Una superficie de fluencia es una superficie de cinco dimensiones en el espacio de tensiones de seis dimensiones . La superficie de fluencia suele ser convexa y el estado de tensión del interior de la superficie de fluencia es elástico. Cuando el estado de tensión se encuentra en la superficie, se dice que el material ha alcanzado su límite de elasticidad y se dice que el material se ha vuelto plástico . Una mayor deformación del material hace que el estado de tensión permanezca en la superficie de fluencia, aunque la forma y el tamaño de la superficie pueden cambiar a medida que evoluciona la deformación plástica. Esto se debe a que los estados de tensión que se encuentran fuera de la superficie de fluencia no son permisibles en plasticidad independiente de la velocidad , aunque no en algunos modelos deviscoplasticidad . [1]
La superficie de fluencia se expresa generalmente en términos de (y se visualiza en) un espacio de tensión principal tridimensional (), un espacio bidimensional o tridimensional atravesado por invariantes de tensión () o una versión del espacio de estrés tridimensional de Haigh-Westergaard . Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de la superficie de rendimiento (es decir, la función de rendimiento) en las formas:
- dónde son las principales tensiones.
- dónde es el primer invariante principal de la tensión de Cauchy y son el segundo y tercer invariantes principales de la parte desviadora del estrés de Cauchy.
- dónde son versiones escaladas de y y es una función de .
- dónde son versiones escaladas de y , y es el ángulo de tensión [2] o el ángulo de Lode [3]
Invariantes utilizados para describir superficies de rendimiento
El primer invariante principal () del estrés de Cauchy (), y el segundo y tercer invariantes principales () de la parte desviadora () de la tensión de Cauchy se definen como:
dónde () son los valores principales de , () son los valores principales de , y
dónde es la matriz de identidad.
Un conjunto relacionado de cantidades, (), se utilizan generalmente para describir superficies de fluencia para materiales de fricción cohesivos como rocas, suelos y cerámica. Estos se definen como
dónde es el estrés equivalente . Sin embargo, la posibilidad de valores negativos de y el imaginario resultante hace que el uso de estas cantidades sea problemático en la práctica.
Otro conjunto relacionado de invariantes ampliamente utilizado es () que describen un sistema de coordenadas cilíndrico (las coordenadas de Haigh-Westergaard ). Estos se definen como:
La El plano también se llama plano Rendulic . El ángulo se llama ángulo de tensión, el valor a veces se denomina parámetro Lode [4] [5] [6] y la relación entre y fue dada por primera vez por Novozhilov VV en 1951, [7] ver también [8]
Las tensiones principales y las coordenadas de Haigh-Westergaard están relacionadas por
También se puede encontrar una definición diferente del ángulo Lode en la literatura: [9]
en cuyo caso el principal ordenado enfatiza (donde ) están relacionados por [10]
Ejemplos de superficies de rendimiento
Hay varias superficies de rendimiento diferentes conocidas en ingeniería, y las más populares se enumeran a continuación.
Superficie de producción Tresca
Se considera que el criterio de rendimiento de Tresca es obra de Henri Tresca . [11] También se conoce como la teoría del esfuerzo cortante máximo (MSST) y el criterio de Tresca-Guest [12] (TG). En términos de las tensiones principales, el criterio de Tresca se expresa como
Dónde es el límite elástico en cizalla, y es el límite elástico por tracción.
La Figura 1 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma de seis lados y de longitud infinita. Esto significa que el material permanece elástico cuando las tres tensiones principales son aproximadamente equivalentes (una presión hidrostática ), sin importar cuánto esté comprimido o estirado. Sin embargo, cuando una de las tensiones principales se vuelve más pequeña (o más grande) que las otras, el material está sujeto a cizallamiento. En tales situaciones, si el esfuerzo cortante alcanza el límite de fluencia, entonces el material entra en el dominio plástico. La Figura 2 muestra la superficie de fluencia de Tresca-Guest en un espacio de tensión bidimensional, es una sección transversal del prisma a lo largo del avión.
Superficie de producción de von Mises
El criterio de rendimiento de von Mises se expresa en las tensiones principales como
dónde es el límite elástico en tensión uniaxial.
La Figura 3 muestra la superficie de fluencia de von Mises en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cilindro circular de longitud infinita con su eje inclinado en ángulos iguales a los tres esfuerzos principales. La Figura 4 muestra la superficie de rendimiento de von Mises en un espacio bidimensional en comparación con el criterio de Tresca-Guest. Una sección transversal del cilindro de von Mises en el plano deproduce la forma elíptica de la superficie de producción.
Criterio de Burzyński-Yagn
representa la ecuación general de una superficie de revolución de segundo orden alrededor del eje hidrostático. Algunos casos especiales son: [15]
- cilindro (Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)),
- cono (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)),
- paraboloide (Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)),
- elipsoide centrado en el plano de simetría , (Beltrami (1885)),
- elipsoide centrado en el plano de simetría con (Schleicher (1926)),
- hiperboloide de dos hojas (Burzynski (1928), Yagn (1931)),
- hiperboloide de una hoja centrada en el plano de simetría , , (Kuhn (1980))
- hiperboloide de una hoja , (Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).
Las relaciones compresión-tensión y torsión-tensión se pueden calcular para
Las relaciones de Poisson a tensión y compresión se obtienen utilizando
Para materiales dúctiles, la restricción
es importante. La aplicación de criterios rotacionalmente simétricos para fallas frágiles con
no ha sido suficientemente estudiado. [dieciséis]
El criterio de Burzyński-Yagn es muy adecuado para fines académicos. Para aplicaciones prácticas, se debe introducir en la ecuación el tercer invariante del desviador en la potencia par e impar, por ejemplo: [17]
Criterio de Huber
El criterio de Huber consiste en el elipsoide de Beltrami y un cilindro de von Mises escalado en el espacio de tensión principal, [18] [19] [20] [21] ver también [22] [23]
con . La transición entre las superficies en la sección transversal.es continuamente diferenciable. El criterio representa la "visión clásica" con respecto al comportamiento material inelástico:
- Comportamiento del material sensible a la presión para con y
- Comportamiento del material insensible a la presión para con
El criterio de Huber se puede utilizar como una superficie de fluencia con una restricción empírica para la relación de Poisson en tensión. , lo que lleva a .
El criterio de Huber modificado, [24] [23] ver también [25]
Consiste en el elipsoide de Schleicher con la restricción de la relación de Poisson en compresión
y un cilindro con el -transición en la sección transversal . El segundo ajuste de los parámetros y sigue con la relación compresión / tensión
El criterio de Huber modificado se puede ajustar mejor a los datos medidos como el criterio de Huber. Para configurar sigue y .
El criterio de Huber y el criterio de Huber modificado deben preferirse al criterio de von Mises ya que se obtienen resultados más seguros en la región. . Para aplicaciones prácticas, el tercer invariante del desviador.debe tenerse en cuenta en estos criterios. [23]
Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb
El criterio de fluencia (falla) de Mohr-Coulomb es similar al criterio de Tresca, con disposiciones adicionales para materiales con diferentes límites de fluencia a tracción y compresión. Este modelo se utiliza a menudo para modelar hormigón , suelo o materiales granulares . El criterio de rendimiento de Mohr-Coulomb puede expresarse como:
dónde
y los parámetros y son las tensiones de fluencia (rotura) del material en compresión y tensión uniaxiales, respectivamente. La fórmula se reduce al criterio de Tresca si.
La Figura 5 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un prisma cónico ydetermina el ángulo de inclinación de la superficie cónica. La Figura 6 muestra la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en un espacio de tensión bidimensional. En la Figura 6 y se utiliza para y , respectivamente, en la fórmula. Es una sección transversal de este prisma cónico en el plano de. En la Figura 6, Rr y Rc se utilizan para Syc y Syt, respectivamente, en la fórmula.
Superficie de rendimiento Drucker – Prager
El criterio de fluencia de Drucker-Prager es similar al criterio de fluencia de von Mises, con disposiciones para la manipulación de materiales con diferentes límites de fluencia a tracción y compresión. Este criterio se utiliza con mayor frecuencia para el hormigón donde tanto los esfuerzos normales como los de cortante pueden determinar la falla. El criterio de rendimiento de Drucker-Prager puede expresarse como
dónde
y , son las tensiones de fluencia uniaxiales en compresión y tracción, respectivamente. La fórmula se reduce a la ecuación de von Mises si.
La Figura 7 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en el espacio tridimensional de tensiones principales. Es un cono regular . La Figura 8 muestra la superficie de fluencia de Drucker-Prager en un espacio bidimensional. El dominio elástico elíptico es una sección transversal del cono en el plano de; se puede elegir para intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en diferentes números de vértices. Una opción es intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en tres vértices a cada lado de lalínea, pero generalmente seleccionados por convención para ser los del régimen de compresión. [26] Otra opción es intersecar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en cuatro vértices en ambos ejes (ajuste uniaxial) o en dos vértices en la diagonal.(ajuste biaxial). [27] El criterio de rendimiento de Drucker-Prager también se expresa comúnmente en términos de cohesión del material y ángulo de fricción .
Superficie de rendimiento Bresler – Pister
El criterio de rendimiento de Bresler-Pister es una extensión del criterio de rendimiento de Drucker Prager que utiliza tres parámetros y tiene términos adicionales para los materiales que ceden bajo compresión hidrostática. En términos de las tensiones principales, este criterio de rendimiento puede expresarse como
dónde son constantes materiales. El parámetro adicionalle da a la superficie de fluencia una sección transversal elipsoidal cuando se ve desde una dirección perpendicular a su eje. Si es el límite elástico en compresión uniaxial, es el límite elástico en tensión uniaxial, y es el límite elástico en compresión biaxial, los parámetros se pueden expresar como
Superficie de rendimiento de Willam-Warnke
El criterio de rendimiento de Willam-Warnke es una versión suavizada de tres parámetros del criterio de rendimiento de Mohr-Coulomb que tiene similitudes en forma con los criterios de rendimiento de Drucker-Prager y Bresler-Pister .
El criterio de rendimiento tiene la forma funcional
Sin embargo, se expresa más comúnmente en coordenadas de Haigh-Westergaard como
La sección transversal de la superficie cuando se ve a lo largo de su eje es un triángulo suavizado (a diferencia de Mohr-Coulomb). La superficie de fluencia de Willam-Warnke es convexa y tiene una primera y segunda derivadas únicas y bien definidas en cada punto de su superficie. Por lo tanto, el modelo de Willam-Warnke es computacionalmente robusto y se ha utilizado para una variedad de materiales de fricción cohesiva.
Superficies de rendimiento trigonométricas de Podgórski y Rosendahl
Normalizado con respecto a la tensión de tracción uniaxial , el criterio de Podgórski [28] en función del ángulo de tensión lee
con la función de forma de la simetría trigonal en el -avión
Contiene los criterios de von Mises (círculo en el -avión, , ), Tresca (hexágono regular, , ), Mariotte (triángulo regular, , ), Ivlev [29] (triángulo regular,, ) y también el criterio cúbico de Sayir [30] (el criterio de Ottosen [31] ) cony los hexágonos isotoxales (equiláteros) del criterio de Capurso [29] [30] [32] con. La transición von Mises-Tresca [33] sigue con, . Los hexágonos isogonales (equiangulares) del criterio de Haythornthwaite [23] [34] [35] que contienen el criterio de Schmidt-Ishlinsky (hexágono regular) no se pueden describir con el ctiterion de Podgórski.
El criterio de Rosendahl [36] [37] dice
con la función de forma de simetría hexagonal en el -avión
Contiene los criterios de von Mises (círculo, , ), Tresca (hexágono regular, , ), Schmidt — Ishlinsky (hexágono regular, , ), Sokolovsky (dodecágono regular, , ), y también el criterio bicúbico [23] [36] [38] [39] con o igualmente con y los dodecágonos isotoxales del criterio de rendimiento unificado de Yu [40] con. Los dodecágonos isogonales del criterio ansatz multiplicativo de simetría hexagonal [23] que contienen el criterio de Ishlinsky-Ivlev (dodecágono regular) no pueden describirse con el criterio de Rosendahl.
Los criterios de Podgórski y Rosendahl describen superficies individuales en el espacio de tensión principal sin contornos exteriores adicionales ni intersecciones de planos. Tenga en cuenta que para evitar problemas numéricos, la función de la pieza real se puede introducir a la función de forma: y . La generalización en la forma[36] es relevante para investigaciones teóricas.
Se puede obtener una extensión sensible a la presión de los criterios con el método lineal -sustitución [23]
que es suficiente para muchas aplicaciones, por ejemplo, metales, hierro fundido, aleaciones, hormigón, polímeros no reforzados, etc.
Superficie de producción Bigoni – Piccolroaz
El criterio de rendimiento de Bigoni-Piccolroaz [41] [42] es una superficie de siete parámetros definida por
dónde es la función "meridiano"
describiendo la sensibilidad a la presión y es la función "desviadora" [43]
describiendo la dependencia de Lode del rendimiento. Los siete parámetros materiales no negativos:
definir la forma de las secciones meridiana y desviadora.
Este criterio representa una superficie lisa y convexa, que está cerrada tanto en tensión hidrostática como en compresión y tiene una forma de gota, particularmente adecuada para describir materiales de fricción y granulares. Este criterio también se ha generalizado al caso de superficies con esquinas. [44]
Cosine Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)
Para la formulación de los criterios de resistencia el ángulo de tensión
puede ser usado.
El siguiente criterio de comportamiento del material isotrópico
contiene una serie de otros criterios menos generales conocidos, siempre que se elijan valores de parámetro adecuados.
Parámetros y describir la geometría de la superficie en el -avión. Están sujetos a las limitaciones
que se derivan de la condición de convexidad. En. [45] [46] se propone una formulación más precisa de las terceras limitaciones.
Parámetros y describir la posición de los puntos de intersección de la superficie de fluencia con el eje hidrostático (diagonal del espacio en el espacio de tensión principal). Estos puntos de intersección se denominan nodos hidrostáticos. En el caso de materiales que no fallan a presión hidrostática (acero, latón, etc.) se obtiene. De lo contrario, para los materiales que fallan a la presión hidrostática (espumas duras, cerámicas, materiales sinterizados, etc.) se indica a continuación.
Los poderes enteros y , describe la curvatura del meridiano. El meridiano con es una línea recta y con - una parábola.
Superficie de rendimiento de Barlat
Para los materiales anisotrópicos, dependiendo de la dirección del proceso aplicado (por ejemplo, laminado) las propiedades mecánicas varían y, por lo tanto, es crucial utilizar una función de rendimiento anisotrópico. Desde 1989, Frederic Barlat ha desarrollado una familia de funciones de rendimiento para el modelado constitutivo de la anisotropía plástica. Entre ellos, el criterio de rendimiento Yld2000-2D se ha aplicado para una amplia gama de chapas metálicas (por ejemplo, aleaciones de aluminio y aceros avanzados de alta resistencia). El modelo Yld2000-2D es una función de rendimiento de tipo no cuadrático basada en dos transformaciones lineales del tensor de tensión:
- :
- dónde es el estrés efectivo. y y son las matrices transformadas (por transformación lineal C o L):
- donde s es el tensor de tensión desviador.
para los valores principales de X 'y X ”, el modelo podría expresarse como:
y:
dónde Hay ocho parámetros del modelo Yld2000-2D de Barlat que deben identificarse con un conjunto de experimentos.
Ver también
- Rendimiento (ingeniería)
- Plasticidad (física)
- Estrés
- Henri Tresca
- von Mises estrés
- Teoría de Mohr-Coulomb
- Criterio de rendimiento en colina
- Criterio de rendimiento de Hosford
- Presion
- Tensor de deformación
- Tensor de estrés-energía
- Concentración de estrés
- Elasticidad 3D
- Frederic Barlat
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