Teorema de Clifford sobre divisores especiales

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En matemáticas , el teorema de Clifford sobre divisores especiales es un resultado de William K. Clifford  ( 1878 ) sobre curvas algebraicas , que muestra las restricciones sobre sistemas lineales especiales en una curva C.

Un divisor en una superficie de Riemann C es una suma formal de puntos P en C con coeficientes enteros. Se considera un divisor como un conjunto de restricciones sobre las funciones meromórficas en el campo de funciones de C, definiendo como el espacio vectorial de funciones que tienen polos solo en los puntos de D con coeficiente positivo, a lo sumo tan malo como indica el coeficiente, y que tienen ceros en puntos de D con coeficiente negativo, con al menos esa multiplicidad. La dimensión de es finita y se denota . El${\ estilo de visualización \ estilo de texto D = \ suma _ {P} m_ {P} P}$${\ estilo de visualización L (D)}$${\ estilo de visualización L (D)}$${\ estilo de visualización \ ell (D)}$El sistema lineal de divisores unido a D es el correspondiente espacio proyectivo de dimensión . ${\ estilo de visualización \ ell (D) -1}$

y esa igualdad se cumple solo si D es cero o un divisor canónico, o si C es una curva hiperelíptica y D linealmente equivalente a un múltiplo entero de un divisor hiperelíptico.

El índice de Clifford de C se define entonces como el mínimo de todos los divisores especiales (excepto canónicos y triviales), y el teorema de Clifford establece que esto no es negativo. Se puede demostrar que el índice de Clifford para una curva genérica de género g es igual a la función suelo${\ estilo de visualización d-2 (\ ell (D) -1)}$ ${\displaystyle \lpiso {\tfrac {g-1}{2}}\rpiso .}$

El índice de Clifford mide qué tan lejos está la curva de ser hiperelíptica. Puede considerarse como un refinamiento de la gonalidad : en muchos casos, el índice de Clifford es igual a la gonalidad menos 2. ^[2]

Una conjetura de Mark Green establece que el índice de Clifford para una curva sobre los números complejos que no es hiperelíptica debe determinarse por la medida en que C como curva canónica tiene sicigias lineales. En detalle, se define el invariante a ( C ) en términos de la mínima resolución libre del anillo de coordenadas homogéneo de C en su incrustación canónica, como el mayor índice i para el cual el número de Betti graduado β _{i , i + 2} es cero. Green y Robert Lazarsfeld demostraron que un( C ) + 1 es un límite inferior para el índice de Clifford, y la conjetura de Green establece que la igualdad siempre se cumple. Hay numerosos resultados parciales. ^[3]

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