Cuadrados latinos mutuamente ortogonales
En combinatoria , se dice que dos cuadrados latinos del mismo tamaño ( orden ) son ortogonales si cuando se superponen las entradas ordenadas en pares en las posiciones son todas distintas. Un conjunto de cuadrados latinos, todos del mismo orden, cuyos pares son todos ortogonales, se denomina conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Este concepto de ortogonalidad en combinatoria está fuertemente relacionado con el concepto de bloqueo en estadística., lo que garantiza que las variables independientes sean realmente independientes sin correlaciones de confusión ocultas. Por lo tanto, "ortogonal" es sinónimo de "independiente" en el sentido de que conocer el valor de una variable no brinda más información sobre el valor probable de otra variable.
Un par de cuadrados latinos ortogonales se ha llamado tradicionalmente cuadrado greco-latino , aunque ese término ahora está algo anticuado.
Un cuadrado greco-latino o un cuadrado de Euler o un par de cuadrados latinos ortogonales de orden n sobre dos conjuntos S y T (que pueden ser iguales), cada uno de los cuales consta de n símbolos, es una disposición de celdas n × n , cada celda contiene un par ordenado ( s , t ) , donde s está en S y t está en T , tal que cada fila y cada columna contiene cada elemento de S y cada elemento de Texactamente una vez, y que no hay dos celdas que contengan el mismo par ordenado.
La disposición de las coordenadas s por sí mismas (que pueden considerarse como caracteres latinos) y de las coordenadas t (los caracteres griegos) forman cada una un cuadrado latino . Por lo tanto, un cuadrado greco-latino se puede descomponer en dos cuadrados latinos ortogonales. La ortogonalidad aquí significa que cada par ( s , t ) del producto cartesiano S × T ocurre exactamente una vez.
Los cuadrados latinos ortogonales fueron estudiados en detalle por Leonhard Euler , quien tomó los dos conjuntos como S = { A , B , C , ... }, las primeras n letras mayúsculas del alfabeto latino , y T = {α, β, γ, ... }, las primeras n minúsculas del alfabeto griego, de ahí el nombre de cuadrado greco-latino.
Cuando un cuadrado greco-latino se ve como un par de cuadrados latinos ortogonales, se dice que cada uno de los cuadrados latinos tiene una pareja ortogonal . En un cuadrado latino arbitrario, una selección de posiciones, una en cada fila y una en cada columna cuyas entradas son todas distintas se llama transversal de ese cuadrado. [1] Considere un símbolo en un cuadrado greco-latino. Las posiciones que contienen este símbolo deben estar todas en filas y columnas diferentes y, además, el otro símbolo en estas posiciones debe ser distinto. Por lo tanto, cuando se ve como un par de cuadrados latinos, las posiciones que contienen un símbolo en el primer cuadrado corresponden a una transversal en el segundo cuadrado (y viceversa).
