En matemáticas , la gonalidad de una curva algebraica C se define como el grado más bajo de un mapa racional no constante de C a la línea proyectiva . En términos más algebraicos, si C se define sobre el campo K y K ( C ) denota el campo de función de C , entonces la gonalidad es el valor mínimo tomado por los grados de las extensiones de campo.
- K ( C ) / K ( f )
del campo de función sobre sus subcampos generados por funciones individuales f .
Si K es algebraicamente cerrado, entonces la gonalidad es 1 precisamente para las curvas del género 0. La gonalidad es 2 para las curvas del género 1 ( curvas elípticas ) y para las curvas hiperelípticas (esto incluye todas las curvas del género 2). Para el género g ≥ 3 ya no es el caso que el género determine la gonalidad. La gonalidad de la curva genérica del género g es la función piso de
- ( g + 3) / 2.
Las curvas trigonales son aquellas con gonalidad 3, y este caso dio lugar al nombre en general. Las curvas trigonales incluyen las curvas de Picard , del género tres y dadas por una ecuación
- y 3 = Q ( x )
donde Q es de grado 4.
La conjetura de gonalidad , de M. Green y R. Lazarsfeld, predice que la gonalidad de la curva algebraica C puede calcularse por medios de álgebra homológica , a partir de una resolución mínima de un haz invertible de alto grado. En muchos casos, la gonalidad es dos más que el índice de Clifford . La conjetura de Green-Lazarsfeld es una fórmula exacta en términos de los números de Betti graduados para un grado d incrustado en r dimensiones, para d grande con respecto al género. Escribiendo b ( C ), con respecto a una inserción dada de C y la resolución libre mínima para su anillo de coordenadas homogéneo , para el índice mínimo i para el cual β i , i + 1 es cero, entonces la fórmula conjeturada para la gonalidad es
- r + 1 - b ( C ).
Según la charla del ICM de 1900 sobre Federico Amodeo, la noción (pero no la terminología) se originó en la Sección V de la Teoría de las funciones abelianas de Riemann . Amodeo utilizó el término "gonalità" ya en 1893.
Referencias
- Eisenbud, David (2005). La geometría de las sicigias. Un segundo curso de álgebra conmutativa y geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 229 . Nueva York, NY: Springer-Verlag . págs. 171, 178. ISBN 0-387-22215-4. Señor 2103875 . Zbl 1066.14001 .