Los tensores de dos puntos , o vectores dobles , son cantidades de tipo tensor que se transforman como vectores euclidianos con respecto a cada uno de sus índices y se utilizan en la mecánica del continuo para transformarse entre coordenadas de referencia ("material") y presentes ("configuración"). [1] Los ejemplos incluyen el gradiente de deformación y el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff .
Como ocurre con muchas aplicaciones de tensores, la notación sumatoria de Einstein se usa con frecuencia. Para aclarar esta notación, los índices de capital se utilizan a menudo para indicar las coordenadas de referencia y minúsculas para las coordenadas actuales. Por tanto, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, A jM .
Mecánica de Medios Continuos
Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas. Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma los vectores de un sistema de coordenadas a otro. Es decir, un tensor convencional,
- ,
transforma activamente un vector u en un vector v tal que
donde v y u se miden en el mismo espacio y la representación de sus coordenadas es con respecto a la misma base (denotado por la " e ").
En contraste, un tensor de dos puntos, G se escribirá como
y transformará un vector, U , en el sistema E en un vector, v , en el sistema e como
- .
La ley de transformación para el tensor de dos puntos
Suponga que tenemos dos sistemas de coordenadas, uno con ceba y otro sin cebar y los componentes de un vector se transforman entre ellos
- .
Para los tensores supongamos que tenemos
- .
Un tensor en el sistema . En otro sistema, dejemos que el mismo tensor sea dado por
- .
Podemos decir
- .
Luego
es la transformación tensorial de rutina. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es solo
que se transforma como
- .
El ejemplo más mundano de un tensor de dos puntos
El ejemplo más mundano de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en la discusión anterior. Tenga en cuenta que
- .
Ahora, escribiendo en su totalidad,
y también
- .
Esto entonces requiere que Q sea de la forma
- .
Por definición de producto tensorial ,
( 1 )
Para que podamos escribir
Por lo tanto
Incorporando ( 1 ), tenemos
- .
En la siguiente ecuación (1) hay cuatro q's!?
Ver también
Referencias
- ^ Humphrey, Jay D. Mecánica sólida cardiovascular: células, tejidos y órganos. Springer Verlag, 2002.