Umbral de percolación
El umbral de percolación es un concepto matemático en la teoría de percolación que describe la formación de conectividad de largo alcance en sistemas aleatorios . Por debajo del umbral no existe un componente conectado gigante ; mientras que por encima de él existe un componente gigante del orden del tamaño del sistema. En ingeniería y preparación de café , la percolación representa el flujo de fluidos a través de medios porosos , pero en el mundo de las matemáticas y la física generalmente se refiere a modelos reticulares simplificados de sistemas aleatorios o redes ( gráficos ) y la naturaleza de la conectividad en ellos. El umbral de percolación es el valor crítico.de la probabilidad de ocupación p , o más generalmente una superficie crítica para un grupo de parámetros p 1 , p 2 , ..., tal que la conectividad infinita ( percolación ) ocurre primero.
El modelo de percolación más común es tomar una red regular, como una red cuadrada, y convertirla en una red aleatoria "ocupando" aleatoriamente sitios (vértices) o enlaces (bordes) con una probabilidad p estadísticamente independiente . En un umbral crítico p c , aparecen primero los grandes cúmulos y la conectividad de largo alcance, y esto se denomina umbral de percolación . Dependiendo del método para obtener la red aleatoria, se distingue entre el umbral de filtración del sitio y el umbral de filtración del enlace . Los sistemas más generales tienen varias probabilidades p 1 , p 2 , etc., y la transición se caracteriza por unasuperficie crítica o variedad . También se pueden considerar sistemas continuos, como discos superpuestos y esferas colocadas al azar, o el espacio negativo ( modelos de queso suizo ).
Para comprender el umbral, puede considerar una cantidad como la probabilidad de que haya un camino continuo de un límite a otro a lo largo de sitios o enlaces ocupados, es decir, dentro de un solo grupo. Por ejemplo, se puede considerar un sistema cuadrado y pedir la probabilidad P de que haya un camino desde el límite superior hasta el límite inferior. En función de la probabilidad de ocupación p , se encuentra un gráfico sigmoidal que va de P=0 en p=0 a P=1 en p=1 . Cuanto más grande sea el cuadrado en comparación con el espaciado de la red, más nítida será la transición. Cuando el tamaño del sistema llega al infinito, P(p) será una función escalonada en el valor umbralpc _ _ Para sistemas grandes finitos, P(p c ) es una constante cuyo valor depende de la forma del sistema; para el sistema cuadrado discutido anteriormente, P(p c )=1/2 exactamente para cualquier retícula por un simple argumento de simetría.
Hay otras firmas del umbral crítico. Por ejemplo, la distribución de tamaño (número de grupos de tamaño s ) cae como una ley de potencia para s grandes en el umbral, n s (p c ) ~ s -τ , donde τ es un exponente crítico de percolación dependiente de la dimensión . Para un sistema infinito, el umbral crítico corresponde al primer punto (a medida que aumenta p ) donde el tamaño de los conglomerados se vuelve infinito.
En los sistemas descritos hasta ahora, se ha asumido que la ocupación de un sitio o enlace es completamente aleatoria; esta es la llamada percolación de Bernoulli . Para un sistema continuo, la ocupación aleatoria corresponde a los puntos colocados por un proceso de Poisson . Otras variaciones implican la percolación correlacionada, como los grupos de percolación relacionados con los modelos de ferromagnetos de Ising y Potts, en los que los enlaces se establecen mediante el método de Fortuin- Kasteleyn . [1] En la percolación bootstrap o k-sat , los sitios y/o enlaces se ocupan primero y luego se eliminan sucesivamente de un sistema si un sitio no tiene al menos kvecinos Otro modelo importante de percolación, en una clase de universalidad completamente diferente, es la percolación dirigida , donde la conectividad a lo largo de un enlace depende de la dirección del flujo.
