En matemáticas , un sistema de raíces es una configuración de vectores en un espacio euclidiano que satisface ciertas propiedades geométricas. El concepto es fundamental en la teoría de grupos de Lie y álgebras de Lie , especialmente en la teoría de clasificación y representación de álgebras de Lie semisimples . Dado que los grupos de Lie (y algunos análogos como los grupos algebraicos ) y las álgebras de Lie se han vuelto importantes en muchas partes de las matemáticas durante el siglo XX, la naturaleza aparentemente especial de los sistemas de raíces oculta el número de áreas en las que se aplican. Además, el esquema de clasificación para sistemas de raíces, por diagramas de Dynkin, ocurre en partes de las matemáticas sin conexión abierta con la teoría de Lie (como la teoría de la singularidad ). Finalmente, los sistemas de raíces son importantes por sí mismos, como en la teoría de grafos espectrales . [1]
Definiciones y ejemplos
Como primer ejemplo, considere los seis vectores en el espacio euclidiano bidimensional , R 2 , como se muestra en la imagen de la derecha; llámalos raíces . Estos vectores abarcan todo el espacio. Si considera la línea perpendicular a cualquier raíz, digamos β , entonces el reflejo de R 2 en esa línea envía cualquier otra raíz, digamos α , a otra raíz. Además, la raíz a la que se envía es igual a α + nβ , donde n es un número entero (en este caso, n es igual a 1). Estos seis vectores satisfacen la siguiente definición y, por lo tanto, forman un sistema de raíces; éste se conoce como A 2 .
Definición
Sea E un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita , con el producto interno euclidiano estándar denotado por. Un sistema de raíces en E es un conjunto finito de vectores distintos de cero (llamados raíces ) que satisfacen las siguientes condiciones: [2] [3]
- Las raíces se extienden E .
- Los únicos múltiplos escalares de una raíz que pertenecen a están sí mismo y .
- Por cada raíz , el conjunto está cerrado bajo reflexión a través del hiperplano perpendicular a.
- ( Integralidad ) Si y son raíces en , luego la proyección de en la línea a través de es un múltiplo entero o medio entero de.
Una forma equivalente de escribir las condiciones 3 y 4 es la siguiente:
- Para dos raíces cualesquiera , el conjunto contiene el elemento
- Para dos raíces cualesquiera , el número es un número entero .
Algunos autores solo incluyen las condiciones 1 a 3 en la definición de un sistema de raíces. [4] En este contexto, un sistema de raíces que también satisface la condición de integralidad se conoce como sistema de raíces cristalográficas . [5] Otros autores omiten la condición 2; luego llaman reducidos a los sistemas raíz que satisfacen la condición 2 . [6] En este artículo, se supone que todos los sistemas de raíces son reducidos y cristalográficos.
En vista de la propiedad 3, la condición de integralidad equivale a afirmar que β y su reflexión σ α ( β ) difieren en un múltiplo entero de α . Tenga en cuenta que el operador
Sistema raíz | Sistema raíz |
Sistema raíz | Sistema raíz |
Sistema raíz | Sistema raíz |
El rango de un sistema de raíces Φ es la dimensión de E . Se pueden combinar dos sistemas de raíces considerando los espacios euclidianos que abarcan como subespacios mutuamente ortogonales de un espacio euclidiano común. Un sistema de raíces que no surge de tal combinación, como los sistemas A 2 , B 2 y G 2 que se muestran a la derecha, se dice que es irreductible .
Dos sistemas de raíces ( E 1 , Φ 1 ) y ( E 2 , Φ 2 ) se denominan isomorfos si hay una transformación lineal invertible E 1 → E 2 que envía Φ 1 a Φ 2 de manera que para cada par de raíces, el númerose conserva. [7]
La celosía raíz de un sistema raíz Φ es elsubmóduloZdeEgenerado por Φ. Se trata de unacelosíaen E.
Grupo Weyl
El grupo de isometrías de E generado por reflexiones a través de hiperplanos asociados a las raíces de Φ se denomina grupo de Weyl de Φ. Como actúa fielmente sobre el conjunto finito Φ, el grupo de Weyl es siempre finito. Los planos de reflexión son los hiperplanos perpendiculares a las raíces, indicados paramediante líneas discontinuas en la figura siguiente. El grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, que tiene seis elementos. En este caso, el grupo Weyl no es el grupo de simetría completo del sistema de raíces (por ejemplo, una rotación de 60 grados es una simetría del sistema de raíces pero no un elemento del grupo de Weyl).
Clasificar un ejemplo
Solo hay un sistema raíz de rango 1, que consta de dos vectores distintos de cero . Este sistema raíz se llama.
Clasificar dos ejemplos
En el rango 2 hay cuatro posibilidades, correspondientes a , dónde . [8] La figura de la derecha muestra estas posibilidades, pero con algunas redundancias: es isomorfo a y es isomorfo a .
Tenga en cuenta que un sistema raíz no está determinado por el enrejado que genera: y ambos generan una celosía cuadrada mientras y generar una celosía hexagonal , solo dos de los cinco posibles tipos de celosías en dos dimensiones .
Siempre que Φ es un sistema de raíces en E y S es un subespacio de E atravesado por Ψ = Φ ∩ S , entonces Ψ es un sistema de raíces en S . Por lo tanto, la lista exhaustiva de cuatro sistemas de raíces de rango 2 muestra las posibilidades geométricas para dos raíces cualesquiera elegidas de un sistema de raíces de rango arbitrario. En particular, dos de estas raíces deben encontrarse en un ángulo de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 o 180 grados.
Sistemas de raíces que surgen de álgebras de Lie semisimple
Si es un álgebra de Lie semisimple compleja yes una subálgebra de Cartan , podemos construir un sistema de raíces de la siguiente manera. Nosotros decimos esoes una raíz de relativo a Si y existe algo tal que
Historia
El concepto de sistema de raíces fue introducido originalmente por Wilhelm Killing alrededor de 1889 (en alemán, Wurzelsystem [10] ). [11] Los usó en su intento de clasificar todas las álgebras de Lie simples sobre el campo de los números complejos . Killing originalmente cometió un error en la clasificación, enumerando dos sistemas raíz excepcionales de rango 4, cuando en realidad solo hay uno, ahora conocido como F 4 . Cartan posteriormente corrigió este error, mostrando que los dos sistemas de raíces de Killing eran isomórficos. [12]
Killing investigó la estructura de un álgebra de Lie , considerando lo que ahora se llama una subálgebra de Cartan . Luego estudió las raíces del polinomio característico , dónde . Aquí una raíz se considera una función de, o de hecho como un elemento del espacio vectorial dual . Este conjunto de raíces forman un sistema de raíces en el interior, como se definió anteriormente, donde el producto interno es la forma de Matar . [11]
Consecuencias elementales de los axiomas del sistema de raíces
El coseno del ángulo entre dos raíces está restringido a la mitad de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Esto es porque y son enteros, por supuesto, y
Desde , los únicos valores posibles para están y , correspondiente a ángulos de 90 °, 60 ° o 120 °, 45 ° o 135 °, 30 ° o 150 ° y 0 ° o 180 °. La condición 2 dice que ningún múltiplo escalar de α que no sea 1 y −1 puede ser raíces, por lo que 0 o 180 °, que corresponderían a 2 α o −2 α , están fuera. El diagrama de la derecha muestra que un ángulo de 60 ° o 120 ° corresponde a raíces de igual longitud, mientras que un ángulo de 45 ° o 135 ° corresponde a una relación de longitud de y un ángulo de 30 ° o 150 ° corresponde a una relación de longitud de .
En resumen, aquí están las únicas posibilidades para cada par de raíces. [13]
- Ángulo de 90 grados; en ese caso, la relación de longitud no está restringida.
- Ángulo de 60 o 120 grados, con una relación de longitud de 1.
- Ángulo de 45 o 135 grados, con una relación de longitud de .
- Ángulo de 30 o 150 grados, con una relación de longitud de .
Raíces positivas y raíces simples
Dado un sistema raíz siempre podemos elegir (de muchas formas) un conjunto de raíces positivas . Este es un subconjunto de tal que
- Para cada raíz exactamente una de las raíces , está contenido en .
- Para dos distintos tal que es una raíz, .
Si un conjunto de raíces positivas es elegido, elementos de se llaman raíces negativas . Se puede construir un conjunto de raíces positivas eligiendo un hiperplano no contiene ninguna raíz y configuración ser todas las raíces que se encuentran en un lado fijo de . Además, todo conjunto de raíces positivas surge de esta manera. [14]
Un elemento de se llama raíz simple si no se puede escribir como la suma de dos elementos de. (El conjunto de raíces simples también se conoce como base para.) El conjunto de raíces simples es una base de con las siguientes propiedades especiales adicionales: [15]
- Cada raíz es una combinación lineal de elementos de con coeficientes enteros .
- Para cada , los coeficientes del punto anterior son todos no negativos o todos no positivos.
Para cada sistema raíz hay muchas opciones diferentes del conjunto de raíces positivas o, de manera equivalente, de las raíces simples, pero dos conjuntos de raíces positivas cualesquiera difieren por la acción del grupo de Weyl. [dieciséis]
Sistema de raíz dual, coroots y elementos integrales
El sistema de raíz dual
Si Φ es un sistema de raíces en E , el coroot α ∨ de una raíz α está definido por
El conjunto de coroots también forma un sistema de raíces Φ ∨ en E , llamado sistema de raíz dual (o, a veces, sistema de raíz inverso ). Por definición, α ∨ ∨ = α, de modo que Φ es el sistema de raíz dual de Φ ∨ . La celosía en E abarcada por Φ ∨ se llama celosía coroot . Tanto Φ como Φ ∨ tienen el mismo grupo de Weyl W y, para s en W ,
Si Δ es un conjunto de raíces simples para Φ, entonces Δ ∨ es un conjunto de raíces simples para Φ ∨ . [17]
En la clasificación que se describe a continuación, los sistemas de raíces de tipo y junto con los excepcionales sistemas de raíces son todos auto-duales, lo que significa que el sistema raíz dual es isomórfico al sistema raíz original. Por el contrario, el y Los sistemas de raíces son duales entre sí, pero no isomorfos (excepto cuando ).
Elementos integrales
Un vector en E se llama integral [18] si su producto interno con cada coroot es un número entero:
El conjunto de elementos integrales se denomina red de ponderaciones asociada al sistema de raíces dado. Este término proviene de la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples , donde los elementos integrales forman los posibles pesos de las representaciones de dimensión finita.
La definición de un sistema de raíces garantiza que las raíces mismas sean elementos integrales. Por tanto, toda combinación lineal entera de raíces también es integral. En la mayoría de los casos, sin embargo, habrá elementos integrales que no son combinaciones enteras de raíces. Es decir, en general la celosía de peso no coincide con la celosía raíz.
Clasificación de sistemas de raíces por diagramas de Dynkin
Un sistema raíz es irreductible si no se puede dividir en la unión de dos subconjuntos adecuados. , tal que para todos y .
Los sistemas de raíces irreducibles corresponden a ciertos gráficos , los diagramas de Dynkin que llevan el nombre de Eugene Dynkin . La clasificación de estos gráficos es una simple cuestión de combinatoria e induce una clasificación de sistemas de raíces irreductibles.
Construyendo el diagrama de Dynkin
Dado un sistema de raíces, seleccione un conjunto Δ de raíces simples como en la sección anterior. Los vértices del diagrama de Dynkin asociado corresponden a las raíces en Δ. Los bordes se dibujan entre los vértices de la siguiente manera, de acuerdo con los ángulos. (Tenga en cuenta que el ángulo entre raíces simples es siempre de al menos 90 grados).
- Sin arista si los vectores son ortogonales,
- Un solo borde no dirigido si forman un ángulo de 120 grados,
- Un doble filo dirigido si forman un ángulo de 135 grados, y
- Un triple filo dirigido si forman un ángulo de 150 grados.
El término "borde dirigido" significa que los bordes dobles y triples están marcados con una flecha que apunta hacia el vector más corto. (Pensar en la flecha como un signo "mayor que" deja en claro hacia dónde se supone que debe apuntar la flecha).
Tenga en cuenta que por las propiedades elementales de las raíces mencionadas anteriormente, las reglas para crear el diagrama de Dynkin también se pueden describir de la siguiente manera. Sin borde si las raíces son ortogonales; para raíces no ortogonales, una arista simple, doble o triple según si la relación de longitud de la más larga a la más corta es 1,, . En el caso de la sistema de raíces, por ejemplo, hay dos raíces simples en un ángulo de 150 grados (con una relación de longitud de ). Así, el diagrama de Dynkin tiene dos vértices unidos por una arista triple, con una flecha apuntando desde el vértice asociado a la raíz más larga al otro vértice. (En este caso, la flecha es un poco redundante, ya que el diagrama es equivalente en cualquier dirección que vaya).
Clasificación de sistemas de raíces
Aunque un sistema de raíces dado tiene más de un posible conjunto de raíces simples, el grupo Weyl actúa de manera transitiva sobre tales elecciones. [19] En consecuencia, el diagrama de Dynkin es independiente de la elección de raíces simples; está determinado por el propio sistema raíz. Por el contrario, dados dos sistemas de raíces con el mismo diagrama de Dynkin, uno puede emparejar raíces, comenzando con las raíces en la base, y mostrar que los sistemas son de hecho los mismos. [20]
Así, el problema de clasificar los sistemas de raíces se reduce al problema de clasificar los posibles diagramas de Dynkin. Un sistema de raíces es irreducible si y solo si sus diagramas de Dynkin están conectados. [21] Los posibles esquemas conectados son los indicados en la figura. Los subíndices indican el número de vértices en el diagrama (y por lo tanto el rango del correspondiente sistema de raíces irreductibles).
Si es un sistema raíz, el diagrama de Dynkin para el sistema raíz dual se obtiene del diagrama de Dynkin de manteniendo los mismos vértices y aristas, pero invirtiendo las direcciones de todas las flechas. Por lo tanto, podemos ver en sus diagramas de Dynkin que y son duales entre sí.
Cámaras de Weyl y el grupo Weyl
Si es un sistema de raíces, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz . Recordar quedenota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo de Weyl es el grupo de transformaciones de generado por todos los 's. El complemento del conjunto de hiperplanos está desconectado y cada componente conectado se denomina cámara de Weyl . Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir la cámara de Weyl fundamental asociada a Δ como el conjunto de puntos tal que para todos .
Desde los reflejos preservar , también conservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Por tanto, cada elemento del grupo Weyl permuta las cámaras Weyl.
La figura ilustra el caso de la sistema raíz. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensionales) ortogonales a las raíces se indican mediante líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada.
Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es el siguiente: [22]
- Teorema : El grupo de Weyl actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. Por tanto, el orden del grupo Weyl es igual al número de cámaras Weyl.
En el caso, por ejemplo, el grupo Weyl tiene seis elementos y hay seis cámaras Weyl.
Un resultado relacionado es este: [23]
- Teorema : arreglar una cámara de Weyl . Entonces para todos , la órbita de Weyl de contiene exactamente un punto en el cierre de .
Sistemas de raíces y teoría de Lie
Los sistemas de raíces irreducibles clasifican una serie de objetos relacionados en la teoría de Lie, en particular los siguientes:
- álgebras de Lie simples y complejas (ver la discusión anterior sobre los sistemas de raíces que surgen de las álgebras de Lie semisimples),
- grupos de Lie complejos simplemente conectados que son centros de módulo simples, y
- grupos de Lie compactos simplemente conectados que son simples centros de módulo.
En cada caso, las raíces son pesos distintos de cero de la representación adjunta .
Ahora damos una breve indicación de cómo los sistemas de raíces irreductibles clasifican las álgebras de Lie simples sobre , siguiendo los argumentos de Humphreys. [24] Un resultado preliminar dice que un álgebra de Lie semisimple es simple si y solo si el sistema de raíces asociado es irreducible. [25] Por lo tanto, restringimos la atención a los sistemas de raíces irreductibles y álgebras de Lie simples.
- Primero, debemos establecer que para cada álgebra simple solo hay un sistema raíz. Esta afirmación se deriva del resultado de que la subálgebra de Cartan dees único hasta el automorfismo, [26] de lo que se sigue que dos subálgebras de Cartan dan sistemas de raíces isomórficas.
- A continuación, debemos demostrar que para cada sistema de raíces irreductibles, puede haber como máximo un álgebra de Lie, es decir, que el sistema de raíces determina el álgebra de Lie hasta el isomorfismo. [27]
- Finalmente, debemos mostrar que para cada sistema de raíces irreductibles, hay un álgebra de Lie simple asociada. Esta afirmación es obvia para los sistemas de raíces de tipo A, B, C y D, para los cuales las álgebras de Lie asociadas son las álgebras clásicas. Entonces es posible analizar las álgebras excepcionales caso por caso. Alternativamente, se puede desarrollar un procedimiento sistemático para construir un álgebra de Lie a partir de un sistema de raíces, usando las relaciones de Serre . [28]
Para las conexiones entre los sistemas de raíces excepcionales y sus grupos de Lie y álgebras de Lie, ver E 8 , E 7 , E 6 , F 4 y G 2 .
Propiedades de los sistemas radiculares irreductibles
I | D | ||||
---|---|---|---|---|---|
A n ( n ≥ 1) | n ( n + 1) | n + 1 | ( n + 1)! | ||
B n ( n ≥ 2) | 2 n 2 | 2 n | 2 | 2 | 2 n n ! |
C n ( n ≥ 3) | 2 n 2 | 2 n ( n - 1) | 2 n −1 | 2 | 2 n n ! |
D n ( n ≥ 4) | 2 n ( n - 1) | 4 | 2 n - 1 n ! | ||
E 6 | 72 | 3 | 51840 | ||
E 7 | 126 | 2 | 2903040 | ||
E 8 | 240 | 1 | 696729600 | ||
F 4 | 48 | 24 | 4 | 1 | 1152 |
G 2 | 12 | 6 | 3 | 1 | 12 |
Los sistemas de raíces irreducibles se nombran de acuerdo con sus correspondientes diagramas de Dynkin conectados. Hay cuatro familias infinitas (A n , B n , C n y D n , llamadas sistemas de raíces clásicos ) y cinco casos excepcionales (los sistemas de raíces excepcionales ). El subíndice indica el rango del sistema raíz.
En un sistema de raíces irreductibles puede haber como máximo dos valores para la longitud ( α , α ) 1/2 , correspondientes a raíces cortas y largas . Si todas las raíces tienen la misma longitud, se consideran largas por definición y se dice que el sistema de raíces está simplemente entrelazado ; esto ocurre en los casos A, D y E. Dos raíces cualesquiera de la misma longitud se encuentran en la misma órbita del grupo Weyl. En los casos no simplemente atado B, C, G y F, el enrejado de la raíz es atravesado por las raíces cortas y las largas raíces abarcan un subretículo, invariante bajo el grupo Weyl, igual a r 2 /2 veces la celosía coroot, donde r es la longitud de una raíz larga.
En la tabla adyacente, | Φ < | denota el número de raíces cortas, I denota el índice en la red de raíces de la subred generado por raíces largas, D denota el determinante de la matriz de Cartan , y | W | denota el orden del grupo Weyl .
Construcción explícita de los sistemas de raíces irreductibles.
Un n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
Sea E el subespacio de R n +1 para el cual las coordenadas suman 0, y sea Φ el conjunto de vectores en E de longitud √ 2 y que son vectores enteros, es decir , tienen coordenadas enteras en R n +1 . Dicho vector debe tener todas menos dos coordenadas iguales a 0, una coordenada igual a 1 y una igual a -1, por lo que hay n 2 + n raíces en total. Una opción de raíces simples expresada en la base estándar es: α i = e i - e i +1 , para 1 ≤ i ≤ n.
La reflexión σ i a través del hiperplano perpendicular a α i es la misma que la permutación de las coordenadas i -ésima y ( i + 1 )-ésima adyacentes . Tales transposiciones generan el grupo de permutación completo . Para raíces simples adyacentes, σ i ( α i +1 ) = α i +1 + α i = σ i +1 ( α i ) = α i + α i +1 , es decir, la reflexión es equivalente a sumar un múltiplo de 1; pero la reflexión de una raíz simple perpendicular a una raíz simple no adyacente la deja sin cambios, difiriendo en un múltiplo de 0.
La red de raíces A n , es decir, la red generada por las raíces A n , se describe más fácilmente como el conjunto de vectores enteros en R n +1 cuyos componentes suman cero.
La celosía de la raíz A 2 es la disposición del vértice del mosaico triangular .
La red de raíz A 3 es conocida por los cristalógrafos como la red cúbica centrada en la cara (o cúbica compactada ). [29] Es la disposición del vértice del panal tetraédrico-octaédrico .
El sistema de raíces A 3 (así como los otros sistemas de raíces de rango tres) se pueden modelar en el conjunto de Zometool Construction . [30]
En general, la red de raíces A n es la disposición de vértices del panal simplectico n- dimensional .
B n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
α 4 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Sea E = R n , y sea Φ todos los vectores enteros en E de longitud 1 o √ 2 . El número total de raíces es 2 n 2 . Una opción de raíces simples es: α i = e i - e i +1 , para 1 ≤ i ≤ n - 1 (la elección anterior de raíces simples para A n −1 ), y la raíz más corta α n = e n .
La reflexión σ n a través de la hiperplano perpendicular a la raíz corta α n es, por supuesto, simplemente negación de la n º de coordenadas. Para la raíz simple larga α n −1 , σ n −1 ( α n ) = α n + α n −1 , pero para la reflexión perpendicular a la raíz corta, σ n ( α n −1 ) = α n −1 + 2 α n , una diferencia de un múltiplo de 2 en lugar de 1.
La red de raíces B n , es decir, la red generada por las raíces B n , consta de todos los vectores enteros.
B 1 es isomorfo a A 1 mediante la escala de √ 2 y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto.
C n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
α 4 | 0 | 0 | 0 | 2 |
Sea E = R n , y sea Φ todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 junto con todos los vectores de la forma 2 λ , donde λ es un vector entero de longitud 1. El número total de raíces es 2 n 2 . Una opción de raíces simples es: α i = e i - e i +1 , para 1 ≤ i ≤ n - 1 (la elección anterior de raíces simples para A n −1 ), y la raíz más larga α n = 2 e n . La reflexión σ n ( α n −1 ) = α n −1 + α n , pero σ n −1 ( α n ) = α n + 2 α n −1 .
La red de raíces C n , es decir, la red generada por las raíces C n , consta de todos los vectores enteros cuyos componentes suman un número entero par.
C 2 es isomorfo a B 2 a través de una escala de √ 2 y una rotación de 45 grados y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto.
D n
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | −1 |
α 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Sea E = R n , y sea Φ todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 . El número total de raíces es 2 n ( n - 1). Una opción de raíces simples es: α i = e i - e i +1 , para 1 ≤ i ≤ n - 1 (la elección anterior de raíces simples para A n −1 ) más α n = e n + e n −1 .
La reflexión a través del hiperplano perpendicular a α n es lo mismo que transponer y negar las coordenadas n -ésima y ( n - 1) -ésima adyacentes . Cualquier raíz simple y su reflejo perpendicular a otra raíz simple difieren en un múltiplo de 0 o 1 de la segunda raíz, no en un múltiplo mayor.
La red de raíces D n , es decir, la red generada por las raíces D n , consta de todos los vectores enteros cuyos componentes suman un número entero par. Esto es lo mismo que el enrejado de la raíz C n .
Las raíces D n se expresan como los vértices de un n - ortoplex rectificado , diagrama de Coxeter-Dynkin :.... Los 2 n ( n −1) vértices existen en el medio de las aristas del n -ortoplejo.
D 3 coincide con A 3 y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto. Los vectores raíz de 12 D 3 se expresan como los vértices de, una construcción de simetría más baja del cuboctaedro .
D 4 tiene una simetría adicional llamada trialidad . Los vectores raíz de 24 D 4 se expresan como los vértices de, una construcción de simetría más baja de las 24 celdas .
Mi 6 , Mi 7 , Mi 8
72 vértices de 1 22 representan los vectores raíz de E 6 (los nodos verdes se duplican en esta proyección del plano de Coxeter E6) | 126 vértices de 2 31 representan los vectores raíz de E 7 | 240 vértices de 4 21 representan los vectores raíz de E 8 |
- El sistema raíz E 8 es cualquier conjunto de vectores en R 8 que sea congruente con el siguiente conjunto:
El sistema de raíces tiene 240 raíces. El conjunto que se acaba de enumerar es el conjunto de vectores de longitud √ 2 en el retículo de la raíz E8, también conocido simplemente como el retículo E8 o Γ 8 . Este es el conjunto de puntos en R 8 tal que:
- todas las coordenadas son enteros o todas las coordenadas son medio enteros (no se permite una mezcla de enteros y medios enteros), y
- la suma de las ocho coordenadas es un número entero par .
Por lo tanto,
- El sistema de raíces E 7 es el conjunto de vectores en E 8 que son perpendiculares a una raíz fija en E 8 . El sistema de raíces E 7 tiene 126 raíces.
- El sistema de raíces E 6 no es el conjunto de vectores en E 7 que son perpendiculares a una raíz fija en E 7 , de hecho, se obtiene D 6 de esa manera. Sin embargo, E 6 es el subsistema de E 8 perpendicular a dos raíces elegidas adecuadamente de E 8 . El sistema de raíces E 6 tiene 72 raíces.
1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
−1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 |
Una descripción alternativa de la celosía E 8 que a veces es conveniente es como el conjunto Γ ' 8 de todos los puntos en R 8 tal que
- todas las coordenadas son números enteros y la suma de las coordenadas es par, o
- todas las coordenadas son medio enteros y la suma de las coordenadas es impar.
Las celosías Γ 8 y Γ ' 8 son isomorfas ; uno puede pasar de uno a otro cambiando los signos de cualquier número impar de coordenadas. El enrejado Γ 8 a veces se denomina sistema de coordenadas par para E 8, mientras que el enrejado Γ ' 8 se denomina sistema de coordenadas impar .
Una opción de raíces simples para E 8 en el sistema de coordenadas pares con filas ordenadas por orden de nodo en los diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es:
- α i = e i - e i +1 , para 1 ≤ i ≤ 6, y
- α 7 = e 7 + e 6
(la elección anterior de raíces simples para D 7 ) junto con
1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | −1 |
−1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/2 |
Una opción de raíces simples para E 8 en el sistema de coordenadas impares con filas ordenadas por orden de nodo en diagramas Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es:
- α i = e i - e i 1 , para 1 ≤ i ≤ 7
(la elección anterior de raíces simples para A 7 ) junto con
- α 8 = β 5 , donde
- β j =
(El uso de β 3 daría un resultado isomórfico. El uso de β 1,7 o β 2,6 simplemente daría A 8 o D 8. En cuanto a β 4 , sus coordenadas suman 0, y lo mismo es cierto para α 1 .. .7 , por lo que abarcan solo el subespacio de 7 dimensiones para el que las coordenadas suman 0; de hecho, −2 β 4 tiene coordenadas (1,2,3,4,3,2,1) en la base ( α i ) .)
Dado que la perpendicularidad a α 1 significa que las dos primeras coordenadas son iguales, E 7 es entonces el subconjunto de E 8 donde las dos primeras coordenadas son iguales, y de manera similar E 6 es el subconjunto de E 8 donde las primeras tres coordenadas son iguales. Esto facilita las definiciones explícitas de E 7 y E 6 como:
- E 7 = { α ∈ Z 7 ∪ ( Z +1/2) 7 : ∑ α i 2 + α 1 2 = 2, ∑ α i + α 1 ∈ 2 Z },
- E 6 = { α ∈ Z 6 ∪ ( Z +1/2) 6 : ∑ α i 2 + 2 α 1 2 = 2, ∑ α i + 2 α 1 ∈ 2 Z }
Tenga en cuenta que al eliminar α 1 y luego α 2 se obtienen conjuntos de raíces simples para E 7 y E 6 . Sin embargo, estos conjuntos de raíces simples están en diferentes subespacios E 7 y E 6 de E 8 que los escritos anteriormente, ya que no son ortogonales a α 1 o α 2 .
F 4
e 1 | e 2 | e 3 | e 4 | |
---|---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 | 0 |
α 2 | 0 | 1 | −1 | 0 |
α 3 | 0 | 0 | 1 | 0 |
α 4 | −1/2 | −1/2 | −1/2 | −1/2 |
Para F 4 , sea E = R 4 y Φ denote el conjunto de vectores α de longitud 1 o √ 2 de manera que las coordenadas de 2α sean todas enteras y todas pares o todas impares. Hay 48 raíces en este sistema. Una opción de raíces simples es: la elección de raíces simples dada anteriormente para B 3 , más.
La celosía raíz F 4 , es decir, la celosía generada por el sistema raíz F 4 , es el conjunto de puntos en R 4 tal que todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son medio enteros (una mezcla de enteros y medios -no se permiten enteros). Esta celosía es isomorfa a la celosía de los cuaterniones de Hurwitz .
G 2
e 1 | e 2 | e 3 | |
---|---|---|---|
α 1 | 1 | −1 | 0 |
β | −1 | 2 | −1 |
El sistema de raíces G 2 tiene 12 raíces, que forman los vértices de un hexagrama . Vea la imagen de arriba .
Una opción de raíces simples es: ( α 1 , β = α 2 - α 1 ) donde α i = e i - e i +1 para i = 1, 2 es la elección anterior de raíces simples para A 2 .
La celosía de la raíz G 2 , es decir, la celosía generada por las raíces G 2 , es la misma que la celosía de la raíz A 2 .
El poset raíz
El conjunto de raíces positivas se ordena naturalmente diciendo que si y solo si es una combinación lineal no negativa de raíces simples. Este poset está calificado por, y tiene muchas propiedades combinatorias notables, una de ellas es que se pueden determinar los grados de las invariantes fundamentales del grupo de Weyl correspondiente a partir de este poset. [31] El gráfico de Hasse es una visualización del orden del poset raíz.
Ver también
- Clasificación ADE
- Sistema de raíces afines
- Diagrama de Coxeter-Dynkin
- Grupo Coxeter
- Matriz de Coxeter
- Diagrama de Dynkin
- dato de raíz
- Álgebra de mentira semimple
- Pesos en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimple
- Sistema de raíces de un álgebra de Lie semi-simple
- Grupo Weyl
Notas
- ^ Cvetković, Dragoš (2002). "Gráficos con menos valor propio -2; un estudio histórico y desarrollos recientes en gráficos excepcionales máximos" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 356 (1–3): 189–210. doi : 10.1016 / S0024-3795 (02) 00377-4 .
- ↑ Bourbaki, Ch.VI, Sección 1
- ^ Humphreys 1972 , p. 42
- ^ Humphreys 1992 , p. 6
- ^ Humphreys 1992 , p. 39
- ^ Humphreys 1992 , p. 41
- ^ Humphreys 1972 , p. 43
- ^ Salón 2015 Proposición 8.8
- ↑ Hall 2015 , Sección 7.5
- ^ Matar a 1889
- ↑ a b Bourbaki , 1998 , p. 270
- ^ Coleman , 1989 , p. 34
- ^ Salón 2015 Proposición 8.6
- ↑ Hall 2015 , Teoremas 8.16 y 8.17
- ↑ Hall 2015 , Teorema 8.16
- ↑ Hall 2015 , Proposición 8.28
- ↑ Hall 2015 , Proposición 8.18
- ↑ Hall 2015 , Sección 8.7
- ^ Esto se desprende de Hall 2015 , Proposición 8.23
- ↑ Hall 2015 , Proposición 8.32
- ↑ Hall 2015 , Proposición 8.23
- ^ Salón 2015 , proposiciones 8.23 y 8.27
- ↑ Hall 2015 , Proposición 8.29
- ↑ Ver varias partes de los Capítulos III, IV y V de Humphreys 1972 , que culminan en la Sección 19 del Capítulo V
- ↑ Hall 2015 , Teorema 7.35
- ^ Humphreys 1972 , sección 16
- ↑ Humphreys 1972 , Parte (b) del Teorema 18.4
- ^ Humphreys 1972 Sección 18.3 y Teorema 18.4
- ^ Conway, John ; Sloane, Neil JA (1998). "Sección 6.3". Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas . Saltador. ISBN 978-0-387-98585-5.
- ^ Salón 2015 Sección 8.9
- ^ Humphreys 1992 , Teorema 3.20
Referencias
- Adams, JF (1983), Conferencias sobre grupos de mentiras , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
- Bourbaki, Nicolas (2002), Grupos de Lie y álgebras de Lie, Capítulos 4-6 (traducidos del original francés de 1968 por Andrew Pressley) , Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. La referencia clásica para sistemas raíz.
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de la Historia de las Matemáticas . Saltador. ISBN 3540647678.
- Coleman, AJ (verano de 1989), "El mayor artículo matemático de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer , 11 (3): 29–38, doi : 10.1007 / bf03025189
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Saltador. ISBN 0387900535.
- Humphreys, James (1992). Grupos de Reflexión y Grupos Coxeter . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521436133.
- Matar, Wilhelm (junio de 1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" . Mathematische Annalen . 31 (2): 252–290. doi : 10.1007 / BF01211904 . S2CID 120501356 . Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
- - (marzo de 1888). "Parte 2" . Matemáticas. Ann . 33 (1): 1–48. doi : 10.1007 / BF01444109 .
- - (marzo de 1889). "Parte 3" . Matemáticas. Ann . 34 (1): 57-122. doi : 10.1007 / BF01446792 . Archivado desde el original el 21 de febrero de 2015.
- - (junio de 1890). "Parte 4" . Matemáticas. Ann . 36 (2): 161–189. doi : 10.1007 / BF01207837 .
- Kac, Victor G. (1990). Álgebras de mentiras infinitas (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46693-6.
- Springer, TA (1998). Grupos algebraicos lineales (2ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0817640215.
Otras lecturas
- Dynkin, EB (1947). "La estructura de las álgebras semi-simples" . Uspekhi Mat. Nauk . 2 (en ruso). 4 (20): 59-127. Señor 0027752 .