El problema de los tres detectores [1] es un problema de la teoría del flujo de tráfico. Dada es una autopista homogénea y el vehículo cuenta en dos estaciones de detección. Buscamos los recuentos de vehículos en alguna ubicación intermedia. El método se puede aplicar a la detección y el diagnóstico de incidentes comparando los datos observados y predichos, por lo que es importante una solución realista a este problema. Newell GF [2] [3] [4] propuso un método simple para resolver este problema. En el método de Newell , se obtiene la curva de recuento acumulativo (curva N) de cualquier ubicación intermedia simplemente cambiando las curvas N de los detectores aguas arriba y aguas abajo. El método de Newellse desarrolló antes de que se propusiera la teoría variacional del flujo de tráfico para tratar sistemáticamente los recuentos de vehículos. [5] [6] [7] Este artículo muestra cómo el método de Newell encaja en el contexto de la teoría variacional.
Un caso especial para demostrar el método de Newell
Suposición. En este caso especial, utilizamos el Diagrama Fundamental Triangular (TFD) con tres parámetros: velocidad de flujo libre, velocidad de onda -w y densidad máxima (ver figura 1). Además, consideraremos un período de estudio largo en el que el tráfico que pasa por el detector de aguas arriba (U) no está restringido y el tráfico que pasa por el detector de aguas arriba (D) está restringido de modo que las ondas de ambos límites apuntan al espacio de solución (t, x) (ver Figura 2) .
El objetivo del problema de tres detectores es calcular el vehículo en un punto genérico (P) en la "línea mundial" del detector M (Ver Figura 2). Río arriba. Dado que el estado aguas arriba no está congestionado, debe haber una característica con pendienteque llega a P desde el detector corriente arriba. Tal ola debe ser emitidaunidad de veces antes, en el punto P 'de la figura. Dado que el número de vehículo no cambia a lo largo de esta característica, vemos que el número de vehículo en el detector M calculado a partir de las condiciones aguas arriba es el mismo que el observado en el detector aguas arriba.unidades de tiempo antes. Desde es independiente del estado del tráfico (es una constante), este resultado es equivalente a desplazar la curva N suavizada del detector aguas arriba (curva U de la Figura 3) hacia la derecha en una cantidad.
Río abajo. Asimismo, dado que el estado sobre el detector aguas abajo está en cola, habrá una onda que llegará a P desde una ubicación con velocidad de onda . El cambio en la etiqueta vehicular a lo largo de esta característica se puede obtener de la construcción del observador en movimiento de la Figura 4, para un observador que se mueve con la ola. En nuestro caso particular, la línea inclinada correspondiente al observador es paralela a la parte congestionada de TFD. Esto significa que el flujo del observador es independiente del estado del tráfico y toma el valor:. Por lo tanto, en el tiempo que tarda la ola en llegar a la ubicación media,, el cambio en la cuenta es; es decir, el cambio en el recuento es igual al número de vehículos que caben entre M y D en la densidad de atasco. Este resultado es equivalente a desplazar la curva D hacia la derecha. unidades y más unidades.
Conteo real en M. En vista del Principio Mínimo de Newell-Luke, vemos que el conteo real en M debe ser la envolvente inferior de las curvas U'- y D'-. Estas son las curvas oscuras, M (t). Las intersecciones de las curvas U'- y D'- denotan los pasajes de la descarga sobre el detector; es decir, los momentos en que las transiciones entre los estados en cola y no en cola tienen lugar a medida que la cola avanza y retrocede sobre el detector intermedio. El área entre las curvas U'y M es el retraso experimentado aguas arriba de la ubicación M, los tiempos de disparo son la separación horizontal entre las curvas U (t), M (t) y D (t), la acumulación está dada por separaciones verticales, etc.
Expresión matemática. En términos de la función N (t, x) y la ubicación del detector (, , ) como sigue:
dónde y .
Principios básicos de la teoría variacional (VT)
Objetivo. Suponga que conocemos el número de vehículos (N) a lo largo de un límite en una región espacio-temporal y estamos buscando el número de vehículos en un punto genérico P (denotado como) más allá de ese límite en la dirección del aumento del tiempo (ver Figura 5). [8]
Supongamos, nuevamente, que un observador comienza a moverse desde el límite al punto P a lo largo de la trayectoria L. Conocemos el número de vehículo que ve el observador, . Luego dividimos la trayectoria del observador en pequeñas secciones (como la que se muestra entre A y B) y notamos que también sabemos que el número máximo de vehículos que pueden pasar al observador a lo largo de esa pequeña sección es,. La fórmula de capacidad relativa nos dice que es:. Para TFD y uso para la pendiente del segmento AB, Se puede escribir como:
Entonces, si ahora sumamos el número de vehículo en el límite a la suma de todos a lo largo del camino L obtenemos un límite superior para . Este límite superior se aplica a cualquier observador que se mueva con velocidades en el rango. Así podemos escribir:
Las ecuaciones (1) y (2) se basan en la restricción de capacidad relativa que a su vez se deriva de la ley de conservación.
Principio máximo. Se afirma quees el valor más grande posible, sujeto a las limitaciones de capacidad. Por lo tanto, la receta de VT es:
La ecuación (4) es un problema de camino más corto (es decir, cálculo de variaciones) con como función de coste. Resulta que produce la misma solución que la teoría de ondas cinemáticas.
Solución generalizada
Tres pasos: 1. Encuentre el recuento mínimo ascendente, 2. Encuentre el recuento mínimo descendente, 3. Elija el más bajo de los dos,
Paso 1
Todas las posibles líneas rectas del observador entre el límite aguas arriba y el punto P deben construirse con velocidades del observador menores que la velocidad de flujo libre:
dónde por y
Por tanto, necesitamos minimizar ; es decir,
Desde , vemos que la función objetivo no es creciente y por lo tanto . Entonces Q debe colocarse en y tenemos:
Por lo tanto,
Paso 2
Tenemos: Así que repite los mismos pasos, encontramos que se minimiza cuando . Y en el punto obtenemos:
Dado que el FD es triangular, . Por lo tanto, (8) se reduce a:
Paso 3
Para obtener la solución, ahora elegimos el menor de y .
Esta es la receta de Newell para el problema de los 3 detectores.
Ver también
Referencias
- ^ Daganzo, Carlos. 1997. Fundamentos de las operaciones de transporte y tráfico. Oxford: Pérgamo.
- ^ Newell, GF 1993. "Una teoría simplificada de las ondas cinemáticas en el tráfico de la carretera. Parte I, teoría general". Investigación de transporte. Parte B, Metodológica. 27B (4).
- ^ Newell, GF 1993. "Una teoría simplificada de las ondas cinemáticas en el tráfico de la carretera. Parte II. Hacer cola en los cuellos de botella de la autopista". Investigación de transporte. Parte B, Metodológica. 27B (4).
- ^ Newell, GF 1993. "Una teoría simplificada de las ondas cinemáticas en el tráfico de la carretera. Parte III. Flujos multidestino". Investigación de transporte. Parte B, Metodológica. 27B (4).
- ^ Daganzo, Carlos F. 2005. "Una formulación variacional de ondas cinemáticas: métodos de solución". Investigación de transporte. Parte B, Metodológica. 39B (10).
- ^ Daganzo, Carlos F. 2005. "Una formulación variacional de ondas cinemáticas: teoría básica y condiciones de contorno complejas". Investigación de transporte. Parte B, Metodológica. 39B (2).
- ^ Daganzo, Carlos F. 2006. "Sobre la teoría variacional del flujo de tráfico: bien planteamiento, dualidad y aplicaciones". Redes y medios heterogéneos. 1 (4).
- ^ Daganzo, Carlos F. Apuntes de conferencias: Funcionamiento de las instalaciones de transporte. Compilado por Offer Grembek