En geometría , el teorema de las dos orejas establece que cada polígono simple con más de tres vértices tiene al menos dos orejas , vértices que se pueden eliminar del polígono sin introducir cruces. El teorema de las dos orejas equivale a la existencia de triangulaciones poligonales . Con frecuencia se atribuye a Gary H. Meisters, pero Max Dehn lo demostró antes .
Declaración del teorema
Una oreja de un polígono se define como un vértice v tal que el segmento de línea entre los dos vecinos de v se encuentra completamente en el interior del polígono. El teorema de las dos orejas establece que todo polígono simple tiene al menos dos orejas.
Orejas de triangulaciones
Una oreja y sus dos vecinos forman un triángulo dentro del polígono que no está atravesado por ninguna otra parte del polígono. La eliminación de un triángulo de este tipo produce un polígono con menos lados, y la eliminación repetida de las orejas permite triangular cualquier polígono simple .
Por el contrario, si se triangula un polígono, el dual débil de la triangulación (un gráfico con un vértice por triángulo y un borde por par de triángulos adyacentes) será un árbol y cada hoja del árbol formará una oreja. Dado que cada árbol con más de un vértice tiene al menos dos hojas, cada polígono triangulado con más de un triángulo tiene al menos dos espigas. Por tanto, el teorema de las dos orejas equivale al hecho de que todo polígono simple tiene una triangulación. [1]
Tipos relacionados de vértice
Una oreja se llama expuesta cuando forma un vértice del casco convexo del polígono. Sin embargo, es posible que un polígono no tenga orejas expuestas. [2]
Las orejas son un caso especial de un vértice principal , un vértice tal que el segmento de línea que conecta a los vecinos del vértice no cruza el polígono ni toca ningún otro vértice del mismo. Un vértice principal para el cual este segmento de línea se encuentra fuera del polígono se llama boca . De manera análoga al teorema de las dos orejas, cada polígono simple no convexo tiene al menos una boca. Los polígonos con el número mínimo de vértices principales de ambos tipos, dos orejas y una boca, se denominan polígonos antropomórficos . [3]
Historia y prueba
El teorema de los dos oídos se atribuye a menudo a un artículo de 1975 de Gary H. Meisters, del que se originó la terminología "oído". [4] Sin embargo, el teorema fue probado anteriormente por Max Dehn (alrededor de 1899) como parte de una demostración del teorema de la curva de Jordan . Para probar el teorema, Dehn observa que cada polígono tiene al menos tres vértices convexos. Si uno de estos vértices, v , no es una oreja, entonces puede estar conectado por una diagonal a otro vértice x dentro del triángulo uvw formado por v y sus dos vecinos; x puede elegirse como el vértice dentro de este triángulo que está más alejado de la línea uw . Esta diagonal descompone el polígono en dos polígonos más pequeños, y la descomposición repetida por orejas y diagonales eventualmente produce una triangulación de todo el polígono, a partir de la cual se puede encontrar una oreja como una hoja del árbol dual. [5]
Referencias
- ^ O'Rourke, Joseph (1987), Teoremas y algoritmos de la galería de arte , Serie internacional de monografías sobre informática, Oxford University Press, ISBN 0-19-503965-3, MR 0921437.
- ^ Meisters, GH (1980), "Principales vértices, puntos expuestos y orejas", American Mathematical Monthly , 87 (4): 284-285, doi : 10.2307 / 2321563 , JSTOR 2321563 , MR 0567710.
- ^ Toussaint, Godfried (1991), "Anthropomorphic polygons", American Mathematical Monthly , 98 (1): 31–35, doi : 10.2307 / 2324033 , JSTOR 2324033 , MR 1083611.
- ^ Meisters, GH (1975), "Los polígonos tienen orejas", American Mathematical Monthly , 82 (6): 648–651, doi : 10.2307 / 2319703 , JSTOR 2319703 , MR 0367792.
- ^ Guggenheimer, H. (1977), "El teorema de la curva de Jordan y un manuscrito inédito de Max Dehn" (PDF) , Archive for History of Exact Sciences , 17 (2): 193-200, doi : 10.1007 / BF02464980 , JSTOR 41133486 , Señor 0532231.
enlaces externos
- Teorema de las dos orejas de los maestros , cortar el nudo
- El teorema de las dos orejas , Godfried Toussaint
- Weisstein, Eric W. , "Teorema de las dos orejas" , MathWorld