torsión de una curva
En la geometría diferencial de curvas en tres dimensiones , la torsión de una curva mide qué tan bruscamente se está saliendo del plano osculador . En conjunto, la curvatura y la torsión de una curva espacial son análogas a la curvatura de una curva plana . Por ejemplo, son coeficientes en el sistema de ecuaciones diferenciales para el marco de Frenet dado por las fórmulas de Frenet-Serret .
Sea r una curva espacial parametrizada por la longitud de arco s y con el vector unitario tangente T . Si la curvatura κ de r en un punto determinado no es cero, entonces el vector normal principal y el vector binormal en ese punto son los vectores unitarios.
respectivamente, donde la prima denota la derivada del vector con respecto al parámetro s . La torsión τ mide la velocidad de rotación del vector binormal en el punto dado. Se encuentra a partir de la ecuación
Como , esto es equivalente a .
Observación : La derivada del vector binormal es perpendicular tanto al binormal como a la tangente, por lo que tiene que ser proporcional al vector normal principal. El signo negativo es simplemente una cuestión de convención: es un subproducto del desarrollo histórico del tema.
Relevancia geométrica: La torsión τ ( s ) mide el giro del vector binormal. Cuanto mayor es la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del eje dado por el vector tangente (ver ilustraciones gráficas ). En la figura animada, la rotación del vector binormal es claramente visible en los picos de la función de torsión.
