En matemáticas , una gavilla invertible es una gavilla coherente S en un espacio anillado X , para el cual existe una T inversa con respecto al producto tensorial de O X -módulos. Es el equivalente en geometría algebraica de la noción topológica de haz de líneas . Debido a sus interacciones con los divisores de Cartier , juegan un papel central en el estudio de las variedades algebraicas .
Definición [ editar ]
Una gavilla invertible es una gavilla coherente S en un espacio anillado X , para el cual hay una T inversa con respecto al producto tensorial de los módulos O X , es decir, tenemos
isomorfo a O X , que actúa como elemento de identidad para el producto tensorial. Los casos más significativos son los que provienen de la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas . Las poleas invertibles en esas teorías son, en efecto, los haces lineales formulados apropiadamente.
De hecho, la definición abstracta en la teoría de esquemas de gavilla invertible puede ser reemplazada por la condición de estar localmente libre de rango 1 . Es decir, la condición de un tensor inverso implica, localmente en X , que S es la forma de haz de un módulo de rango 1 libre sobre un anillo conmutativo . Los ejemplos provienen de ideales fraccionarios en la teoría algebraica de números , por lo que la definición captura esa teoría. De manera más general, cuando X es un esquema afín Spec (R) , las poleas invertibles provienen de módulos proyectivos sobre R , de rango 1.
El grupo Picard [ editar ]
En general, las clases de isomorfismo de las poleas invertibles en X forman un grupo abeliano bajo el producto tensorial. Este grupo generaliza el grupo de clase ideal . En general esta escrito
con Pic the Picard functor . Dado que también incluye la teoría de la variedad jacobiana de una curva algebraica , el estudio de este funtor es un tema importante en la geometría algebraica.
La construcción directa de poleas invertibles mediante datos sobre X conduce al concepto de divisor Cartier .
Ver también [ editar ]
- Paquetes de vectores en geometría algebraica
- Paquete de líneas
- Primera clase Chern
- Grupo picard
- Teorema de Birkhoff-Grothendieck
Referencias [ editar ]
- Sección 0.5.4 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
