La distribución de Tracy-Widom , introducida por Craig Tracy y Harold Widom ( 1993 , 1994 ), es la distribución de probabilidad del valor propio más grande normalizado de una matriz hermitiana aleatoria .
En términos prácticos, Tracy – Widom es la función de cruce entre las dos fases de componentes acoplados débilmente versus fuertemente acoplados en un sistema. [1] También aparece en la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias , [2] en las fluctuaciones actuales del proceso de exclusión simple asimétrico (ASEP) con condición inicial del paso, [3] y en modelos matemáticos simplificados de el comportamiento del problema de subsecuencia común más largo en entradas aleatorias. [4] Véase Takeuchi y Sano (2010) y Takeuchi et al. (2011) para realizar pruebas experimentales (y verificar) que las fluctuaciones de la interfaz de una gota (o sustrato) en crecimiento están descritas por la distribución de TW (o ) según lo predicho por Prähofer y Spohn (2000) .
La distribución F 1 es de particular interés en la estadística multivariante . [5] Para un análisis de la universalidad de F β , β = 1, 2 y 4, consulte Deift (2007) . Para una aplicación de F 1 para inferir la estructura de la población a partir de datos genéticos, ver Patterson, Price & Reich (2006) . En 2017 se demostró que la distribución F no es infinitamente divisible. [6]
Definición
La distribución de Tracy – Widom se define como el límite: [7]
dónde denota el valor propio más grande de la matriz aleatoria. El cambio de se utiliza para mantener las distribuciones centradas en 0. La multiplicación por se utiliza porque la desviación estándar de las distribuciones escala como .
Formulaciones equivalentes
La función de distribución acumulativa de la distribución de Tracy-Widom se puede dar como el determinante de Fredholm
del operador A s en funciones cuadradas integrables en la mitad de la línea ( s , ∞) con el núcleo dado en términos de funciones de Airy Ai por
También se puede dar como integral
en términos de una solución de una ecuación de Painlevé de tipo II
donde q , llamada solución de Hastings-McLeod, satisface la condición de frontera
Otras distribuciones de Tracy – Widom
La distribución F 2 está asociada a conjuntos unitarios en la teoría de matrices aleatorias. Existen distribuciones de Tracy-Widom análogas F 1 y F 4 para conjuntos ortogonales ( β = 1) y simplécticos ( β = 4) que también se pueden expresar en términos de la misma q trascendente de Painlevé : [7]
y
Para una extensión de la definición de las distribuciones de Tracy-Widom F β a todo β > 0 ver Ramírez, Rider & Virág (2006) .
Aproximaciones numéricas
Las técnicas numéricas para obtener soluciones numéricas a las ecuaciones de Painlevé de los tipos II y V, y evaluar numéricamente las distribuciones de valores propios de matrices aleatorias en los conjuntos beta fueron presentadas por primera vez por Edelman & Persson (2005) utilizando MATLAB . Estas técnicas de aproximación se justificaron más analíticamente en Bejan (2005) y se utilizaron para proporcionar una evaluación numérica de las distribuciones Painlevé II y Tracy – Widom (para β = 1, 2 y 4) en S-PLUS . Estas distribuciones se tabularon en Bejan (2005) con cuatro dígitos significativos para los valores del argumento en incrementos de 0.01; En este trabajo también se proporcionó una tabla estadística para los valores p. Bornemann (2010) proporcionó algoritmos precisos y rápidos para la evaluación numérica de F β y las funciones de densidad f β ( s ) = dF β / ds para β = 1, 2 y 4. Estos algoritmos pueden usarse para calcular numéricamente la media , varianza , asimetría y exceso de curtosis de las distribuciones F β .
β | Significar | Diferencia | Oblicuidad | Exceso de curtosis |
---|---|---|---|---|
1 | −1,2065335745820 | 1.607781034581 | 0,29346452408 | 0.1652429384 |
2 | −1,771086807411 | 0,8131947928329 | 0,224084203610 | 0.0934480876 |
4 | −2,306884893241 | 0.5177237207726 | 0.16550949435 | 0.0491951565 |
Las funciones para trabajar con las leyes de Tracy-Widom también se presentan en el paquete R 'RMTstat' de Johnstone et al. (2009) y el paquete de MATLAB 'RMLab' de Dieng (2006) .
Para una aproximación simple basada en una distribución gamma desplazada, ver Chiani (2014) .
Ver también
- Distribución de semicírculo de Wigner
- Distribución de Marchenko – Pastur
Notas al pie
- ^ La misteriosa ley estadística finalmente puede tener una explicación , wired.com 2014-10-27
- ^ Baik, Deift y Johansson (1999) .
- ^ Johansson (2000) ; Tracy y Widom (2009) ).
- ^ Majumdar y Nechaev (2005) .
- ^ Johnstone ( 2007 , 2008 , 2009 ).
- ^ Domínguez-Molina (2017) .
- ↑ a b Tracy y Widom (1996) .
Referencias
- Baik, J .; Deift, P .; Johansson, K. (1999), "Sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias", Journal of the American Mathematical Society , 12 (4): 1119-1178, doi : 10.1090 / S0894-0347-99 -00,307-0 , JSTOR 2.646.100 , MR 1682248.
- Bornemann, F. (2010), "Sobre la evaluación numérica de distribuciones en la teoría de matrices aleatorias: una revisión con una invitación a las matemáticas experimentales", Procesos de Markov y campos relacionados , 16 (4): 803–866, arXiv : 0904.1581 , Bibcode : 2009arXiv0904.1581B.
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Otras lecturas
- Bejan, Andrei Iu. (2005), Mayores valores propios y matrices de covarianza muestral. Tracy – Widom y Painleve II: Aspectos computacionales y realización en S-Plus con aplicaciones (PDF) , M.Sc. disertación, Departamento de Estadística, Universidad de Warwick.
- Edelman, A .; Persson, P.-O. (2005), Métodos numéricos para distribuciones de valores propios de matrices aleatorias , arXiv : math-ph / 0501068 , Bibcode : 2005math.ph ... 1068E.
- Ramírez, JA; Rider, B .; Virág, B. (2006), "Conjuntos beta, espectro estocástico de Airy y una difusión", Revista de la American Mathematical Society , 24 : 919–944, arXiv : math / 0607331 , Bibcode : 2006math ...... 7331R , doi : 10.1090 / S0894-0347-2011-00703-0.
enlaces externos
- Kuijlaars, Universalidad de las funciones de distribución en la teoría de matrices aleatorias (PDF).
- Tracy, CA ; Widom, H. , Las distribuciones de la teoría de matrices aleatorias y sus aplicaciones (PDF).
- Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick; Shahram, Morteza (2009), Paquete 'RMTstat' (PDF).
- Revista Quanta : En los extremos de una nueva ley universal