Computadora cuántica topológica

Computadora cuántica hipotética tolerante a fallas basada en materia condensada topológica

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Una computadora cuántica topológica es una computadora cuántica teórica propuesta por el físico ruso-estadounidense Alexei Kitaev en 1997. Emplea cuasipartículas bidimensionales llamadas anyons , cuyas líneas del mundo se cruzan entre sí para formar trenzas en un espacio - tiempo tridimensional (es decir, una temporal más dos dimensiones espaciales). Estas trenzas forman las puertas lógicas que forman la computadora. La ventaja de una computadora cuántica basada en trenzas cuánticas sobre el uso de partículas cuánticas atrapadas es que la primera es mucho más estable. Pequeñas perturbaciones acumulativas pueden hacer que los estados cuánticos se descodifiquene introducir errores en el cálculo, pero estas pequeñas perturbaciones no cambian las propiedades topológicas de las trenzas . Esto es como el esfuerzo requerido para cortar una cuerda y volver a unir los extremos para formar una trenza diferente, a diferencia de una bola (que representa una partícula cuántica ordinaria en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones) chocando contra una pared.

Si bien los elementos de una computadora cuántica topológica se originan en un ámbito puramente matemático, los experimentos en sistemas Hall cuánticos fraccionarios indican que estos elementos pueden crearse en el mundo real utilizando semiconductores hechos de arseniuro de galio a una temperatura cercana al cero absoluto y sometidos a fuertes campos magnéticos. .

Introducción

Los aniones son cuasipartículas en un espacio bidimensional. Los anones no son ni fermiones ni bosones , pero como los fermiones, no pueden ocupar el mismo estado. Por lo tanto, las líneas del mundo de dos anyons no pueden cruzarse o fusionarse, lo que permite que sus caminos formen trenzas estables en el espacio-tiempo. Los aniones pueden formarse a partir de excitaciones en un gas de electrones bidimensional frío en un campo magnético muy fuerte y transportar unidades fraccionarias de flujo magnético. Este fenómeno se denomina efecto Hall cuántico fraccional . En los sistemas de laboratorio típicos, el gas de electrones ocupa una fina capa semiconductora intercalada entre capas de arseniuro de aluminio y galio.

Cuando se trenzan los anyons, la transformación del estado cuántico del sistema depende solo de la clase topológica de las trayectorias de los anyons (que se clasifican según el grupo de trenzas ). Por tanto, la información cuántica que se almacena en el estado del sistema es impermeable a pequeños errores en las trayectorias. ^[1] En 2005, Sankar Das Sarma , Michael Freedman y Chetan Nayakpropuso un dispositivo de Hall cuántico que realizaría un qubit topológico. En un desarrollo clave para las computadoras cuánticas topológicas, en 2005 Vladimir J. Goldman, Fernando E. Camino y Wei Zhou afirmaron haber creado y observado la primera evidencia experimental para usar un efecto Hall cuántico fraccional para crear anones reales, aunque otros han sugerido sus resultados pueden ser producto de fenómenos que no involucran a nadie. Los anyones no abelianos , una especie necesaria para las computadoras cuánticas topológicas, aún no se han confirmado experimentalmente. Se han encontrado posibles pruebas experimentales, ^[2] pero las conclusiones siguen siendo impugnadas. ^[3]

Computadora cuántica topológica vs.ordenador cuántico estándar

Las computadoras cuánticas topológicas son equivalentes en potencia computacional a otros modelos estándar de computación cuántica, en particular al modelo de circuito cuántico y al modelo cuántico de la máquina de Turing . ^[4] Es decir, cualquiera de estos modelos puede simular eficientemente cualquiera de los demás. No obstante, ciertos algoritmos pueden ajustarse de manera más natural al modelo de computadora cuántica topológica. Por ejemplo, los algoritmos para evaluar el polinomio de Jones se desarrollaron primero en el modelo topológico y solo más tarde se convirtieron y ampliaron en el modelo de circuito cuántico estándar.

Computaciones

Para estar a la altura de su nombre, una computadora cuántica topológica debe proporcionar las propiedades de cálculo únicas prometidas por un diseño de computadora cuántica convencional, que utiliza partículas cuánticas atrapadas. Afortunadamente, en 2000, Michael H. Freedman , Alexei Kitaev , Michael J. Larsen y Zhenghan Wang demostraron que una computadora cuántica topológica puede, en principio, realizar cualquier cálculo que una computadora cuántica convencional pueda hacer, y viceversa. ^{[4] [5] [6]}

Descubrieron que un dispositivo de computadora cuántica convencional, dado un funcionamiento sin errores de sus circuitos lógicos, dará una solución con un nivel absoluto de precisión, mientras que un dispositivo de computación cuántica topológica con un funcionamiento impecable dará la solución con solo un nivel finito de exactitud. Sin embargo, se puede obtener cualquier nivel de precisión para la respuesta agregando más giros trenzados (circuitos lógicos) a la computadora cuántica topológica, en una relación lineal simple. En otras palabras, un aumento razonable de elementos (trenzas torcidas) puede lograr un alto grado de precisión en la respuesta. El cálculo real [puertas] se realiza mediante los estados de borde de un efecto Hall cuántico fraccionario. Esto hace que los modelos de aniones unidimensionales sean importantes. En una dimensión espacial, los anyones se definen algebraicamente.

Corrección y control de errores

A pesar de que las trenzas cuánticas son inherentemente más estables que las partículas cuánticas atrapadas, todavía existe la necesidad de controlar las fluctuaciones térmicas que inducen errores, que producen pares aleatorios de anyones que interfieren con las trenzas contiguas. Controlar estos errores es simplemente una cuestión de separar los anyons a una distancia en la que la tasa de parásitos que interfieren cae casi a cero. Simular la dinámica de una computadora cuántica topológica puede ser un método prometedor para implementar la computación cuántica tolerante a fallas incluso con un esquema estándar de procesamiento de información cuántica. Raussendorf, Harrington y Goyal han estudiado un modelo con resultados de simulación prometedores. ^[7]

Ejemplo: Computación con anyons de Fibonacci

Uno de los ejemplos destacados en la computación cuántica topológica es con un sistema de aniones de Fibonacci . En el contexto de la teoría de campo conforme, los anones de fibonacci se describen mediante el modelo de Yang-Lee, el caso especial SU (2) de la teoría de Chern-Simons y los modelos de Wess-Zumino-Witten . ^[8] Estos anyones se pueden utilizar para crear puertas genéricas para la computación cuántica topológica. Hay tres pasos principales para crear un modelo:

• Elija nuestra base y restrinja nuestro espacio Hilbert
• Trenza los anyons juntos
• Fusione los anyons al final y detecte cómo se fusionan para leer la salida del sistema.

Preparación del estado

Los anones de Fibonacci se definen por tres cualidades:

1. Tienen una carga topológica de . En esta discusión, consideramos otra carga llamada, que es la carga de 'vacío' si alguien se aniquila entre sí.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 1}$
2. Cada uno de estos anones es su propia antipartícula. y .${\displaystyle \tau =\tau ^{*}}$${\displaystyle 1=1^{*}}$
3. Si se acercan entre sí, se 'fusionarán' juntos de una manera no trivial. Específicamente, las reglas de 'fusión' son:
   1. ${\displaystyle 1\otimes 1=1}$
   2. ${\displaystyle 1\otimes \tau =\tau \otimes 1=\tau }$
   3. ${\displaystyle \tau \otimes \tau =1\oplus \tau }$
4. Muchas de las propiedades de este sistema se pueden explicar de manera similar a la de dos partículas de espín 1/2. En particular, usamos el mismo producto tensorial y operadores de suma directa .${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$

La última regla de 'fusión' se puede extender a un sistema de tres anyons:

${\displaystyle \tau \otimes \tau \otimes \tau =\tau \otimes (1\oplus \tau )=\tau \otimes 1\oplus \tau \otimes \tau =\tau \oplus 1\oplus \tau =1\oplus 2\cdot \tau }$

Por lo tanto, fusionar tres anyons producirá un estado final de carga total de 2 formas, o una carga de exactamente una forma. Usamos tres estados para definir nuestra base. ^[9] Sin embargo, debido a que deseamos codificar estos tres estados anyon como superposiciones de 0 y 1, necesitamos limitar la base a un espacio de Hilbert bidimensional. Por lo tanto, consideramos solo dos estados con una carga total de . Esta elección es puramente fenomenológica. En estos estados, agrupamos los dos anyon más a la izquierda en un 'grupo de control', y dejamos el más a la derecha como un 'anyon no computacional'. Clasificamos un estado como aquél en el que el grupo de control tiene una carga 'fusionada' total de , y un estado de tiene un grupo de control con una carga 'fusionada' total de${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \tau }$. Para obtener una descripción más completa, consulte Nayak. ^[9]

Puertas

Siguiendo las ideas anteriores, trenzar adiabáticamente estos anyons entre sí dará como resultado una transformación unitaria. Estos operadores de trenzado son el resultado de dos subclases de operadores:

• La matriz F
• La matriz R

La matriz R se puede considerar conceptualmente como la fase topológica que se imparte a los anones durante la trenza. A medida que los anyons se enrollan entre sí, recogen algo de fase debido al efecto Aharonov-Bohm .

La matriz F es el resultado de las rotaciones físicas de los anones. A medida que se trenzan entre sí, es importante darse cuenta de que los dos anónimos inferiores, el grupo de control, seguirán distinguiendo el estado del qubit. Por lo tanto, trenzar los anyons cambiará cuáles están en el grupo de control y, por lo tanto, cambiará la base. Evaluamos los anyons fusionando siempre el grupo de control (los anyons inferiores) juntos primero, por lo que intercambiar cuáles son estos rotará el sistema. Debido a que estos anyons no son abelianos , el orden de los anyons (cuáles están dentro del grupo de control) importará y, como tales, transformarán el sistema.

El operador de trenzado completo se puede derivar como:

${\displaystyle B=F^{-1}RF}$

Para construir matemáticamente los operadores F y R , podemos considerar permutaciones de estos operadores F y R. Sabemos que si cambiamos secuencialmente la base sobre la que estamos operando, esto eventualmente nos llevará de regreso a la misma base. De manera similar, sabemos que si trenzamos cualquiera alrededor del otro un cierto número de veces, esto nos llevará al mismo estado. Estos axiomas se denominan axiomas pentagonales y hexagonales, respectivamente, ya que la realización de la operación se puede visualizar con un pentágono / hexágono de transformaciones de estado. Aunque son matemáticamente difíciles, ^[10] pueden abordarse visualmente con mucho más éxito.

Con estos operadores de trenzas, finalmente podemos formalizar la noción de trenzas en términos de cómo actúan en nuestro espacio de Hilbert y construir puertas cuánticas universales arbitrarias. ^[11]

Ver también

• Teoría de Ginzburg-Landau
• Representación Husimi Q
• Matriz aleatoria
• Defecto topológico
• Código tórico

Referencias

1. Castelvecchi, Davide (3 de julio de 2020). "¡Bienvenidos a todos! Los físicos encuentran la mejor evidencia hasta ahora para las estructuras 2D buscadas durante mucho tiempo" . Naturaleza . Consultado el 23 de septiembre de 2020 . Simon y otros han desarrollado teorías elaboradas que utilizan anónimas como plataforma para las computadoras cuánticas. Los pares de cuasipartículas podrían codificar información en su memoria de cómo se han dado vueltas entre sí. Y debido a que la estadística fraccional es 'topológica', depende de la cantidad de veces que una persona dio la vuelta a otra, y no de pequeños cambios en su trayectoria, no se ve afectada por pequeñas perturbaciones. Esta solidez podría hacer que las computadoras cuánticas topológicas sean más fáciles de escalar que las tecnologías actuales de computación cuántica, que son propensas a errores.
2. Willet, RL (15 de enero de 2013). "Oscilaciones de Aharonov-Bohm sintonizadas por campo magnético y evidencia de anonas no abelianas en ν = 5/2". Cartas de revisión física . 111 (18): 186401. arXiv : 1301.2639 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111r6401W . doi : 10.1103 / PhysRevLett.111.186401 . PMID 24237543 . 
3. von Keyserling, Curt; Simon, SH; Bernd, Rosenow (2015). "Acoplamiento de coulombio Bulk-Edge mejorado en interferómetros fraccionales Fabry-Perot". Cartas de revisión física . 115 (12): 126807. arXiv : 1411.4654 . Código Bibliográfico : 2015PhRvL.115l6807V . doi : 10.1103 / PhysRevLett.115.126807 . PMID 26431008 . 
4. Freedman, Michael H .; Larsen, Michael; Wang, Zhenghan (1 de junio de 2002). "Un Functor modular que es universal para la computación cuántica". Comunicaciones en Física Matemática . 227 (3): 605–622. arXiv : quant-ph / 0001108 . doi : 10.1007 / s002200200645 . ISSN 0010-3616 . 
5. Freedman, Michael H .; Kitaev, Alexei; Wang, Zhenghan (1 de junio de 2002). "Simulación de teorías de campos topológicos por computadoras cuánticas". Comunicaciones en Física Matemática . 227 (3): 587–603. arXiv : quant-ph / 0001071 . doi : 10.1007 / s002200200635 . ISSN 0010-3616 . 
6. Freedman, Michael; Kitaev, Alexei; Larsen, Michael; Wang, Zhenghan (1 de enero de 2003). "Computación cuántica topológica" . Boletín de la American Mathematical Society . 40 (1): 31–38. arXiv : quant-ph / 0101025 . doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00964-3 . ISSN 0273-0979 . 
7. Raussendorf, R .; Harrington, J .; Goyal, K. (1 de enero de 2007). "Tolerancia a fallas topológicas en el cálculo cuántico del estado del clúster". Nueva Revista de Física . 9 (6): 199. arXiv : quant-ph / 0703143 . Código bibliográfico : 2007NJPh .... 9..199R . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 9/6/199 . ISSN 1367-2630 . 
8. Trebst, Simon; Troyer, Matthias; Wang, Zhenghan; Ludwig, Andreas WW (2008). "Una breve introducción a los modelos de Fibonacci Anyon". Progreso del Suplemento de Física Teórica . 176 : 384–407. arXiv : 0902.3275 . Código Bibliográfico : 2008PThPS.176..384T . doi : 10.1143 / PTPS.176.384 .
9. Nayak, Chetan (2008). "Anyons no abelianos y computación cuántica topológica". Reseñas de Física Moderna . 80 (3): 1083-1159. arXiv : 0707.1889 . Código Bibliográfico : 2008RvMP ... 80.1083N . doi : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 .
10. Eric Paquette. Computación cuántica topológica con anones, 1 2009. Categorías, Lógica y Fundamentos de la Física IV.
11. Bonesteel, NE ha proporcionado trenzas explícitas que realizan cálculos cuánticos particulares con anones de Fibonacci ; Hormozi, L .; Zikos, G .; Simon, SH; West, KW (2005). "Topologías de trenza para la computación cuántica". Cartas de revisión física . 95 (14): 140503. arXiv : quant-ph / 0505065 . Código Bibliográfico : 2005PhRvL..95n0503B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.95.140503 . PMID 16241636 . 

Otras lecturas

• Collins, Graham P. (abril de 2006). "Computación con nudos cuánticos" (PDF) . Scientific American .
• Sarma, Sankar Das; Freedman, Michael; Nayak, Chetan (2005). "Qubits topológicamente protegidos de un posible estado de pasillo cuántico fraccional no abeliano". Cartas de revisión física . 94 (16): 166802. arXiv : cond-mat / 0412343 . Código bibliográfico : 2005PhRvL..94p6802D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.94.166802 . PMID  15904258 .
• Nayak, Chetan; Simon, Steven H .; Stern, Ady ; Freedman, Michael ; Sarma, Sankar Das (2008). "Anyons no abelianos y computación cuántica topológica". Reseñas de Física Moderna . 80 (3): 1083-1159. arXiv : 0707.1889 . Código Bibliográfico : 2008RvMP ... 80.1083N . doi : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 .
• Kundu, A. (1999). "Solución exacta de gas Bose de función doble delta mediante la interacción de cualquier gas". Phys. Rev. Lett . 83 (7): 1275-1278. arXiv : hep-th / 9811247 . Código Bibliográfico : 1999PhRvL..83.1275K . doi : 10.1103 / physrevlett.83.1275 .
• Batchelor, MT; Guan, XW .; Oelkers, N .. (2006). "Unidimensional interaccionando anyon gas: propiedades de baja energía y estadísticas de exclusión de Haldane" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 96 (21): 210402. arXiv : cond-mat / 0603643 . Código Bibliográfico : 2006PhRvL..96u0402B . doi : 10.1103 / physrevlett.96.210402 . PMID  16803221 .
• Girardeau, MD (2006). "Mapeo de anyon-fermiones y aplicaciones a gases ultrafríos en guías de ondas ajustadas". Phys. Rev. Lett . 97 (10): 100402. arXiv : cond-mat / 0604357 . Código Bibliográfico : 2006PhRvL..97j0402G . doi : 10.1103 / physrevlett.97.100402 . PMID  17025794 .
• Averin, DV; Nesteroff, JA (2007). "Bloqueo de Coulomb de anyons en antídotos cuánticos". Phys. Rev. Lett . 99 (9): 096801. arXiv : 0704.0439 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..99i6801A . doi : 10.1103 / physrevlett.99.096801 . PMID  17931025 .
• Simon, Steven H. "Computación cuántica con un toque" .