En matemáticas , un polinomio retorcido es un polinomio sobre un campo de características en la variable que representa el mapa de Frobenius . A diferencia de los polinomios normales, la multiplicación de estos polinomios no es conmutativa , pero cumple la regla de conmutación.
para todos en el campo base.
Sobre un campo infinito, el anillo polinomial retorcido es isomorfo al anillo de polinomios aditivos , pero donde la multiplicación en este último viene dada por la composición en lugar de la multiplicación habitual. Sin embargo, a menudo es más fácil de calcular en el anillo polinomial retorcido; esto se puede aplicar especialmente en la teoría de los módulos de Drinfeld .
Definición
Dejar ser un campo de caracteristicas . El anillo polinomial retorcido se define como el conjunto de polinomios en la variable y coeficientes en . Está dotado de una estructura de anillo con la adición habitual, pero con una multiplicación no conmutativa que se puede resumir con la relación por . La aplicación repetida de esta relación produce una fórmula para la multiplicación de dos polinomios retorcidos cualesquiera.
Como ejemplo, realizamos tal multiplicación.
Propiedades
El morfismo
define un homomorfismo de anillo que envía un polinomio retorcido a un polinomio aditivo. Aquí, la multiplicación del lado derecho viene dada por la composición de polinomios. Por ejemplo
utilizando el hecho de que en característica tenemos el sueño del estudiante de primer año .
El homomorfismo es claramente inyectivo, pero es sobreyectivo si y solo si es infinito. El fracaso de la sobrejetividad cuando es finito se debe a la existencia de polinomios distintos de cero que inducen la función cero en (p.ej sobre el campo finito con elementos). [ cita requerida ]
Aunque este anillo no es conmutativo, todavía posee algoritmos de división (izquierda y derecha) .
Referencias
- Goss, D. (1996), Estructuras básicas de aritmética de campos funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], 35 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61087-8, MR 1423131 , Zbl 0.874,11004
- Rosen, Michael (2002), Teoría de números en campos funcionales , Textos de posgrado en matemáticas , 210 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, ISSN 0072-5285 , Zbl 1043.11079