En la teoría cuántica de campos , y en los subcampos significativos de la electrodinámica cuántica (QED) y la cromodinámica cuántica (QCD), las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos (TBDE) de la dinámica de restricciones proporcionan una reformulación tridimensional pero manifiestamente covariante de la ecuación de Bethe-Salpeter. [1] para dos partículas spin-1/2 . Tal reformulación es necesaria ya que sin ella, como lo muestra Nakanishi, [2]la ecuación de Bethe-Salpeter posee soluciones de norma negativa que surgen de la presencia de un grado de libertad esencialmente relativista, el tiempo relativo. Estos estados "fantasma" han estropeado la interpretación ingenua de la ecuación de Bethe-Salpeter como una ecuación de ondas de la mecánica cuántica. Las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos de la dinámica de restricciones rectifican este defecto. Las formas de estas ecuaciones no sólo pueden derivarse de la teoría cuántica de campos [3] [4], sino que también pueden derivarse puramente en el contexto de la dinámica de restricciones de Dirac [5] [6] y la mecánica relativista y la mecánica cuántica. [7] [8] [9] [10] Sus estructuras, a diferencia de la ecuación de Dirac de dos cuerpos más familiar de Breit ,[11] [12] [13] que es una sola ecuación, son dos ecuaciones de onda relativistas cuánticas simultáneas. Una única ecuación de Dirac de dos cuerpos similar a la ecuación de Breit se puede derivar del TBDE. [14] A diferencia de la ecuación de Breit, es manifiestamente covariante y está libre de los tipos de singularidades que impiden un tratamiento estrictamente no perturbativo de la ecuación de Breit. [15]
En aplicaciones de TBDE a QED, las dos partículas interactúan por medio de potenciales de cuatro vectores derivados de las interacciones electromagnéticas teóricas de campo entre las dos partículas. En aplicaciones a QCD, las dos partículas interactúan por medio de potenciales de cuatro vectores e interacciones escalares invariantes de Lorentz, derivadas en parte de las interacciones cromomagnéticas teóricas de campo entre los quarks y en parte por consideraciones fenomenológicas. Al igual que con la ecuación de Breit, se utiliza un espinor Ψ de dieciséis componentes .
Ecuaciones
Para QED, cada ecuación tiene la misma estructura que la ecuación de Dirac ordinaria de un cuerpo en presencia de un campo electromagnético externo , dado por el 4-potencial . Para QCD, cada ecuación tiene la misma estructura que la ecuación de Dirac ordinaria de un cuerpo en presencia de un campo externo similar al campo electromagnético y un campo externo adicional dado por en términos de un escalar invariante de Lorentz. En unidades naturales : [16] esas ecuaciones de dos cuerpos tienen la forma.
donde, en el espacio de coordenadas, p μ es el 4-momento , relacionado con el 4-gradiente por (la métrica usada aquí es)
y γ μ son las matrices gamma . Las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos (TBDE) tienen la propiedad de que si una de las masas se vuelve muy grande, digamosentonces la ecuación de Dirac 16-componente se reduce a la 4-componente de una sola cuerpo ecuación de Dirac para una partícula en un potencial externo.
En unidades SI :
donde c es la velocidad de la luz y
Las unidades naturales se utilizarán a continuación. Se utiliza un símbolo de tilde sobre los dos conjuntos de potenciales para indicar que pueden tener dependencias de matriz gamma adicionales que no están presentes en la ecuación de Dirac de un cuerpo. Cualquier constante de acoplamiento, como la carga del electrón, está incorporada en los potenciales vectoriales.
Dinámica de restricciones y TBDE
La dinámica de restricciones aplicada al TBDE requiere una forma particular de consistencia matemática: los dos operadores de Dirac deben conmutar entre sí. Esto es plausible si uno ve las dos ecuaciones como dos restricciones compatibles en la función de onda. (Consulte la discusión a continuación sobre la dinámica de restricciones). Si los dos operadores no se desplazaron (como, por ejemplo, con los operadores de coordenadas y momento) entonces las restricciones no serían compatibles (uno no podría, por ejemplo, tener una función de onda que satisfaga tanto y ). Esta coherencia o compatibilidad matemática conduce a tres propiedades importantes del TBDE. La primera es una condición que elimina la dependencia del tiempo relativo en el centro del marco del momento (cm) definido por. (La variablees la energía total en el cuadro cm.) Dicho de otra manera, el tiempo relativo se elimina de forma covariante. En particular, para que los dos operadores conmuten, los potenciales escalares y de cuatro vectores pueden depender de la coordenada relativa solo a través de su componente ortogonal a en el cual
Esto implica que en el marco de cm , que tiene un componente de tiempo cero.
En segundo lugar, la condición de consistencia matemática también elimina la energía relativa en el marco cm . Lo hace imponiendo a cada operador de Dirac una estructura tal que en una combinación particular conduzcan a esta forma de interacción independiente, eliminando de forma covariante la energía relativa.
En esta expresión es el momento relativo que tiene la forma para masas iguales. En el marco de cm (), el componente de tiempo del momento relativo, que es la energía relativa, se elimina así. en el sentido de que.
Una tercera consecuencia de la consistencia matemática es que cada uno de los escalares mundiales y cuatro vector potenciales tiene un término con una dependencia fija de y además de las formas independientes de la matriz gamma de y que aparecen en la ecuación ordinaria de Dirac de un cuerpo para potenciales escalares y vectoriales. Estos términos adicionales corresponden a una dependencia adicional del giro del retroceso que no está presente en la ecuación de Dirac de un cuerpo y desaparecen cuando una de las partículas se vuelve muy pesada (el llamado límite estático).
Más sobre la dinámica de restricciones: restricciones de capa de masa generalizadas
La dinámica de restricciones surgió del trabajo de Dirac [6] y Bergmann. [17] Esta sección muestra cómo la eliminación del tiempo relativo y la energía tiene lugar en el sistema cm para el sistema simple de dos partículas relativistas sin espinas. La dinámica de restricción se aplicó por primera vez al sistema relativista clásico de dos partículas por Todorov, [18] [19] Kalb y Van Alstine, [20] [21] Komar, [22] [23] y Droz-Vincent. [24] Con dinámica de restricciones, estos autores encontraron un enfoque coherente y covariante de la mecánica hamiltoniana canónica relativista que también evade el teorema de "No Interacción" de Currie-Jordan-Sudarshan. [25] [26] Ese teorema establece que sin campos, no se puede tener una dinámica hamiltoniana relativista . Por lo tanto, el mismo enfoque tridimensional covariante que permite que la versión cuantificada de la dinámica de restricciones elimine fantasmas cuánticos simultáneamente elude en el nivel clásico el teorema de CJS. Considere una restricción en los cuatro vectores de coordenada y momento de otro modo independientes, escrito en la forma. El símbolose denomina igualdad débil e implica que la restricción se impondrá solo después de que se hayan realizado los paréntesis de Poisson necesarios . En presencia de tales restricciones, el hamiltoniano total se obtiene del Lagrangiano agregando al Legendre Hamiltonian la suma de las restricciones multiplicada por un conjunto apropiado de multiplicadores de Lagrange .
- ,
Este hamiltoniano total se llama tradicionalmente el hamiltoniano de Dirac. Las restricciones surgen naturalmente de acciones invariantes de parámetros de la forma
En el caso de cuatro interacciones vectoriales y escalares de Lorentz para una sola partícula, el lagrangiano es
El impulso canónico es
y al elevar al cuadrado conduce a la condición de capa de masa generalizada o restricción de capa de masa generalizada
Dado que, en este caso, el Hamiltoniano de Legendre desaparece
el hamiltoniano de Dirac es simplemente la restricción de masa generalizada (sin interacciones sería simplemente la restricción de capa de masa ordinaria)
Luego, se postula que para dos cuerpos el hamiltoniano de Dirac es la suma de dos de tales restricciones de capa de masa,
es decir
y que cada restricción ser constante en el momento adecuado asociado con
Aquí la igualdad débil significa que el corchete de Poisson podría resultar en términos proporcionales una de las restricciones, los corchetes de Poisson clásicos para el sistema relativista de dos cuerpos se definen por
Para ver las consecuencias de que cada restricción sea una constante del movimiento, tome, por ejemplo
Desde y y uno tiene
La solución más simple para esto es
lo que lleva a (tenga en cuenta que la igualdad en este caso no es débil en el sentido de que no es necesario imponer ninguna restricción después de que se resuelva el paréntesis de Poisson)
(ver Todorov, [19] y Wong y Crater [27] ) con el mismo definido anteriormente.
Cuantización
Además de reemplazar las variables dinámicas clásicas por sus contrapartes cuánticas, la cuantificación de la mecánica de restricción se lleva a cabo reemplazando la restricción en las variables dinámicas con una restricción en la función de onda.
- ,
- .
El primer conjunto de ecuaciones para i = 1, 2 desempeña el papel de las partículas sin espín que las dos ecuaciones de Dirac desempeñan para las partículas de espín medio. Los corchetes clásicos de Poisson son reemplazados por conmutadores
Por lo tanto
y vemos en este caso que el formalismo de restricción conduce a la desaparición del conmutador de los operadores de onda para las dos partículas en. Este es el análogo de la afirmación mencionada anteriormente de que los dos operadores de Dirac se conmutan entre sí.
Eliminación covariante de la energía relativa
La desaparición del conmutador anterior asegura que la dinámica sea independiente del tiempo relativo en el marco de cm. Para eliminar covariantemente la energía relativa, introduzca el momento relativo definido por
( 1 )
( 2 )
La definición anterior del momento relativo fuerza la ortogonalidad del momento total y el momento relativo,
- ,
que se sigue de tomar el producto escalar de cualquier ecuación con . De las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ), este momento relativo se puede escribir en términos de y como
dónde
son las proyecciones de los momentos y a lo largo de la dirección del impulso total . Restando las dos restricciones y , da
( 3 )
Así en estos estados
- .
La ecuacion describe tanto el movimiento cm como el movimiento relativo interno. Para caracterizar el primer movimiento, observe que dado que el potencial depende solo de la diferencia de las dos coordenadas
- .
(Esto no requiere que desde el .) Por lo tanto, el impulso total es una constante de movimiento y es un estado propio caracterizado por un impulso total . En el sistema cm con el centro invariante de la energía del impulso (cm). Por lo tanto
( 4 )
y entonces es también un estado propio de operadores de energía cm para cada una de las dos partículas,
- .
El impulso relativo entonces satisface
- ,
así que eso
- ,
- ,
El conjunto de ecuaciones anterior se deriva de las restricciones y la definición de los momentos relativos dada en las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ). Si, en cambio, se elige definir (para una elección más general, ver Horwitz), [28]
independiente de la función de onda, entonces
( 5 )
( 6 )
y es sencillo mostrar que la restricción Ec. ( 3 ) conduce directamente a
( 7 )
en lugar de . Esto concuerda con la afirmación anterior sobre la desaparición de la energía relativa en el marco de cm hecha junto con el TBDE. \ En la segunda opción, el valor de cm de la energía relativa no se define como cero, sino que proviene de las restricciones de capa de masa generalizadas originales. . Las ecuaciones anteriores para los cuatro momentos relativos y constituyentes son los análogos relativistas de las ecuaciones no relativistas.
- ,
- ,
- .
Ecuación de valor propio covariante para el movimiento interno
Usando las ecuaciones ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), uno puede escribir en términos de y
( 8 )
dónde
La ecuación ( 8 ) contiene tanto la cantidad de movimiento total [a través de ] y el impulso relativo . Usando la ecuación. ( 4 ), se obtiene la ecuación de valor propio
( 9 )
así que eso se convierte en la función de triángulo estándar que muestra la cinemática relativista exacta de dos cuerpos:
Con las ecuaciones de restricción anteriores ( 7 ) en luego dónde . Esto permite escribir la ecuación. ( 9 ) en forma de una ecuación de valor propio
que tiene una estructura muy similar a la de la ecuación tridimensional ordinaria no relativista de Schrödinger. Es una ecuación manifiestamente covariante, pero al mismo tiempo su estructura tridimensional es evidente. Los cuatro vectores y tienen solo tres componentes independientes ya que
La similitud con la estructura tridimensional de la ecuación de Schrödinger no relativista se puede hacer más explícita escribiendo la ecuación en el marco cm en el que
- ,
- ,
- .
Comparación de la forma resultante
( 10 )
con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
( 11 )
hace explícita esta similitud.
Las ecuaciones relativistas de Klein-Gordon de dos cuerpos
Una estructura plausible para el cuasipotencial se puede encontrar observando que la ecuación de Klein-Gordon de un cuerpo toma la forma cuando se introduce una interacción escalar y una interacción vectorial temporal a través de y . En el caso de dos cuerpos, los argumentos clásicos [29] [30] y de la teoría cuántica de campos [4] separados muestran que cuando se incluyen las interacciones escalares mundiales y vectoriales, entonces depende de dos funciones invariantes subyacentes y a través de la forma potencial de dos cuerpos tipo Klein-Gordon con la misma estructura general, es decir
Esas teorías de campo producen además las formas dependientes de energía cm
y
los que Tododov introdujo como la masa reducida relativista y la energía de partículas efectiva para un sistema de dos cuerpos. Similar a lo que sucede en el problema de dos cuerpos no relativista, en el caso relativista tenemos el movimiento de esta partícula efectiva que tiene lugar como si estuviera en un campo externo (aquí generado por y ). Las dos variables cinemáticas y están relacionados entre sí por la condición de Einstein
Si se introducen los cuatro vectores, incluida una interacción vectorial
e interacción escalar , entonces la siguiente forma de restricción mínima clásica
reproduce
( 12 )
Observe que la interacción en esta restricción de "partícula reducida" depende de dos escalares invariantes, y , uno que guía la interacción de vector similar al tiempo y otro la interacción escalar.
¿Existe un conjunto de ecuaciones de Klein-Gordon de dos cuerpos análogo a las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos? Las restricciones relativistas clásicas análogas a las ecuaciones cuánticas de Dirac de dos cuerpos (discutidas en la introducción) y que tienen la misma estructura que la forma de un cuerpo de Klein-Gordon anterior son
Definición de estructuras que muestran interacciones escalares y vectoriales similares al tiempo
da
Imponente
y usando la restricción , reproduce las ecuaciones ( 12 ) proporcionadas
Las ecuaciones de Klein-Gordon correspondientes son
y cada uno, debido a la restricción es equivalente a
Forma de campo hiperbólico versus externo de las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos
Para el sistema de dos cuerpos existen numerosas formas covariantes de interacción. La forma más sencilla de verlos es desde el punto de vista de las estructuras de la matriz gamma de los vértices de interacción correspondientes de los diagramas de intercambio de una sola parálisis. Para intercambios escalares, pseudoescalares, vectoriales, pseudovectores y tensoriales, esas estructuras matriciales son respectivamente
en el cual
La forma de las ecuaciones de Dirac de dos cuerpos que incorpora más fácilmente todas o cualquier número de estas interacciones en conjunto es la forma llamada hiperbólica del TBDE. [31] Para las interacciones escalares y vectoriales combinadas, esas formas finalmente se reducen a las dadas en el primer conjunto de ecuaciones de este artículo. Esas ecuaciones se denominan formas de campo externo porque sus apariencias son individualmente las mismas que las de la ecuación de Dirac de un cuerpo habitual en presencia de vectores externos y campos escalares.
La forma hiperbólica más general para TBDE compatible es
( 13 )
dónde representa cualquier interacción invariante individualmente o en combinación. Tiene una estructura matricial además de la dependencia de coordenadas. Dependiendo de cuál sea la estructura de la matriz, uno tiene interacciones escalares, pseudoescalares, vectoriales, pseudovectores o tensoriales. Los operadores y ¿Las restricciones auxiliares satisfacen
( 14 )
en el que la son los operadores libres de Dirac
( 15 )
Esto, a su vez, conduce a las dos condiciones de compatibilidad.
y
siempre que Estas condiciones de compatibilidad no restringen la estructura de la matriz gamma de . Esa estructura matricial está determinada por el tipo de estructura vértice-vértice incorporada en la interacción. Para los dos tipos de interacciones invariantes enfatizado en este artículo son
Para interacciones escalares y vectoriales independientes generales
La interacción del vector especificada por la estructura de matriz anterior para una interacción de tipo electromagnético correspondería al indicador de Feynman.
Si uno inserta la ecuación ( 14 ) en ( 13 ) y trae el operador de Dirac libre ( 15 ) a la derecha de las funciones hiperbólicas de la matriz y usa conmutadores y anticonmutadores de matriz gamma estándar y uno llega a
( 16 )
en el cual
La estructura (covariante) de estas ecuaciones es análoga a las de una ecuación de Dirac para cada una de las dos partículas, con y interpretando los roles que y hacer en la ecuación de Dirac de una sola partícula
Más allá de la parte cinética habitual y porciones de potencial escalar y vector similar al tiempo, las modificaciones dependientes del espín y el último conjunto de términos derivados son efectos de retroceso de dos cuerpos ausentes para la ecuación de Dirac de un cuerpo, pero esenciales para la compatibilidad (consistencia) de las ecuaciones de dos cuerpos. Las conexiones entre lo que se designa como invariantes de vértice y los potenciales de masa y energía están
Al comparar la ecuación ( 16 ) con la primera ecuación de este artículo, se encuentra que las interacciones de vectores dependientes de espín son
Tenga en cuenta que la primera parte de los potenciales vectoriales es temporal (paralela a mientras que la siguiente parte es similar a un espacio (perpendicular a . Los potenciales escalares dependientes del espín están
La parametrización para y aprovecha las formas potenciales externas efectivas de Todorov (como se ve en la sección anterior sobre las ecuaciones de Klein Gordon de dos cuerpos) y al mismo tiempo muestra la forma límite estática correcta para la reducción de Pauli a la forma similar a Schrödinger. La elección de estas parametrizaciones (como con las ecuaciones de Klein Gordon de dos cuerpos) está estrechamente ligada a las teorías de campo clásicas o cuánticas para interacciones escalares y vectoriales separadas. Esto equivale a trabajar en el medidor de Feynman con la relación más simple entre las partes espaciales y temporales de la interacción vectorial. Los potenciales de masa y energía son respectivamente
así que eso
Aplicaciones y limitaciones
El TBDE se puede aplicar fácilmente a dos sistemas corporales, como el positronio , el muonio , átomos similares al hidrógeno , el quarkonio y el sistema de dos nucleones . [32] [33] [34] Estas aplicaciones involucran solo dos partículas y no involucran la creación o aniquilación de partículas más allá de las dos. Implican solo procesos elásticos. Debido a la conexión entre los potenciales usados en el TBDE y la teoría cuántica de campo correspondiente, cualquier corrección radiativa a la interacción de orden más bajo puede incorporarse a esos potenciales. Para ver cómo ocurre esto, considere, por el contrario, cómo se calculan las amplitudes de dispersión sin la teoría cuántica de campos. Sin una teoría cuántica de campos, uno debe encontrar los potenciales mediante argumentos clásicos o consideraciones fenomenológicas. Una vez que uno tiene el potencial entre dos partículas, entonces se puede calcular la amplitud de dispersión de la ecuación de Lippmann-Schwinger [35]
- ,
en el cual es una función de Green determinada a partir de la ecuación de Schrödinger. Debido a la similitud entre la ecuación de Schrödinger Eq. ( 11 ) y la ecuación de restricción relativista ( 10 ), se puede derivar el mismo tipo de ecuación que la anterior
- ,
llamada la ecuación cuasipotencial con un muy similar a la dada en la ecuación de Lippmann-Schwinger. La diferencia es que con la ecuación cuasipotencial, uno comienza con las amplitudes de dispersiónde la teoría cuántica de campos, determinada a partir de los diagramas de Feynman y deduce el cuasipotencial Φ perturbativamente. Entonces uno puede usar ese Φ en ( 10 ), para calcular los niveles de energía de dos sistemas de partículas que están implícitos en la teoría de campo. La dinámica de restricción proporciona uno de los muchos, de hecho un número infinito de tipos diferentes de ecuaciones cuasipotenciales (truncamientos tridimensionales de la ecuación de Bethe-Salpeter) que difieren entre sí por la elección de. [36] La solución relativamente simple al problema del tiempo relativo y la energía de la restricción de capa de masa generalizada para dos partículas, no tiene una extensión simple, como se presenta aquí con elvariable, a dos partículas en un campo externo [37] oa 3 o más partículas. Sazdjian ha presentado una receta para esta extensión cuando las partículas están confinadas y no pueden dividirse en grupos de un número menor de partículas sin interacciones entre grupos [38] Lusanna ha desarrollado un enfoque, uno que no implica restricciones de capa de masa generalizadas sin tales restricciones, que se extiende a N cuerpos con o sin campos. Se formula en hipersuperficies espaciales y cuando se restringe a la familia de hiperplanos ortogonales al impulso temporal total da lugar a una formulación covariante intrínseca de 1 tiempo (sin variables de tiempo relativas) llamada "forma instantánea de marco de reposo" de dinámica, [ 39] [40]
Ver también
- Ecuación de Breit
- 4 vectores
- Ecuación de Dirac
- Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico
- Operador de Dirac
- Electromagnetismo
- Impulso cinético
- Muchos problemas corporales
- Masa invariante
- Partículas fisicas
- Positronio
- Cálculo de Ricci
- Relatividad especial
- Girar
- Entrelazamiento cuántico
- Mecánica cuántica relativista
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