En el campo del análisis de tiempo-frecuencia , se utilizan varias formulaciones de señales para representar la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia. [1]
Existen varios métodos y transformaciones denominadas "distribuciones de tiempo-frecuencia" (TFD), cuyas interconexiones fueron organizadas por Leon Cohen. [2] [3] [4] [5] Los métodos más útiles y populares forman una clase denominada distribuciones de tiempo-frecuencia "cuadráticas" o bilineales . Un miembro central de esta clase es la distribución Wigner – Ville (WVD), ya que todos los demás TFD se pueden escribir como versiones suavizadas o convolucionadas de WVD. Otro miembro popular de esta clase es el espectrograma, que es el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier de corta duración.(STFT). El espectrograma tiene la ventaja de ser positivo y fácil de interpretar, pero también tiene desventajas, como ser irreversible, lo que significa que una vez que se calcula el espectrograma de una señal, la señal original no se puede extraer del espectrograma. La teoría y metodología para definir un TFD que verifica ciertas propiedades deseables se da en la "Teoría de TFD cuadráticos". [6]
El alcance de este artículo es ilustrar algunos elementos del procedimiento para transformar una distribución en otra. El método utilizado para transformar una distribución se toma prestado de la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica , aunque el tema de este artículo es el "procesamiento de señales". Observando que una señal se puede recuperar de una distribución particular bajo ciertas condiciones, dado un cierto TFD ρ 1 ( t, f ) que representa la señal en un dominio de tiempo-frecuencia conjunto, otro TFD diferente ρ 2 ( t, f ) de se puede obtener la misma señal para calcular cualquier otra distribución, por simple suavizado o filtrado; algunas de estas relaciones se muestran a continuación. Se puede dar un tratamiento completo de la pregunta en el libro de Cohen.
dónde es una función bidimensional llamada kernel, que determina la distribución y sus propiedades (para una terminología de procesamiento de señales y tratamiento de esta cuestión, se remite al lector a las referencias ya citadas en la introducción).
El núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) es uno. Sin embargo, no se debe atribuir ningún significado particular a eso, ya que es posible escribir la forma general de modo que el núcleo de cualquier distribución sea uno, en cuyo caso el núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) sería otra cosa.
Formulación de función característica
La función característica es la doble transformada de Fourier de la distribución. Por inspección de Eq. (1), podemos obtener que
(2)
dónde
(3)
y donde es la función de ambigüedad simétrica. La función característica puede llamarse apropiadamente función de ambigüedad generalizada.
Transformación entre distribuciones
Para obtener esa relación, suponga que hay dos distribuciones, y , con los granos correspondientes, y . Sus funciones características son
(4)
(5)
Divida una ecuación por la otra para obtener
(6)
Esta es una relación importante porque conecta las funciones características. Para que la división sea adecuada, el núcleo no puede ser cero en una región finita.
Para obtener la relación entre las distribuciones, tome la doble transformada de Fourier de ambos lados y use la ecuación. (2)
(7)
Ahora expresa en términos de para obtener
(8)
Esta relación se puede escribir como
(9)
con
(10)
Relación del espectrograma con otras representaciones bilineales
Ahora nos especializamos en el caso en el que uno se transforma de una representación arbitraria al espectrograma. En Eq. (9), ambos ser el espectrograma y para ser arbitrario. Además, para simplificar la notación,, y están configurados y escritos como
(11)
El núcleo del espectrograma con ventana, , es y por lo tanto
Si solo consideramos los núcleos para los que sostiene entonces
y por lo tanto
Esto fue demostrado por Janssen [4]. Cuándo no es igual a uno, entonces
dónde
Referencias
^ L. Cohen, "Análisis de frecuencia de tiempo", Prentice-Hall , Nueva York, 1995. ISBN 978-0135945322
^ L. Cohen, "Funciones de distribución de espacio de fase generalizadas", J. Math. Phys. , 7 (1966) págs. 781–786, doi: 10.1063 / 1.1931206
^ L. Cohen, "Problema de cuantificación y principio de variación en la formulación de espacio de fase de la mecánica cuántica", J. Math. Phys. , 7 págs. 1863–1866, 1976.
^ AJEM Janssen, "Sobre el locus y la extensión de las funciones de pseudodensidad en el plano de la frecuencia del tiempo", Philips Journal of Research , vol. 37, págs. 79-110, 1982.
^ E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, "Representación de características de tiempo-frecuencia utilizando concentración de energía: una visión general de los avances recientes", Procesamiento de señales digitales , vol. 19, no. 1, págs.153-183, enero de 2009.
^ B. Boashash, "Teoría de TFD cuadráticos", Capítulo 3, págs. 59-82, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de frecuencia de tiempo: una referencia completa, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4 .