Un trominó es un poliominó de orden 3, es decir, un polígono en el plano formado por tres cuadrados de igual tamaño conectados de borde a borde. [1]
Simetría y enumeración
Cuando las rotaciones y reflexiones no se consideran formas distintas, solo hay dos trominós libres diferentes : "I" y "L" (la forma de "L" también se llama "V").
Dado que ambos trominós libres tienen simetría de reflexión , también son los únicos dos trominós de un solo lado (trominós con reflejos considerados distintos). Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay seis trominós fijos : dos formas I y cuatro L. Se pueden obtener girando las formas anteriores en 90 °, 180 ° y 270 °. [2] [3]
Rep-Tiling y el teorema del tromino de Golomb
Ambos tipos de trominos se pueden diseccionar en n 2 trominos más pequeños del mismo tipo, para cualquier número entero n > 1. Es decir, son rep-tiles . [4] Continuar con esta disección conduce de forma recursiva a un mosaico del plano, que en muchos casos es un mosaico aperiódico . En este contexto, el L-tromino se llama silla , y su embaldosado por subdivisión recursiva en cuatro L-trominos más pequeños se llama embaldosado de la silla . [5]
Motivado por el problema del tablero de ajedrez mutilado , Solomon W. Golomb usó este mosaico como base para lo que se conoce como el teorema del tromino de Golomb: si se quita cualquier cuadrado de un tablero de ajedrez de 2 n × 2 n , el tablero restante puede cubrirse completamente con L -trominós. Para probar esto por inducción matemática , divida el tablero en un cuarto de tablero de tamaño 2 n − 1 × 2 n − 1 que contenga el cuadrado eliminado, y un gran tromino formado por los otros tres cuartos de tablero. El trominó se puede diseccionar de forma recursiva en trominós unitarios, y una disección del cuarto de tabla con un cuadrado eliminado sigue la hipótesis de inducción. Por el contrario, cuando un tablero de ajedrez de este tamaño tiene un cuadrado eliminado, no siempre es posible cubrir los cuadrados restantes con I-trominós. [6]
Ver también
Pedidos anteriores y siguientes
Referencias
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2ª ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Weisstein, Eric W. "Triomino" . MathWorld .
- ^ Redelmeier, D. Hugh (1981). "Contando poliominós: otro ataque". Matemáticas discretas . 36 : 191-203. doi : 10.1016 / 0012-365X (81) 90237-5 .
- ^ Nițică, Viorel (2003), "Rep-tiles revisited", MASS selecta , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 205-217, MR 2027179.
- ^ Robinson, E. Arthur, Jr. (1999). "Sobre la mesa y la silla" . Indagationes Mathematicae . 10 (4): 581–599. doi : 10.1016 / S0019-3577 (00) 87911-2 . Señor 1820555 ..
- ^ Golomb, SW (1954). "Tableros de ajedrez y poliominós". American Mathematical Monthly . 61 : 675–682. doi : 10.2307 / 2307321 . Señor 0067055 ..
enlaces externos
- Demostración inductiva de Golomb de un teorema de tromino en cortar el nudo
- Tromino Puzzle al cortar el nudo
- Rompecabezas interactivo de Tromino en Amherst College