L dados , los autoestados en esta representación abarcan el espacio funcional de dimensión , como y${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$${\displaystyle |S,m_{S},L,m_{L}\rangle }$${\displaystyle |S,m_{S},L,m_{L}\rangle }$${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$${\displaystyle m_{S}=S,S-1,...,-S+1,-S}$${\displaystyle m_{L}=L,L-1,...,-L+1,-L}$. En la representación acoplada donde se trata el momento angular total (espín + orbital), los microestados asociados (o autoestados ) son y estos estados abarcan el espacio funcional con una dimensión de${\displaystyle |J,M_{J},S,L\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J=J_{\min }=|L-S|}^{J_{\max }=L+S}(2J+1)}$

como . Obviamente, la dimensión del espacio funcional en ambas representaciones debe ser la misma.${\displaystyle m_{J}=J,J-1,...-J+1,-J}$

Por ejemplo, para , hay (2 × 1 + 1) (2 × 2 + 1) = 15 microestados diferentes (= estados propios en la representación desacoplada) correspondientes al término ³ D , de los cuales (2 × 3 + 1) = 7 pertenecen al nivel ³ D ₃ ( J = 3). La suma de para todos los niveles en el mismo término es igual a (2 S +1) (2 L +1) ya que las dimensiones de ambas representaciones deben ser iguales a las descritas anteriormente. En este caso, J puede ser 1, 2 o 3, por lo que 3 + 5 + 7 = 15.${\displaystyle {1}}$${\displaystyle (2J+1)}$

Paridad de símbolo de término

La paridad de un símbolo de término se calcula como

${\displaystyle P=(-1)^{\sum _{i}\ell _{i}}\ ,\!}$

donde es el número cuántico orbital de cada electrón. significa paridad par mientras que es paridad impar. De hecho, solo los electrones en orbitales impares (con impares) contribuyen a la paridad total: un número impar de electrones en orbitales impares (aquellos con un impar como en p, f, ...) corresponden a un símbolo de término impar, mientras que un número par de electrones en orbitales impares corresponde a un símbolo de término par. El número de electrones en orbitales pares es irrelevante, ya que cualquier suma de números pares es par. Para cualquier subcapa cerrada, el número de electrones es par, por lo que la suma de las subcapa cerradas es siempre un número par. La suma de números cuánticos sobre subcapas abiertas (vacías) de orbitales impares (${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle P=1}$${\displaystyle P=-1}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle 2(2\ell +1)}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle \sum _{i}\ell _{i}}$${\displaystyle \ell }$impar) determina la paridad del símbolo del término. Si el número de electrones en esta suma reducida es impar (par), entonces la paridad también es impar (par).

Cuando es impar, la paridad del término símbolo se indica con una letra superíndice "o", de lo contrario se omite:

² P^o
_½tiene paridad impar, pero ³ P ₀ tiene paridad par.

Alternativamente, la paridad se puede indicar con una letra subíndice "g" o "u", que significa gerade (alemán para "par") o ungerade ("impar"):

² P _{½, u} para paridad impar y ³ P _{0, g} para par.

Símbolo del término del estado fundamental

Es relativamente fácil calcular el término símbolo para el estado fundamental de un átomo usando las reglas de Hund . Se corresponde con un estado con máxima S y L .

1. Comience con la configuración electrónica más estable . Las capas completas y las subcapas no contribuyen al momento angular general , por lo que se descartan.
   • Si todas las capas y subcapas están llenas, el término símbolo es ¹ S ₀ .
2. Distribuya los electrones en los orbitales disponibles , siguiendo el principio de exclusión de Pauli . Primero, llene los orbitales con el valor más alto con un electrón cada uno y asígneles un m s máximo (es decir, + ½). Una vez que todos los orbitales en una subcapa tienen un electrón, agregue un segundo (siguiendo el mismo orden), asignándoles m _s = −½ . m ℓ {\displaystyle m_{\ell }}
3. El S total se calcula sumando los valores de m _s para cada electrón. Según la primera regla de Hund , el estado fundamental tiene todos los espines de electrones no apareados paralelos con el mismo valor de m _s , elegido convencionalmente como + ½. El S total es entonces ½ veces el número de electrones no apareados . La L total se calcula sumando los valores de cada electrón (por lo que si hay dos electrones en el mismo orbital, agregue el doble de ese orbital ).${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle m_{\ell }}$
4. Calcule J como
   • si menos de la mitad de la subcapa está ocupada, tome el valor mínimo J = | L - S | ;
   • si está más de la mitad, tome el valor máximo J = L + S ;
   • si está medio lleno-la subcapa, entonces L sea 0, por lo J = S .

Como ejemplo, en el caso del flúor , la configuración electrónica es 1s ² 2s ² 2p ⁵ .

1. Deseche las subcapas completas y conserve la parte 2p ⁵ . Entonces, hay cinco electrones para colocar en la subcapa p ( ).${\displaystyle \ell =1}$
2. Hay tres orbitales ( ) que pueden contener electrones . Los primeros tres electrones pueden tomar m _s = ½ (↑) pero el principio de exclusión de Pauli obliga a los dos siguientes a tener m _s = −½ (↓) porque van a orbitales ya ocupados.${\displaystyle m_{\ell }=1,0,-1}$${\displaystyle 2(2\ell +1)=6}$

   	${\displaystyle m_{\ell }}$
   	+1	0	−1
   ${\displaystyle m_{s}}$	↑ ↓	↑ ↓	↑

3. S = ½ + ½ + ½ - ½ - ½ = ½ ; y L = 1 + 0 - 1 + 1 + 0 = 1 , que es "P" en notación espectroscópica.
4. Como la subcapa de flúor 2p está llena a más de la mitad, J = L + S = 3 ⁄ 2 . Su símbolo de término de estado fundamental es entonces ^{2 S +1} L _J = ² P _{3 ⁄ 2} .

Símbolos de términos atómicos de los elementos químicos

En la tabla periódica, debido a que los átomos de los elementos en una columna generalmente tienen la misma estructura electrónica externa y siempre tienen la misma estructura electrónica en los elementos "bloque s" y "bloque p" (ver bloque (tabla periódica) ), todos los elementos pueden compartir el mismo símbolo de término de estado fundamental para la columna. Por lo tanto, el hidrógeno y los metales alcalinos son todos ² S _{1 ⁄ 2} , los metales alcalinotérreos son ¹ S ₀ , los elementos de la columna de boro son ² P _{1 ⁄ 2} , los elementos de la columna de carbono son ³ P ₀ , los pictógenos son⁴ S _{3 ⁄ 2} , los calcógenos son ³ P ₂ , los halógenos son ² P _{3 ⁄ 2} y los gases inertes son ¹ S ₀ , según la regla para conchas completas y subcapas indicadas anteriormente.

Los símbolos de término para los estados fundamentales de la mayoría de los elementos químicos ^[4] se dan en la tabla contraída a continuación (con citas para los elementos más pesados aquí ). En el bloque d y el bloque f, los términos símbolos no son siempre los mismos para los elementos de la misma columna de la tabla periódica, porque las capas abiertas de varios electrones dof tienen varios términos estrechamente espaciados cuyo orden de energía a menudo se ve perturbado por la adición de un caparazón extra completo para formar el siguiente elemento en la columna.

Por ejemplo, la tabla muestra que el primer par de átomos adyacentes verticalmente con diferentes símbolos de término de estado fundamental son V y Nb. El estado fundamental ⁶ D _1/2 de Nb corresponde a un estado excitado de V 2112 cm ^{−1 por} encima del estado fundamental ⁴ F _3/2 de V, que a su vez corresponde a un estado excitado de Nb 1143 cm ^{−1 por} encima de Nb estado fundamental. ^[1] Estas diferencias de energía son pequeñas en comparación con la diferencia de 15158 cm ⁻¹ entre el suelo y el primer estado excitado de Ca, ^[1] que es el último elemento antes de V sin d electrones.

v t mi Término símbolo de los elementos químicos
Grupo  →	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis	17	18
↓  Periodo
1	H 2 S 1/2																		Él 1 S 0
2	Li 2 S 1/2	Ser 1 S 0												B 2 P 1/2	C 3 P 0	norte 4 S 3/2	O 3 P 2	F 2 P 3/2	Nordeste 1 S 0
3	N / A 2 S 1/2	Mg 1 S 0												Alabama 2 P 1/2	Si 3 P 0	PAG 4 S 3/2	S 3 P 2	Cl 2 P 3/2	Arkansas 1 S 0
4	K 2 S 1/2	California 1 S 0		Carolina del Sur 2 D 3/2	Ti 3 F 2	V 4 F 3/2	Cr 7 S 3	Minnesota 6 S 5/2	Fe 5 D 4	Co 4 F 9/2	Ni 3 F 4	Cu 2 S 1/2	Zn 1 S 0	Georgia 2 P 1/2	Ge 3 P 0	Como 4 S 3/2	Se 3 P 2	Br 2 P 3/2	Kr 1 S 0
5	Rb 2 S 1/2	Sr 1 S 0		Y 2 D 3/2	Zr 3 F 2	Nótese bien 6 D 1/2	Mes 7 S 3	Tc 6 S 5/2	Ru 5 F 5	Rh 4 F 9/2	Pd 1 S 0	Ag 2 S 1/2	CD 1 S 0	En 2 P 1/2	Sn 3 P 0	Sb 4 S 3/2	Te 3 P 2	I 2 P 3/2	Xe 1 S 0
6	Cs 2 S 1/2	Licenciado en Letras 1 S 0		Lu 2 D 3/2	Hf 3 F 2	Ejército de reserva 4 F 3/2	W 5 D 0	Re 6 S 5/2	Os 5 D 4	Ir 4 F 9/2	Pt 3 D 3	Au 2 S 1/2	Hg 1 S 0	Tl 2 P 1/2	Pb 3 P 0	Bi 4 S 3/2	Correos 3 P 2	A 2 P 3/2	Rn 1 S 0
7	P. 2 S 1/2	Real academia de bellas artes 1 S 0		Lr 2 P 1/2 ?	Rf 3 F 2	Db 4 F 3/2 ?	Sg 5 D 0 ?	Bh 6 S 5/2 ?	Hs 5 D 4 ?	Monte 4 F 9/2 ?	Ds 3 F 4 ?	Rg 2 D 5/2 ?	Cn 1 S 0 ?	Nueva Hampshire 2 P 1/2 ?	Florida 3 P 0 ?	Mc 4 S 3/2 ?	Lv 3 P 2 ?	Ts 2 P 3/2 ?	Og 1 S 0 ?
				La 2 D 3/2	Ce 1 G 4	Pr 4 I 9/2	Dakota del Norte 5 yo 4	Pm 6 H 5/2	Sm 7 F 0	UE 8 S 7/2	Di-s 9 D 2	Tuberculosis 6 H 15/2	Dy 5 yo 8	Ho 4 yo 15/2	Er 3 H 6	Tm 2 F 7/2	Yb 1 S 0
				C.A 2 D 3/2	Th 3 F 2	Pensilvania 4 K 11/2	U 5 L 6	Notario público 6 L 11/2	Pu 7 F 0	Soy 8 S 7/2	Cm 9 D 2	Bk 6 H 15/2	Cf 5 yo 8	Es 4 yo 15/2	Fm 3 H 6	Maryland 2 F 7/2	No 1 S 0
El color de fondo muestra la categoría: bloque s bloque f bloque d bloque p

Símbolos de término para una configuración electrónica

El proceso para calcular todos los símbolos de término posibles para una configuración electrónica dada es algo más largo.

• Primero, se calcula el número total de posibles microestados N para una configuración electrónica dada. Como antes, las (sub) conchas llenas se descartan y solo se conservan las parcialmente llenas. Para un número cuántico orbital dado , t es el máximo número de electrones permitido, . Si hay e electrones en una subcapa dada, el número de microestados posibles es${\displaystyle \ell }$${\displaystyle t=2(2\ell +1)}$

  ${\displaystyle N={t \choose e}={t! \over {e!\,(t-e)!}}.}$

  Como ejemplo, considere la estructura del electrón de carbono : 1s ² 2s ² 2p ² . Después de eliminar las subcapas completas, hay 2 electrones en un nivel p ( ), por lo que hay${\displaystyle \ell =1}$

  ${\displaystyle N={6! \over {2!\,4!}}=15}$

  diferentes microestados.

• En segundo lugar, se extraen todos los microestados posibles. Se calculan M _L y M _S para cada microestado, donde m _i es o para el i -ésimo electrón, y M representa el M _L o M _S resultante respectivamente:${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{e}m_{i}}$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle m_{s}}$

  	${\displaystyle m_{\ell }}$
  	+1	0	−1	M L	M S
  todo para arriba	↑	↑		1	1
  	↑		↑	0	1
  		↑	↑	−1	1
  todo abajo	↓	↓		1	−1
  	↓		↓	0	−1
  		↓	↓	−1	−1
  uno arriba uno abajo	↑ ↓			2	0
  	↑	↓		1	0
  	↑		↓	0	0
  	↓	↑		1	0
  		↑ ↓		0	0
  		↑	↓	−1	0
  	↓		↑	0	0
  		↓	↑	−1	0
  			↑ ↓	−2	0

• En tercer lugar, se cuenta el número de microestados para cada combinación posible M _L - M _S :

  		M S
  		+1	0	−1
  M L	+2		1
  	+1	1	2	1
  	0	1	3	1
  	−1	1	2	1
  	−2		1

• En cuarto lugar, se pueden extraer tablas más pequeñas que representen cada término posible. Cada tabla tendrá el tamaño (2 L +1) por (2 S +1) y solo contendrá "1" como entradas. La primera tabla extraída corresponde a M _{L que} va de -2 a +2 (entonces L = 2 ), con un solo valor para M _S (lo que implica S = 0 ). Esto corresponde a un término ¹ D. Los términos restantes encajan dentro de la parte central de 3 × 3 de la tabla anterior. Luego se puede extraer una segunda tabla, eliminando las entradas para M _L y M _{S que} van desde −1 a +1 (y entonces S =L = 1 , untérmino de ³ P). La tabla restante es una tabla de 1 × 1, con L = S = 0 , es decir, untérmino de ¹ S.

  S = 0, L = 2, J = 2 1 D 2   M s   0 ${\displaystyle m_{\ell }}$ +2 1 +1 1 0 1 −1 1 −2 1

  S = 1, L = 1, J = 2,1,0 3 P 2 , 3 P 1 , 3 P 0   M s   +1 0 −1 ${\displaystyle m_{\ell }}$ +1 1 1 1 0 1 1 1 −1 1 1 1

  S = 0, L = 0, J = 0 1 S 0   M s   0 ${\displaystyle m_{\ell }}$ 0 1

• En quinto lugar, aplicando las reglas de Hund , se puede identificar el estado fundamental (o el estado más bajo para la configuración de interés). Las reglas de Hund no deben usarse para predecir el orden de estados que no sea el más bajo para una configuración dada. (Vea ejemplos en las reglas de Hund # Estados emocionados ).
• Si sólo están involucrados dos electrones equivalentes, hay una "regla par" que establece que, para dos electrones equivalentes, los únicos estados permitidos son aquellos para los que la suma (L + S) es par.

Caso de tres electrones equivalentes

• Para tres electrones equivalentes (con el mismo número cuántico orbital ), también hay una fórmula general (denotado por abajo) para contar el número de cualquiera de los términos permitidos con un total número cuántico orbital L y el total de número cuántico de espín S .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle X(L,S,\ell )}$

${\displaystyle X(L,S,\ell )={\begin{cases}L-\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=1/2{\text{ and }}0\leq L<\ell \\\ell -\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=1/2{\text{ and }}\ell \leq L\leq 3\ell -1\\\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor -\left\lfloor {\tfrac {L-\ell }{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {L-\ell +1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=3/2{\text{ and }}0\leq L<\ell \\\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor -\left\lfloor {\tfrac {L-\ell }{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=3/2{\text{ and }}\ell \leq L\leq 3\ell -3\\0,&{\text{other cases}}\end{cases}}}$

donde la función de piso denota el mayor número entero que no exceda x .${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

La prueba detallada se puede encontrar en el artículo original de Renjun Xu. ^[5]

• Para una configuración electrónica general de , a saber, k electrones equivalentes que ocupan una subcapa, el tratamiento general y el código de computadora también se pueden encontrar en este documento. ^[5]${\displaystyle \ell ^{k}}$

Método alternativo que utiliza la teoría de grupos

Para configuraciones con un máximo de dos electrones (o huecos) por subcapa, se puede obtener un método alternativo y mucho más rápido para llegar al mismo resultado a partir de la teoría de grupos . La configuración 2p ² tiene la simetría del siguiente producto directo en el grupo de rotación completa:

Γ ⁽¹⁾ × Γ ⁽¹⁾ = Γ ⁽⁰⁾ + [Γ ⁽¹⁾ ] + Γ ⁽²⁾ ,

que, usando las etiquetas familiares Γ ⁽⁰⁾ = S , Γ ⁽¹⁾ = P y Γ ⁽²⁾ = D , se puede escribir como

P × P = S + [P] + D.

Los corchetes encierran el cuadrado antisimétrico. Por lo tanto, la configuración 2p ² tiene componentes con las siguientes simetrías:

S + D (del cuadrado simétrico y, por lo tanto, tiene funciones de onda espaciales simétricas);

P (del cuadrado antisimétrico y, por tanto, que tiene una función de onda espacial antisimétrica).

El principio de Pauli y el requisito de que los electrones se describan mediante funciones de onda antisimétricas implican que solo se permiten las siguientes combinaciones de simetría espacial y de espín:

¹ S + ¹ D (espacialmente simétrico, espín antisimétrico)

³ P (espacialmente antisimétrico, espín simétrico).

Luego, uno puede pasar al paso cinco en el procedimiento anterior, aplicando las reglas de Hund.

El método de la teoría de grupos se puede llevar a cabo para otras configuraciones similares, como 3d ² , utilizando la fórmula general

Γ ^(j) × Γ ^(j) = Γ ^(2j) + Γ ^{(2j − 2)} + ⋯ + Γ ⁽⁰⁾ + [Γ ^{(2j − 1)} + ⋯ + Γ ⁽¹⁾ ].

El cuadrado simétrico dará lugar a singletes (como ¹ S, ¹ D y ¹ G), mientras que el cuadrado antisimétrico dará lugar a tripletes (como ³ P y ³ F).

De manera más general, se puede utilizar

Γ ^{( j )} × Γ ^{( k )} = Γ ^{( j + k )} + Γ ^{( j + k −1)} + ⋯ + Γ ^{(| j - k |)}

donde, dado que el producto no es un cuadrado, no se divide en partes simétricas y antisimétricas. Cuando dos electrones provienen de orbitales desiguales, en cada caso se permiten tanto un singlete como un triplete. ^[6]

Resumen de varios esquemas de acoplamiento y símbolos de término correspondientes

Conceptos básicos para todos los esquemas de acoplamiento:

• ${\displaystyle {\overrightarrow {l}}}$: Orbital vector momento angular individual para un electrón, : vector giro individual para un electrón, : vector momento cinético total individual para un electrón, .${\displaystyle {\overrightarrow {s}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {j}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {l}}+{\overrightarrow {s}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$: Vector de momento angular orbital total para todos los electrones en un átomo ( ).${\displaystyle {\overrightarrow {L}}=\sum _{i}{\overrightarrow {l_{i}}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {S}}}$: vector de espín total para todos los electrones ( ).${\displaystyle {\overrightarrow {S}}=\sum _{i}{\overrightarrow {s_{i}}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {J}}}$: vector de momento angular total para todos los electrones. La forma en que se combinan los momentos angulares para formar depende del esquema de acoplamiento: para acoplamiento LS , para acoplamiento jj , etc.${\displaystyle {\overrightarrow {J}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {L}}+{\overrightarrow {S}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}=\sum _{i}{\overrightarrow {j_{i}}}}$
• Un número cuántico correspondiente a la magnitud de un vector es una letra sin flecha (por ejemplo, l es el número cuántico del momento angular orbital para y )${\displaystyle {\overrightarrow {l}}}$${\displaystyle {{\hat {l}}^{2}}\left|l,m,\ldots \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l\left(l+1\right)\left|l,m,\ldots \right\rangle }$
• El parámetro llamado multiplicidad representa el número de valores posibles del número cuántico J del momento angular total para ciertas condiciones.
• Para un solo electrón, el término símbolo no se escribe ya que S es siempre 1/2, y L es obvio por el tipo orbital.
• Para dos grupos de electrones A y B con sus propios términos, cada término puede representar S , L y J, que son números cuánticos correspondientes a los vectores , y para cada grupo. "Acoplamiento" de los términos A y B para formar un nuevo término C significa encontrar números cuánticos para nuevos vectores , y . Este ejemplo es para el acoplamiento LS y qué vectores se suman en un acoplamiento depende del esquema de acoplamiento que se tome. Por supuesto, la regla de la suma del momento angular es que donde X puede ser s, l, j, S, L, J${\displaystyle {\overrightarrow {S}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {S}}={\overrightarrow {S_{A}}}+{\overrightarrow {S_{B}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {L}}={\overrightarrow {L_{A}}}+{\overrightarrow {L_{B}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {L}}+{\overrightarrow {S}}}$${\displaystyle X=X_{A}+X_{B},X_{A}+X_{B}-1,...,|X_{A}-X_{B}|}$ o cualquier otro número cuántico relacionado con la magnitud del momento angular.

Acoplamiento LS (acoplamiento Russell-Saunders)

• El acoplamiento esquema: y se calculan primero y luego se obtiene. Desde un punto de vista práctico, significa que L , S y J se obtienen usando una regla de suma de los momentos angulares de grupos de electrones dados que se van a acoplar.${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {S}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {L}}+{\overrightarrow {S}}}$
• Símbolo de configuración electrónica + Plazo: . es un término que proviene del acoplamiento de electrones en grupo. son el número cuántico principal, el número cuántico orbital y significa que hay N electrones (equivalentes) en la subcapa. Porque , es igual a multiplicidad, un número de valores posibles en J (número cuántico de momento angular total final) de S y L dados . Para , la multiplicidad es , pero todavía está escrito en el término símbolo. Estrictamente hablando, se llama Nivel y se llama Término . A veces superíndice o${\displaystyle n{{\ell }^{N}}{{(}^{(2S+1)}}{{L}_{J}})}$${\displaystyle {{(}^{(2S+1)}}{{L}_{J}})}$${\displaystyle n{{\ell }^{N}}}$${\displaystyle n,\ell }$${\displaystyle n{{\ell }^{N}}}$${\displaystyle n\ell }$${\displaystyle L>S}$${\displaystyle (2S+1)}$${\displaystyle S>L}$${\displaystyle (2L+1)}$${\displaystyle (2S+1)}$${\displaystyle {{(}^{(2S+1)}}{{L}_{J}})}$${\displaystyle {^{\left(2S+1\right)}{L}}}$se adjunta al Término, significa que la paridad del grupo es impar ( ).${\displaystyle P={{\left(-1\right)}^{{\underset {i}{\mathop {\sum } }}\,{{\ell }_{i}}}}}$${\displaystyle P=-1}$
• Ejemplo:
  1. 3d ^{7  4} F _7/2 : ⁴ F _7/2 es el nivel del grupo 3d ⁷ en el que son equivalentes 7 electrones en la subcapa 3d.
  2. 3d ⁷ ( ⁴ F) 4s4p ( ³ P ⁰ )  ⁶ F⁰
     _9/2: ^[7] Se asignan términos para cada grupo (con diferente número cuántico principal n ) y el nivel ⁶ F del extremo derecho  ^o
     _2/9es del acoplamiento de términos de estos grupos por lo que ⁶ F^o
     _2/9representa el número cuántico de espín total final S , el número cuántico de momento angular orbital total L y el número cuántico de momento angular total J en este nivel de energía atómica. Los símbolos ⁴ F y ³ P ^{o se} refieren a siete y dos electrones respectivamente, por lo que se utilizan letras mayúsculas.
  3. 4f ⁷ ( ⁸ S ⁰ ) 5d ( ⁷ D ^o ) 6p  ⁸ F _13/2 : Hay un espacio entre 5d y ( ⁷ D ^o ). Significa que ( ⁸ S ⁰ ) y 5d están acoplados para obtener ( ⁷ D ^o ). Nivel final ⁸ F^o
     _13/2es del acoplamiento de ( ⁷ D ^o ) y 6p.
  4. 4f ( ² F ⁰ ) 5d ² ( ¹ G) 6s ( ² G)  ¹ P⁰
     ₁: Solo hay un Término ² F ^o que está aislado a la izquierda del espacio más a la izquierda. Significa que ( ² F ^o ) está acoplado por último; ( ¹ G) y 6s se acoplan para obtener ( ² G) luego ( ² G) y ( ² F ^o ) se acoplan para obtener el Término ¹ P final^o
     ₁.

jj Coupling

• El acoplamiento esquema: .${\displaystyle {\overrightarrow {J}}=\sum _{i}{\overrightarrow {j_{i}}}}$
• Configuración electrónica + Símbolo de término: ${\displaystyle {{\left({{n}_{1}}{{l}_{1}}_{{j}_{1}}^{{N}_{1}}{{n}_{2}}{{l}_{2}}_{{j}_{2}}^{{N}_{2}}\ldots \right)}_{J}}}$
• Ejemplo:
  1. ${\displaystyle {{\left({\text{6p}}_{\frac {1}{2}}^{2}{\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}\right)}^{o}}_{3/2}}$: Hay dos grupos. Uno es y el otro es . En , hay 2 electrones que tienen una subcapa 6p mientras que hay un electrón que tiene en la misma subcapa adentro . El acoplamiento de estos dos grupos da como resultado (acoplamiento de j de tres electrones).${\displaystyle {\text{6p}}_{1/2}^{2}}$${\displaystyle {\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}}$${\displaystyle {\text{6p}}_{1/2}^{2}}$${\displaystyle j=1/2}$${\displaystyle j=3/2}$${\displaystyle {\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}}$${\displaystyle {1}}$
  2. ${\displaystyle {\text{4d}}_{5/2}^{3}{\text{4d}}_{3/2}^{2}~\ {{\left({\frac {9}{2}},2\right)}_{11/2}}}$: en () es para el primer grupo y${\displaystyle 9/2}$${\displaystyle {{J}_{1}}}$${\displaystyle {\text{4d}}_{5/2}^{3}}$2 en () es J ₂ para el segundo grupo . El subíndice 11/2 del símbolo del término es la J final de .${\displaystyle {\text{4d}}_{3/2}^{2}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {J_{1}}}+{\overrightarrow {J_{2}}}}$

Acoplamiento J ₁ L ₂

• Esquema de acoplamiento: y .${\displaystyle {\overrightarrow {K}}={\overrightarrow {J_{1}}}+{\overrightarrow {L_{2}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {K}}+{\overrightarrow {S_{2}}}}$
• Símbolo de configuración electrónica + Plazo: . Para es igual a multiplicidad, un número de valores posibles en J (número cuántico de momento angular total final) a partir de S ₂ y K dados . Para , la multiplicidad es , pero todavía está escrito en el término símbolo.${\displaystyle {{n}_{1}}{{l}_{1}}^{{N}_{1}}\left(\mathrm {Term} _{1}\right){{n}_{2}}{{l}_{2}}^{{N}_{2}}\left(\mathrm {Term} _{2}\right)~\ {^{\left(2{{S}_{2}}+1\right)}{{\left[K\right]}_{J}}}}$${\displaystyle K>S_{2},(2S_{2}+1)}$${\displaystyle S_{2}>K}$${\displaystyle (2K+1)}$${\displaystyle (2S_{2}+1)}$
• Ejemplo:
  1. 3p ⁵ ( ² P^o
     _1/2) 5g  ² [9/2]^o
     ₅: . es K , que proviene del acoplamiento de J ₁ y l ₂ . El subíndice 5 en el símbolo de término es J, que proviene del acoplamiento de K y s ₂ .${\displaystyle {{J}_{1}}={\frac {1}{2}},{{l}_{2}}=4,~{{s}_{2}}=1/2}$${\displaystyle 9/2}$
  2. 4f ¹³ ( ² F^o
     _7/2) 5d ² ( ¹ D) [7/2]^o
     _7/2: . es K , que proviene del acoplamiento de J ₁ y L ₂ . El subíndice en el símbolo del término es J, que proviene del acoplamiento de K y S ₂ .${\displaystyle {{J}_{1}}={\frac {7}{2}},{{L}_{2}}=2,~{{S}_{2}}=0}$${\displaystyle 7/2}$${\displaystyle 7/2}$

LS₁ coupling

• Coupling scheme:${\displaystyle {\overrightarrow {K}}={\overrightarrow {L}}+{\overrightarrow {S_{1}}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {K}}+{\overrightarrow {S_{2}}}}$.
• Electronic configuration + Term symbol: ${\displaystyle {{n}_{1}}{{l}_{1}}^{{N}_{1}}\left(\mathrm {Term} _{1}\right){{n}_{2}}{{l}_{2}}^{{N}_{2}}\left(\mathrm {Term} _{2}\right)\ ~L~\ {^{\left(2{{S}_{2}}+1\right)}{{\left[K\right]}_{J}}}}$. For ${\displaystyle K>S_{2},(2S_{2}+1)}$ is equal to multiplicity, a number of possible values in J (final total angular momentum quantum number) from given S₂ and K. For ${\displaystyle S_{2}>K}$, multiplicity is ${\displaystyle (2K+1)}$ but ${\displaystyle (2S_{2}+1)}$ is still written in the Term symbol.
• Example:
  1. 3d⁷(⁴P)4s4p(³P^o) D^o 3[5/2]^o
     _7/2: ${\displaystyle {{L}_{1}}=1,~{{L}_{2}}=1,~{{S}_{1}}={\frac {3}{2}},~{{S}_{2}}=1}$. ${\displaystyle L=2,K=5/2,J=7/2}$.

Most famous coupling schemes are introduced here but these schemes can be mixed to express the energy state of an atom. This summary is based on [1].

Racah notation and Paschen notation

These are notations for describing states of singly excited atoms, especially noble gas atoms. Racah notation is basically a combination of LS or Russell–Saunders coupling and J₁L₂ coupling. LS coupling is for a parent ion and J₁L₂ coupling is for a coupling of the parent ion and the excited electron. The parent ion is an unexcited part of the atom. For example, in Ar atom excited from a ground state ...3p⁶ to an excited state ...3p⁵4p in electronic configuration, 3p⁵ is for the parent ion while 4p is for the excited electron.^[8]

In Racah notation, states of excited atoms are denoted as ${\displaystyle \left(^{\left(2{{S}_{1}}+1\right)}{{L}_{1}}_{{J}_{1}}\right)nl\left[K\right]_{J}^{o}}$. Quantities with a subscript 1 are for the parent ion, n and l are principal and orbital quantum numbers for the excited electron, K and J are quantum numbers for ${\displaystyle {\overrightarrow {K}}={\overrightarrow {{J}_{1}}}+{\vec {l}}}$ and ${\displaystyle {\overrightarrow {J}}={\overrightarrow {K}}+{\vec {s}}}$ where ${\displaystyle {\vec {l}}}$ and ${\displaystyle {\vec {s}}}$ are orbital angular momentum and spin for the excited electron respectively. “o” represents a parity of excited atom. For an inert (noble) gas atom, usual excited states are Np⁵nl where N = 2, 3, 4, 5, 6 for Ne, Ar, Kr, Xe, Rn, respectively in order. Since the parent ion can only be ²P_1/2 or ²P_3/2, the notation can be shortened to ${\displaystyle nl\left[K\right]_{J}^{o}}$ or ${\displaystyle nl'\left[K\right]_{J}^{o}}$, where nl means the parent ion is in ²P_3/2 while nl′ is for the parent ion in ²P_1/2 state.

Paschen notation is a somewhat odd notation; it is an old notation made to attempt to fit an emission spectrum of neon to a hydrogen-like theory. It has a rather simple structure to indicate energy levels of an excited atom. The energy levels are denoted as n′l#. l is just an orbital quantum number of the excited electron. n′l is written in a way that 1s for (n = N + 1, l = 0), 2p for (n = N + 1, l = 1), 2s for (n = N + 2, l = 0), 3p for (n = N + 2, l = 1), 3s for (n = N + 3, l = 0), etc. Rules of writing n′l from the lowest electronic configuration of the excited electron are: (1) l is written first, (2) n′ is consecutively written from 1 and the relation of l = n′ − 1, n′ − 2, ... , 0 (like a relation between n and l) is kept. n′l is an attempt to describe electronic configuration of the excited electron in a way of describing electronic configuration of hydrogen atom. # is an additional number denoted to each energy level of given n′l (there can be multiple energy levels of given electronic configuration, denoted by the term symbol). # denotes each level in order, for example, # = 10 is for a lower energy level than # = 9 level and # = 1 is for the highest level in a given n′l. An example of Paschen notation is below.

Electronic configuration of Neon	n′l	Electronic configuration of Argon	n′l
1s22s22p6	Ground state	[Ne]3s23p6	Ground state
1s22s22p53s1	1s	[Ne]3s23p54s1	1s
1s22s22p53p1	2p	[Ne]3s23p54p1	2p
1s22s22p54s1	2s	[Ne]3s23p55s1	2s
1s22s22p54p1	3p	[Ne]3s23p55p1	3p
1s22s22p55s1	3s	[Ne]3s23p56s1	3s

See also

• Quantum number
  • Principal quantum number
  • Azimuthal quantum number
  • Spin quantum number
  • Magnetic quantum number
• Angular quantum numbers
• Angular momentum coupling
• Molecular term symbol
• Hole formalism

Notes

1. There is no official convention for naming angular momentum values greater than 20 (symbol Z). Many authors begin using Greek letters at this point (α, β, γ, ...). The occasions for which such notation is necessary are few and far between, however.

References

1. NIST Atomic Spectrum Database To read neutral carbon atom levels for example, type "C I" in the Spectrum box and click on Retrieve data.
2. Russel, H.N.; Saunders, F.A. (1925) [January 1925]. "New Regularities in the Spectra of the Alkaline Earths". SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS). Astrophysical Journal. adsabs.harvard.edu/. 61: 38. Bibcode:1925ApJ....61...38R. doi:10.1086/142872. Retrieved December 13, 2020 – via harvard.edu.
3. Levine, Ira N., Quantum Chemistry (4th ed., Prentice-Hall 1991), ISBN 0-205-12770-3
4. "NIST Atomic Spectra Database Ionization Energies Form". NIST Physical Measurement Laboratory. National Institute of Standards and Technology (NIST). October 2018. Retrieved 28 January 2019. This form provides access to NIST critically evaluated data on ground states and ionization energies of atoms and atomic ions.
5. Xu, Renjun; Zhenwen, Dai (2006). "Alternative mathematical technique to determine LS spectral terms". Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 39 (16): 3221–3239. arXiv:physics/0510267. Bibcode:2006JPhB...39.3221X. doi:10.1088/0953-4075/39/16/007. S2CID 2422425.
6. McDaniel, Darl H. (1977). "Spin factoring as an aid in the determination of spectroscopic terms". Journal of Chemical Education. 54 (3): 147. Bibcode:1977JChEd..54..147M. doi:10.1021/ed054p147.
7. "Atomic Spectroscopy - Different Coupling Scheme 9. Notations for Different Coupling Schemes". NIST Physical Measurement Laboratory. National Institute of Standards and Technology (NIST). 1 November 2017. Retrieved 31 January 2019.
8. "APPENDIX 1 - Coupling Schemes and Notation" (PDF). University of Toronto: Advanced Physics Laboratory - Course Homepage. Retrieved 5 Nov 2017.