Teorema del mayor peso

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En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema del mayor peso clasifica las representaciones irreducibles de un álgebra de Lie semisimple compleja . ^{[1] [2]} Existe un teorema estrechamente relacionado que clasifica las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto conectado . ^[3] El teorema establece que existe una biyección${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización K}$

del conjunto de "elementos integrales dominantes" al conjunto de clases de equivalencia de representaciones irreducibles de o . La diferencia entre los dos resultados está en la noción precisa de "integral" en la definición de un elemento integral dominante. Si está simplemente conectado, esta distinción desaparece.${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización K}$

El teorema fue probado originalmente por Élie Cartan en su artículo de 1913. ^[4] La versión del teorema para un grupo de Lie compacto se debe a Hermann Weyl . El teorema es una de las piezas clave de la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples .

Sea un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita con subálgebra de Cartan . Sea el sistema raíz asociado . Entonces decimos que un elemento es integral ^[5] si ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{h}}}$${\ estilo de visualización R}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$

es un entero para cada raíz . A continuación, elegimos un conjunto de raíces positivas y decimos que un elemento es dominante si para todos . Un elemento integral dominante si es a la vez dominante e integral. Finalmente, si y están en , decimos que es mayor ^[6] que si es expresable como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos.${\ estilo de visualización \ alfa}$${\ estilo de visualización R^{+}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$${\ estilo de visualización \ langle \ lambda, \ alfa \ rangle \ geq 0}$${\ estilo de visualización \ alfa \ en R ^ {+}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda}$${\ estilo de visualización \ mu}$${\displaystyle {\mathfrak{h}}}$${\ estilo de visualización \ lambda}$${\ estilo de visualización \ mu}$${\ estilo de visualización \ lambda - \ mu}$

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