La viscoplasticidad es una teoría en mecánica continua que describe el comportamiento inelástico dependiente de la velocidad de los sólidos. La dependencia de la velocidad en este contexto significa que la deformación del material depende de la velocidad a la que se aplican las cargas . [1] El comportamiento inelástico que es objeto de viscoplasticidad es la deformación plástica, lo que significa que el material sufre deformaciones irrecuperables cuando se alcanza un nivel de carga. La plasticidad dependiente de la velocidad es importante para los cálculos de plasticidad transitoria. La principal diferencia entre los modelos de materiales plásticos y viscoplásticos independientes de la velocidad es que estos últimos no solo presentan deformaciones permanentes después de la aplicación de cargas, sino que continúan sufriendo unaflujo de fluencia en función del tiempo bajo la influencia de la carga aplicada.
La respuesta elástica de los materiales viscoplásticos se puede representar en una dimensión mediante elementos de resorte Hookean . La dependencia de la velocidad se puede representar mediante elementos del punto de control no lineales de una manera similar a la viscoelasticidad . La plasticidad se puede explicar agregando elementos de fricción deslizantes como se muestra en la Figura 1. [2] En la figura E es el módulo de elasticidad , λ es el parámetro de viscosidad y N es un parámetro de tipo ley de potencia que representa el punto de control no lineal [ σ (dε / dt) = σ = λ (dε / dt) (1 / N) ]. El elemento deslizante puede tener un límite elástico (σ y ) que depende de la velocidad de deformación , o incluso constante, como se muestra en la Figura 1c.
La viscoplasticidad generalmente se modela en tres dimensiones utilizando modelos de sobrecarga de los tipos Perzyna o Duvaut-Lions. [3] En estos modelos, se permite que la tensión aumente más allá de la superficie de fluencia independiente de la tasa al aplicar una carga y luego se permite que se relaje de nuevo a la superficie de fluencia con el tiempo. Por lo general, se supone que la superficie de rendimiento no depende de la tasa en tales modelos. Un enfoque alternativo es agregar una dependencia de la tasa de deformación al límite elástico y usar las técnicas de plasticidad independiente de la tasa para calcular la respuesta de un material [4]
Para metales y aleaciones , la viscoplasticidad es el comportamiento macroscópico provocado por un mecanismo ligado al movimiento de dislocaciones en los granos , con efectos superpuestos de deslizamiento intercristalino. El mecanismo generalmente se vuelve dominante a temperaturas superiores a aproximadamente un tercio de la temperatura de fusión absoluta. Sin embargo, ciertas aleaciones exhiben viscoplasticidad a temperatura ambiente (300K). Para polímeros , madera y betún , se requiere la teoría de la viscoplasticidad para describir el comportamiento más allá del límite de elasticidad o viscoelasticidad .
En general, las teorías de la viscoplasticidad son útiles en áreas como
- el cálculo de deformaciones permanentes,
- la predicción del colapso plástico de estructuras,
- la investigación de la estabilidad,
- simulaciones de accidentes,
- sistemas expuestos a altas temperaturas, como turbinas en motores, por ejemplo, una planta de energía,
- problemas dinámicos y sistemas expuestos a altas tasas de deformación.
Historia
La investigación sobre las teorías de la plasticidad se inició en 1864 con el trabajo de Henri Tresca , [5] Saint Venant (1870) y Levy (1871) [6] sobre el criterio de máxima cizalla . [7] Un modelo de plasticidad mejorado fue presentado en 1913 por Von Mises [8] que ahora se conoce como el criterio de rendimiento de von Mises . En viscoplasticidad, el desarrollo de un modelo matemático se remonta a 1910 con la representación de la fluencia primaria por la ley de Andrade. [9] En 1929, Norton [10] desarrolló un modelo de salpicadero unidimensional que vinculaba la tasa de fluencia secundaria a la tensión. En 1934, Odqvist [11] generalizó la ley de Norton al caso multiaxial .
Prandtl (1924) [12] y Reuss (1930) introdujeron conceptos como la normalidad del flujo plástico a la superficie de fluencia y las reglas de flujo para la plasticidad . [13] En 1932, Hohenemser y Prager [14] propusieron el primer modelo de flujo viscoplástico lento. Este modelo proporcionó una relación entre el esfuerzo desviador y la tasa de deformación para un sólido de Bingham incompresible [15]. Sin embargo, la aplicación de estas teorías no comenzó antes de 1950, cuando se descubrieron los teoremas del límite.
En 1960, el primer Simposio de IUTAM "Creep in Structures" organizado por Hoff [16] proporcionó un desarrollo importante en viscoplasticidad con los trabajos de Hoff, Rabotnov, Perzyna, Hult y Lemaitre para las leyes de endurecimiento isotrópico , y los de Kratochvil, Malinini y Khadjinsky, Ponter y Leckie, y Chaboche por las leyes de endurecimiento cinemático . Perzyna, en 1963, introdujo un coeficiente de viscosidad que depende de la temperatura y el tiempo. [17] Los modelos formulados fueron apoyados por la termodinámica de procesos irreversibles y el punto de vista fenomenológico . Las ideas presentadas en estos trabajos han sido la base de la mayoría de las investigaciones posteriores sobre la plasticidad dependiente de la velocidad.
Fenomenología
Para un análisis cualitativo, se realizan varias pruebas características para describir la fenomenología de los materiales viscoplásticos. Algunos ejemplos de estas pruebas son [9]
- Ensayos de endurecimiento a tensión constante o velocidad de deformación.
- pruebas de fluencia con fuerza constante, y
- relajación del estrés en constante elongación.
Ensayo de endurecimiento por deformación
Una consecuencia de la fluencia es que a medida que avanza la deformación plástica, se requiere un aumento de la tensión para producir una deformación adicional . Este fenómeno se conoce como endurecimiento por deformación / trabajo . [18] Para un material viscoplástico, las curvas de endurecimiento no son significativamente diferentes de las del material plástico independiente de la velocidad. Sin embargo, se pueden observar tres diferencias esenciales.
- A la misma deformación, cuanto mayor es la tasa de deformación, mayor es la tensión.
- Un cambio en la tasa de deformación durante la prueba da como resultado un cambio inmediato en la curva de tensión-deformación.
- El concepto de límite de rendimiento de plástico ya no es estrictamente aplicable.
La hipótesis de dividir las deformaciones mediante el desacoplamiento de las partes elástica y plástica sigue siendo aplicable cuando las deformaciones son pequeñas, [3] es decir,
dónde es la deformación elástica y es la deformación viscoplástica. Para obtener el comportamiento tensión-deformación mostrado en azul en la figura, el material se carga inicialmente a una tasa de deformación de 0.1 / s. La velocidad de deformación se eleva instantáneamente a 100 / sy se mantiene constante en ese valor durante algún tiempo. Al final de ese período de tiempo, la tasa de deformación se reduce instantáneamente de nuevo a 0,1 / sy el ciclo continúa para valores crecientes de deformación. Es evidente que existe un desfase entre el cambio de la tasa de deformación y la respuesta al estrés. Este retraso se modela con bastante precisión mediante modelos de sobreesfuerzo (como el modelo de Perzyna ), pero no mediante modelos de plasticidad independiente de la tasa que tienen un límite elástico dependiente de la tasa.
Prueba de fluencia
La fluencia es la tendencia de un material sólido a moverse lentamente o deformarse permanentemente bajo tensiones constantes. Las pruebas de fluencia miden la respuesta de deformación debida a una tensión constante como se muestra en la Figura 3. La curva de fluencia clásica representa la evolución de la deformación en función del tiempo en un material sometido a tensión uniaxial a temperatura constante. La prueba de fluencia, por ejemplo, se realiza aplicando una fuerza / tensión constante y analizando la respuesta de deformación del sistema. En general, como se muestra en la Figura 3b, esta curva suele mostrar tres fases o períodos de comportamiento [9]
- Una etapa de fluencia primaria , también conocida como fluencia transitoria, es la etapa inicial durante la cual el endurecimiento del material conduce a una disminución en la tasa de flujo que inicialmente es muy alta..
- La etapa de fluencia secundaria , también conocida como estado estable, es donde la tasa de deformación es constante..
- Una fase de fluencia terciaria en la que hay un aumento en la tasa de deformación hasta la deformación por fractura..
Prueba de relajación
Como se muestra en la Figura 4, la prueba de relajación [19] se define como la respuesta al estrés debido a una deformación constante durante un período de tiempo. En materiales viscoplásticos, las pruebas de relajación demuestran la relajación de la tensión en la carga uniaxial a una deformación constante. De hecho, estas pruebas caracterizan la viscosidad y pueden usarse para determinar la relación que existe entre la tensión y la velocidad de deformación viscoplástica. La descomposición de la tasa de deformación es
La parte elástica de la tasa de deformación está dada por
Para la región plana de la curva de deformación-tiempo, la tasa de deformación total es cero. Por lo tanto tenemos,
Por lo tanto, la curva de relajación se puede utilizar para determinar la velocidad de deformación viscoplástica y, por tanto, la viscosidad del amortiguador en un modelo de material viscoplástico unidimensional. El valor residual que se alcanza cuando la tensión se ha estabilizado al final de una prueba de relajación corresponde al límite superior de elasticidad. Para algunos materiales, como la sal de roca, dicho límite superior de elasticidad se produce con un valor muy pequeño de tensión y las pruebas de relajación pueden continuarse durante más de un año sin que se observe una meseta en la tensión.
Es importante tener en cuenta que las pruebas de relajación son extremadamente difíciles de realizar porque mantener la condición en una prueba requiere una delicadeza considerable. [20]
Modelos reológicos de viscoplasticidad.
Los modelos constitutivos unidimensionales de viscoplasticidad basados en elementos de resorte-amortiguador-deslizador incluyen [3] el sólido perfectamente viscoplástico, el sólido elástico perfectamente viscoplástico y el sólido de endurecimiento elastoviscoplástico. Los elementos pueden estar conectados en serie o en paralelo . En modelos donde los elementos están conectados en serie, la deformación es aditiva mientras que la tensión es igual en cada elemento. En conexiones paralelas, la tensión es aditiva mientras que la deformación es igual en cada elemento. Muchos de estos modelos unidimensionales se pueden generalizar a tres dimensiones para el régimen de deformación pequeña. En la discusión posterior, las tasas de tiempo la tensión y la tensión se escriben como y , respectivamente.
Sólido perfectamente viscoplástico (modelo Norton-Hoff)
En un sólido perfectamente viscoplástico, también llamado modelo de viscoplasticidad de Norton-Hoff, la tensión (como para los fluidos viscosos) es una función de la tasa de deformación permanente. El efecto de la elasticidad se desprecia en el modelo, es decir, y por lo tanto no hay límite de fluencia inicial, es decir, . El dashpot viscoso tiene una respuesta dada por
dónde es la viscosidad del amortiguador. En el modelo de Norton-Hoff, la viscosidad es una función no lineal de la tensión aplicada y está dada por
dónde es un parámetro de ajuste, λ es la viscosidad cinemática del material y . Entonces la tasa de deformación viscoplástica viene dada por la relación
En forma unidimensional, el modelo de Norton-Hoff se puede expresar como
Cuándo el sólido es viscoelástico .
Si asumimos que el flujo de plástico es isocórico (preservación del volumen), entonces la relación anterior se puede expresar en la forma más familiar [21]
dónde es el tensor de tensión desviador ,es la tasa de deformación equivalente de von Mises , yson parámetros materiales. La tasa de deformación equivalente se define como
Estos modelos se pueden aplicar en metales y aleaciones a temperaturas superiores a dos tercios [21] de su punto de fusión absoluto (en kelvin) y polímeros / asfalto a temperatura elevada. Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 6.
Sólido elástico perfectamente viscoplástico (modelo Bingham-Norton)
Se pueden utilizar dos tipos de enfoques elementales para construir un modo viscoplástico perfectamente elástico. En la primera situación, el elemento de fricción deslizante y el amortiguador se colocan en paralelo y luego se conectan en serie al resorte elástico como se muestra en la Figura 7. Este modelo se llama modelo de Bingham-Maxwell (por analogía con el modelo de Maxwell y el modelo de Bingham modelo ) o el modelo de Bingham-Norton . [22] En la segunda situación, los tres elementos están dispuestos en paralelo. Dicho modelo se denomina modelo de Bingham-Kelvin por analogía con el modelo de Kelvin .
Para materiales elásticos perfectamente viscoplásticos, la deformación elástica ya no se considera despreciable, pero la tasa de deformación plástica es solo una función del límite elástico inicial y no hay influencia del endurecimiento. El elemento deslizante representa una tensión de fluencia constante cuando se excede el límite elástico independientemente de la deformación. El modelo se puede expresar como
dónde es la viscosidad del elemento del amortiguador. Si el elemento dashpot tiene una respuesta que es del formulario Norton
obtenemos el modelo Bingham-Norton
Otras expresiones para la tasa de deformación también se pueden observar en la literatura [22] con la forma general
Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 8.
Sólido de endurecimiento elastoviscoplástico
Un material elástico-viscoplástico con endurecimiento por deformación se describe mediante ecuaciones similares a las de un material elástico-viscoplástico con una plasticidad perfecta. Sin embargo, en este caso, la tensión depende tanto de la velocidad de deformación del plástico como de la deformación del plástico en sí. Para un material elastoviscoplástico, la tensión, después de superar la tensión de fluencia, continúa aumentando más allá del límite de fluencia inicial. Esto implica que el límite elástico en el elemento deslizante aumenta con la deformación y el modelo puede expresarse en términos genéricos como
- .
Este modelo se adopta cuando los metales y aleaciones están a temperaturas medias y altas y la madera está sometida a cargas elevadas. Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 9.
Modelos de plasticidad dependientes de la tasa de deformación
Los modelos clásicos de viscoplasticidad fenomenológica para pequeñas deformaciones suelen clasificarse en dos tipos: [3]
- la formulación de Perzyna
- la fórmula de Duvaut-Lions
Formulación de Perzyna
En la formulación de Perzyna, se supone que la velocidad de deformación plástica viene dada por una relación constitutiva de la forma
dónde es una función de rendimiento ,es el estrés de Cauchy ,es un conjunto de variables internas (como la deformación plástica ), es un momento de relajación. La notacióndenota los corchetes de Macaulay . La regla de flujo utilizada en varias versiones del modelo de Chaboche es un caso especial de la regla de flujo de Perzyna [23] y tiene la forma
dónde es el valor cuasiestático de y es un trasfondo . Varios modelos para el backstress también llevan el nombre de modelo Chaboche .
Formulación de Duvaut-Lions
La formulación de Duvaut-Lions es equivalente a la formulación de Perzyna y puede expresarse como
dónde es el tensor de rigidez elástica, es la proyección del punto más cercano del estado de tensión en el límite de la región que limita todos los posibles estados de tensión elástica. La cantidad se encuentra típicamente a partir de la solución independiente de la velocidad a un problema de plasticidad.
Modelos de estrés por flujo
La cantidad representa la evolución de la superficie de producción . La función de rendimientoa menudo se expresa como una ecuación que consta de algún invariante de tensión y un modelo para la tensión de fluencia (o tensión de flujo plástico). Un ejemplo es von Mises oplasticidad. En esas situaciones, la tasa de deformación plástica se calcula de la misma manera que en la plasticidad independiente de la tasa. En otras situaciones, el modelo de tensión de fluencia proporciona un medio directo para calcular la tasa de deformación plástica.
Se utilizan numerosos modelos empíricos y semi-empíricos de tensión de flujo para la plasticidad computacional. Los siguientes modelos dependientes de la temperatura y la tasa de deformación proporcionan una muestra de los modelos en uso actual:
- el modelo Johnson-Cook
- el modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund.
- el modelo Zerilli-Armstrong.
- el modelo de tensión de umbral mecánico.
- el modelo Preston-Tonks-Wallace.
El modelo de Johnson-Cook (JC) [24] es puramente empírico y es el más utilizado de los cinco. Sin embargo, este modelo exhibe una dependencia de la tasa de deformación poco realista a altas temperaturas. El modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL) [25] [26] es semi-empírico. El modelo es puramente empírico e independiente de la tasa de deformación a altas tasas de deformación. Se utiliza una extensión basada en la luxación basada en [27] a tasas de deformación bajas. El modelo SCGL es ampliamente utilizado por la comunidad de físicos de choque. El modelo de Zerilli-Armstrong (ZA) [28] es un modelo simple basado en la física que se ha utilizado ampliamente. Un modelo más complejo que se basa en ideas de la dinámica de la dislocación es el modelo de estrés de umbral mecánico (MTS). [29] Este modelo se ha utilizado para modelar la deformación plástica de cobre, tántalo, [30] aleaciones de acero, [31] [32] y aleaciones de aluminio. [33] Sin embargo, el modelo MTS se limita a tasas de deformación inferiores a alrededor de 10 7 / s. El modelo Preston-Tonks-Wallace (PTW) [34] también se basa físicamente y tiene una forma similar al modelo MTS. Sin embargo, el modelo de PTW tiene componentes que pueden modelar la deformación plástica en el régimen de choque sobreimpulso (tasas de deformación superiores a 10 7 / s). Por tanto, este modelo es válido para la gama más amplia de tasas de deformación entre los cinco modelos de tensión de flujo.
Modelo de estrés de flujo de Johnson-Cook
El modelo de Johnson-Cook (JC) [24] es puramente empírico y proporciona la siguiente relación para el esfuerzo de flujo ()
dónde es la deformación plástica equivalente ,es la tasa de deformación plástica , y son constantes materiales.
La velocidad de deformación normalizada y la temperatura en la ecuación (1) se definen como
dónde es la tasa de deformación plástica efectiva de la prueba cuasiestática utilizada para determinar los parámetros de rendimiento y endurecimiento A, B y n. Esto no es, como a menudo se piensa, solo un parámetro para haceradimensional. [35] es una temperatura de referencia, y es una temperatura de fusión de referencia . Para condiciones donde, asumimos que .
Modelo de estrés de flujo de Steinberg-Cochran-Guinan-Lund
El modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL) es un modelo semi-empírico que fue desarrollado por Steinberg et al. [25] para situaciones de alta tasa de deformación y extendido a bajas tasas de deformación y materiales bcc por Steinberg y Lund. [26] La tensión de flujo en este modelo viene dada por
dónde es el componente atérmico de la tensión de flujo, es una función que representa el endurecimiento por deformación, es el componente térmicamente activado de la tensión de flujo, es el módulo de cizallamiento dependiente de la presión y la temperatura, y es el módulo de corte a temperatura y presión estándar. El valor de saturación de la tensión atérmica es. La saturación de la tensión activada térmicamente es la tensión de Peierls (). El módulo de corte para este modelo generalmente se calcula con el modelo de módulo de corte de Steinberg-Cochran-Guinan .
La función de endurecimiento por deformación () tiene la forma
dónde son parámetros de endurecimiento del trabajo, y es la deformación plástica equivalente inicial.
El componente térmico () se calcula utilizando un algoritmo de bisección de la siguiente ecuación. [26] [27]
dónde es la energía para formar un par retorcido en un segmento de dislocación de longitud, es la constante de Boltzmann ,es el estrés de Peierls . Las constantes están dadas por las relaciones
dónde es la densidad de dislocación , es la longitud de un segmento de dislocación, es la distancia entre los valles de Peierls ,es la magnitud del vector Burgers ,es la frecuencia de Debye ,es el ancho de un bucle retorcido , yes el coeficiente de arrastre .
Modelo de esfuerzo de flujo de Zerilli-Armstrong
El modelo de Zerilli-Armstrong (ZA) [28] [36] [37] se basa en una mecánica de dislocación simplificada. La forma general de la ecuación para el esfuerzo de flujo es
En este modelo, es el componente atérmico de la tensión de flujo dada por
dónde es la contribución debida a los solutos y la densidad de dislocación inicial, es la intensidad de la tensión microestructural, es el diámetro medio del grano, es cero para materiales fcc, son constantes materiales.
En términos de activación térmica, las formas funcionales de los exponentes y están
dónde son parámetros de material que dependen del tipo de material (fcc, bcc, hcp, aleaciones). El modelo Zerilli-Armstrong ha sido modificado por [38] para un mejor rendimiento a altas temperaturas.
Modelo de tensión de flujo de tensión de umbral mecánico
El modelo de esfuerzo umbral mecánico (MTS) [29] [39] [40] ) tiene la forma
dónde es el componente atérmico de la tensión umbral mecánica, es el componente de la tensión de flujo debido a las barreras intrínsecas al movimiento de dislocación activada térmicamente y las interacciones dislocación-dislocación, es el componente de la tensión de flujo debido a la evolución microestructural con una deformación creciente (endurecimiento por deformación), () are temperature and strain-rate dependent scaling factors, and is the shear modulus at 0 K and ambient pressure.
The scaling factors take the Arrhenius form
where is the Boltzmann constant, is the magnitude of the Burgers' vector, () are normalized activation energies, () are the strain-rate and reference strain-rate, and () are constants.
The strain hardening component of the mechanical threshold stress () is given by an empirical modified Voce law
where
and is the hardening due to dislocation accumulation, is the contribution due to stage-IV hardening, () are constants, is the stress at zero strain hardening rate, is the saturation threshold stress for deformation at 0 K, is a constant, and is the maximum strain-rate. Note that the maximum strain-rate is usually limited to about /s.
Preston–Tonks–Wallace flow stress model
The Preston–Tonks–Wallace (PTW) model [34] attempts to provide a model for the flow stress for extreme strain-rates (up to 1011/s) and temperatures up to melt. A linear Voce hardening law is used in the model. The PTW flow stress is given by
with
where is a normalized work-hardening saturation stress, is the value of at 0K, is a normalized yield stress, is the hardening constant in the Voce hardening law, and is a dimensionless material parameter that modifies the Voce hardening law.
The saturation stress and the yield stress are given by
where is the value of close to the melt temperature, () are the values of at 0 K and close to melt, respectively, are material constants, , () are material parameters for the high strain-rate regime, and
where is the density, and is the atomic mass.
Ver también
- Viscoelasticity
- Bingham plastic
- Dashpot
- Creep (deformation)
- Plasticity (physics)
- Continuum mechanics
- Quasi-solid
Referencias
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