Teorema de Bertini

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En matemáticas , el teorema de Bertini es un teorema de existencia y genérico para secciones de hiperplano conectadas uniformemente para variedades proyectivas suaves sobre campos algebraicamente cerrados , introducido por Eugenio Bertini . Este es el más simple y más amplio de los "teoremas de Bertini" que se aplican a un sistema lineal de divisores ; más simple porque no hay restricción en la característica del campo subyacente, mientras que las extensiones requieren la característica 0. ^{[1] [2]}

Sea X una variedad cuasi-proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado, incrustado en un espacio proyectivo . Dejar que denotan el sistema completo de divisores en hiperplano . Recuerde que es el espacio dual de y es isomorfo a .${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle | H |}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ star}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$

El teorema de Bertini establece que el conjunto de hiperplanos que no contienen X y con intersección suave con X contiene un subconjunto denso abierto del sistema total de divisores . El conjunto en sí está abierto si X es proyectivo. Si , entonces estas intersecciones (llamadas secciones de hiperplano de X ) están conectadas, por lo tanto, son irreductibles.${\ Displaystyle | H |}$${\ Displaystyle \ dim (X) \ geq 2}$

Por tanto, el teorema afirma que una sección de hiperplano general que no es igual a X es suave, es decir: la propiedad de suavidad es genérica.

Sobre un campo arbitrario k , existe un subconjunto abierto densa del espacio dual cuya racional puntos definir hiperplanos suavizar secciones hiperplano de X . Cuando k es infinito, este subconjunto abierto a continuación, tiene un número infinito de puntos racionales y hay un número infinito de secciones hiperplano suaves en X .${\ Displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ star}}$

Sobre un campo finito, lo anterior subconjunto abierto no puede contener puntos racionales y en general no hay hiperplanos con intersección suave con X . Sin embargo, si tomamos hipersuperficies de grados suficientemente grandes, entonces se cumple el teorema de Bertini. ^[3]

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