En la geometría de los teselados , un mosaico de repetición o reptil es una forma que se puede diseccionar en copias más pequeñas de la misma forma. El término fue acuñado como un juego de palabras con los reptiles animales por el matemático recreativo Solomon W. Golomb y popularizado por Martin Gardner en su columna " Juegos matemáticos " en la edición de mayo de 1963 de Scientific American . [1] En 2012, Lee Sallows introdujo una generalización de los mosaicos de repetición denominada conjuntos de mosaicos de autoparto enRevista de Matemáticas . [2]
Terminología
Un mosaico rep se etiqueta rep- n si la disección utiliza n copias. Tal forma forma necesariamente el prototipo de un mosaico del avión, en muchos casos un mosaico aperiódico . Una disección de baldosas de repetición utilizando diferentes tamaños de la forma original se denomina baldosa de repetición irregular o irreptil. Si los usos de disección n copias, se dice que la forma de ser irrep- n . Si todas estas baldosas secundarias son de diferentes tamaños, la baldosa también se describe como perfecta. Una forma que es rep- n o irrep- n es trivialmente también irrep- ( kn - k + n ) para cualquier k > 1, reemplazando el mosaico más pequeño en la disección rep- n por n mosaicos aún más pequeños. El orden de una forma, ya sea usando rep-tiles o irrep-tiles, es el menor número posible de mosaicos que será suficiente. [3]
Ejemplos de
Cada cuadrado , rectángulo , paralelogramo , rombo o triángulo es rep-4. El hexiamante esfinge (ilustrado arriba) es rep-4 y rep-9, y es uno de los pocos pentágonos autorreplicantes conocidos . La isla Gosper es rep-7. El copo de nieve de Koch es irrep-7: seis copos de nieve pequeños del mismo tamaño, junto con otro copo de nieve con tres veces el área de los más pequeños, pueden combinarse para formar un solo copo de nieve más grande.
Un triángulo rectángulo con longitudes de lado en la proporción 1: 2 es rep-5, y su disección rep-5 forma la base del mosaico aperiódico de molinete . Según el teorema de Pitágoras , la hipotenusa , o el lado inclinado del triángulo rep-5, tiene una longitud de √ 5 .
La norma internacional ISO 216 define los tamaños de las hojas de papel utilizando √ 2 , en el que el lado largo de una hoja de papel rectangular es la raíz cuadrada de dos veces el lado corto del papel. Los rectángulos en esta forma son rep-2. Un rectángulo (o paralelogramo) es rep- n si su relación de aspecto es √ n : 1. Un triángulo rectángulo isósceles también es rep-2.
Rep-tiles y simetría
Algunas fichas de representación, como el cuadrado y el triángulo equilátero , son simétricas y permanecen idénticas cuando se reflejan en un espejo . Otros, como la esfinge , son asimétricos y existen en dos formas distintas relacionadas por reflejo de espejo. La disección de la esfinge y algunas otras fichas de representación asimétricas requiere el uso tanto de la forma original como de su imagen especular.
Rep-tiles y poliformas
Algunos rep-tiles se basan en Polyforms como poliamante y poliominós , o formas creadas por la imposición triángulos equiláteros y cuadrados de borde a borde.
Cuadrícula
Si un poliomino es rectificable, es decir, capaz de enlosar un rectángulo , entonces también será un mosaico de repetición, porque el rectángulo tendrá una relación de longitud de lado entero y, por lo tanto, enlosará un cuadrado . Esto se puede ver en los octominós , que se crean a partir de ocho cuadrados. Dos copias de algunos octominós formarán un cuadrado; por lo tanto, estos octominós también son rep-16 rep-tiles.
Cuatro copias de algunos no- dominios y no- reyes formarán un cuadrado, por lo tanto, estas poliformas también son baldosas de rep-36.
Triángulos equiláteros
De manera similar, si un poli (diamante) forma un triángulo equilátero, también será un mosaico de repetición.
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo recto de 90 °. Dos formas particulares de triángulo rectángulo han atraído la atención de los investigadores de rep-tile, el triángulo de 45 ° -90 ° -45 ° y el triángulo de 30 ° -60 ° -90 °.
Triángulos de 45 ° -90 ° -45 °
Las poliformas basadas en triángulos rectángulos isósceles , con lados en la proporción 1: 1: √ 2 , se conocen como poliabolos . Un número infinito de ellos son fichas de repetición. De hecho, el más simple de todos los mosaicos de repeticiones es un único triángulo rectángulo isósceles. Es rep-2 cuando se divide por una sola línea que divide el ángulo recto de la hipotenusa . Rep-2 rep-tiles también son rep-2 ny los triángulos rep-4,8,16 + producen más rep-tiles. Estos se encuentran descartando la mitad de las subcopias y permutando el resto hasta que sean simétricas en espejo dentro de un triángulo rectángulo. En otras palabras, dos copias colocarán un triángulo rectángulo. Una de estas nuevas fichas de representación recuerda al pez formado a partir de tres triángulos equiláteros .
Triángulos de 30 ° -60 ° -90 °
Las poliformas basadas en triángulos rectángulos de 30 ° -60 ° -90 °, con lados en la proporción 1: √ 3 : 2, se conocen como polydrafters . Algunos son idénticos a los poliminoes y poliamantes , otros son distintos. [4]
Representaciones múltiples y variantes
Muchas de las fichas de rep comunes son rep- n 2 para todos los valores enteros positivos de n . En particular, esto es cierto para tres trapezoides, incluido el formado a partir de tres triángulos equiláteros, para hexágonos de tres ejes paralelos (el L-tromino, L-tetromino y P-pentomino) y la esfinge hexagonal. [5] Además, muchos rep-tiles, particularmente aquellos con mayor repre- n , puede ser auto-alicatado de diferentes maneras. Por ejemplo, el rep-9 L-tetramino tiene al menos catorce repuestos diferentes. La rep-9 sphinx hexiamond también se puede colocar en mosaico de diferentes maneras.
Rep-tiles con lados infinitos
Las fichas de repetición más conocidas son polígonos con un número finito de lados, pero algunas formas con un número infinito de lados también pueden ser fichas de repetición. Por ejemplo, el triángulo teragónico , o triángulo con cuernos, es rep-4. También es un ejemplo de un mosaico de repetición fractal .
Azulejos de representación pentagonales
Las fichas de representación triangulares y cuadriláteros (de cuatro lados) son comunes, pero las fichas de representación pentagonales son raras. Durante mucho tiempo, se creyó ampliamente que la esfinge era el único ejemplo conocido, pero el matemático alemán / neozelandés Karl Scherer y el matemático estadounidense George Sicherman han encontrado más ejemplos, incluida una doble pirámide y una versión alargada de la esfinge. . Estas fichas de representación pentagonales se ilustran en las páginas de Math Magic supervisadas por el matemático estadounidense Erich Friedman . [6] Sin embargo, la esfinge y sus versiones extendidas son los únicos pentágonos conocidos que pueden repetirse con copias iguales. Vea las páginas de reptiles de Clarke .
Rep-tiles y fractales
Rep-tiles como fractales
Los mosaicos de representantes se pueden usar para crear fractales o formas que son auto-similares a escalas cada vez más pequeñas. Un fractal de mosaico de repetición se forma subdividiendo el mosaico de repetición, eliminando una o más copias de la forma subdividida y luego continuando recursivamente . Por ejemplo, la alfombra de Sierpinski se forma de esta manera a partir de un mosaico de un cuadrado en 27 cuadrados más pequeños, y el triángulo de Sierpinski se forma a partir de un mosaico de un triángulo equilátero en cuatro triángulos más pequeños. Cuando se descarta una subcopia, se puede usar un rep-4 L- triomino para crear cuatro fractales, dos de los cuales son idénticos excepto por la orientación .
Fractales como fichas de repetición
Debido a que los fractales son auto-similares en escalas cada vez más pequeñas, muchos pueden descomponerse en copias de sí mismos como un mosaico de repetición. Sin embargo, si el fractal tiene un interior vacío , esta descomposición puede no conducir a un mosaico de todo el plano. Por ejemplo, el triángulo de Sierpinski es rep-3, en mosaico con tres copias de sí mismo, y la alfombra de Sierpinski es rep-8, en mosaico con ocho copias de sí mismo, pero la repetición de estas descomposiciones no forma un mosaico. Por otro lado, la curva del dragón es una curva que llena el espacio con un interior no vacío; es rep-4 y forma un mosaico. De manera similar, la isla Gosper es rep-7, formada a partir de la curva de Gosper que llena el espacio, y nuevamente forma un mosaico.
Por construcción, cualquier fractal definido por un sistema de funciones iteradas de n mapas de contratación de la misma razón es rep-n.
Azulejos infinitos
Entre los polígonos regulares, solo el triángulo y el cuadrado se pueden diseccionar en copias más pequeñas de sí mismos de igual tamaño. Sin embargo, un hexágono regular se puede diseccionar en seis triángulos equiláteros, cada uno de los cuales se puede disecar en un hexágono regular y tres triángulos equiláteros más. Esta es la base para un mosaico infinito del hexágono con hexágonos. El hexágono es, por lo tanto, un irreptil irrep-∞ o irrep-infinito.
Hexágono regular en mosaico con infinitas copias de sí mismo.
Copo de nieve de Koch alargado fractal (siamés) en mosaico con infinitas copias de sí mismo [7]
Ver también
- Mosaico
- Autorreplicación
- Juego de baldosas autoalicatables
- Reptiles (MC Escher)
Notas
- ^ Una docena de Gardner: historias de portada de Martin's Scientific American
- ^ Sallows (2012) .
- ^ Gardner (2001) .
- ^ Polydrafter Irreptiling
- ^ Niţică (2003) .
- ^ Math Magic, problema del mes (octubre de 2002)
- ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago. Arte tassellazione" . Maecla .
Referencias
- Gardner, M. (2001), "Rep-Tiles", The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems , Nueva York: WW Norton, págs. 46–58
- Gardner, M. (1991), "Chapter 19: Rep-Tiles, Replicating Figures on the Plane", The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions , Chicago, IL: Chicago University Press, págs. 222-233
- Langford, CD (1940), "Usos de un rompecabezas geométrico", The Mathematical Gazette , 24 (260): 209-211, doi : 10.2307 / 3605717
- Niţică, Viorel (2003), "Rep-tiles revisited", MASS selecta , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 205-217, MR 2027179
- Sallows, Lee (2012), "On self-tile tiles sets", Mathematics Magazine , 85 (5): 323–333, doi : 10.4169 / math.mag.85.5.323 , MR 3007213
- Scherer, Karl (1987), Un viaje desconcertante a los reptiles y animales relacionados
- Wells, D. (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Londres: Penguin, págs. 213-214
enlaces externos
Rep-tiles
- Álbum de la Esfinge del Centro de Matemáticas: http://mathematicscentre.com/taskcentre/sphinx.htm
- Clarke, AL "Reptiles". http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/Reptiles.htm .
- Weisstein, Eric W. "Rep-Tile" . MathWorld .
- http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/reptile1.htm (1999)
- IFStile - programa para encontrar rep-tiles: https://ifstile.com
Azulejos de Irrep
- Math Magic - Problema del mes 10/2002
- Tanya Khovanova - L-Irreptiles