Transformación entre distribuciones en análisis de tiempo-frecuencia
En el campo del análisis de tiempo-frecuencia , se utilizan varias formulaciones de señales para representar la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia. [1]
Existen varios métodos y transformadas denominadas "distribuciones tiempo-frecuencia" (TFD), cuyas interconexiones fueron organizadas por Leon Cohen. [2] [3] [4] [5] Los métodos más útiles y populares forman una clase denominada distribuciones tiempo-frecuencia "cuadráticas" o bilineales . Un miembro central de esta clase es la distribución de Wigner-Ville (WVD), ya que todos los demás TFD se pueden escribir como versiones suavizadas o convolucionadas de la WVD. Otro miembro popular de esta clase es el espectrograma , que es el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier de tiempo corto.(STFT). El espectrograma tiene la ventaja de ser positivo y fácil de interpretar, pero también tiene desventajas, como ser irreversible, lo que significa que una vez que se calcula el espectrograma de una señal, la señal original no se puede extraer del espectrograma. La teoría y metodología para definir un TFD que verifique ciertas propiedades deseables se da en la "Teoría de los TFD Cuadráticos". [6]
El objetivo de este artículo es ilustrar algunos elementos del procedimiento para transformar una distribución en otra. El método utilizado para transformar una distribución está tomado de la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica , aunque el tema de este artículo es el "procesamiento de señales". Teniendo en cuenta que una señal se puede recuperar de una distribución particular bajo ciertas condiciones, dado un cierto TFD ρ 1 ( t,f ) que representa la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia, otro, diferente, TFD ρ 2 ( t,f) de la misma señal para calcular cualquier otra distribución, por simple suavizado o filtrado; algunas de estas relaciones se muestran a continuación. En el libro de Cohen se puede dar un tratamiento completo de la cuestión.
Si usamos la variable ω =2 πf , entonces, tomando prestadas las notaciones usadas en el campo de la mecánica cuántica, podemos mostrar que la representación de tiempo-frecuencia, como la función de distribución de Wigner (WDF) y otras distribuciones bilineales de tiempo-frecuencia , pueden ser expresado como
donde es una función bidimensional llamada núcleo, que determina la distribución y sus propiedades (para una terminología de procesamiento de señales y el tratamiento de esta cuestión, se remite al lector a las referencias ya citadas en la introducción).
El núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) es uno. Sin embargo, no se debe atribuir ningún significado particular a eso, ya que es posible escribir la forma general de modo que el núcleo de cualquier distribución sea uno, en cuyo caso el núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) sería otra cosa.