En matemáticas , una matriz unistocástica (también llamada estocástica unitaria ) es una matriz doblemente estocástica cuyas entradas son los cuadrados de los valores absolutos de las entradas de alguna matriz unitaria .
Una matriz cuadrada B de tamaño n es doblemente estocástica (o bistocástica ) si todas sus entradas son números reales no negativos y cada una de sus filas y columnas suman 1. Es unistocástica si existe una matriz unitaria U tal que
Esta definición es análoga a la de una matriz ortostocástica , que es una matriz doblemente estocástica cuyas entradas son los cuadrados de las entradas en alguna matriz ortogonal . Dado que todas las matrices ortogonales son necesariamente matrices unitarias, todas las matrices ortostocásticas también son unistocásticas. Sin embargo, lo contrario no es cierto. En primer lugar, todas las matrices doblemente estocásticas 2-por-2 son ambos unistochastic y orthostochastic , pero para mayor n este no es el caso. Por ejemplo, tome y considere la siguiente matriz doblemente estocástica:
Esta matriz no es unistocástica, ya que dos vectores cualesquiera con módulos iguales a la raíz cuadrada de las entradas de dos columnas (o filas) de B no pueden hacerse ortogonales mediante una elección adecuada de fases. Para, el conjunto de matrices ortostocásticas es un subconjunto propio del conjunto de matrices unistocásticas.
- el conjunto de matrices unistocásticas contiene todas las matrices de permutación y su casco convexo es el politopo de Birkhoff de todas las matrices doblemente estocásticas
- por este conjunto no es convexo
- por el conjunto de la desigualdad triangular en los módulos de la materia prima es una condición suficiente y necesaria para la unistocasticidad [1]
- por el conjunto de matrices unistocásticas tiene forma de estrella y la unistocasticidad de cualquier matriz bistocástica B está implícita en un valor no negativo de su invariante Jarlskog [2]
- por el volumen relativo del conjunto de matrices unistocásticas con respecto al politopo de Birkhoff de matrices doblemente estocásticas es [3]
- por Las condiciones explícitas para la unistocasticidad aún no se conocen, pero existe un método numérico para verificar la unistocasticidad basado en el algoritmo de Haagerup [4]
- El teorema de Schur-Horn es equivalente a la siguiente propiedad de "convexidad débil" del conjunto de unistocástico matrices: para cualquier vector el conjunto es el casco convexo del conjunto de vectores obtenido por todas las permutaciones de las entradas del vector (el politopo de permutación generado por el vector ).
- El conjunto de matrices unistocásticas tiene un interior no vacío. La matriz unistocástica correspondiente a la unitaria matriz con las entradas , dónde y , es un punto interior de .
Referencias
- ↑ Fedullo, A. (1 de diciembre de 1992). "Sobre la existencia de un modelo de espacio de Hilbert para observables de valor finito". Nuovo Cimento B Il . Saltador. 107 (12): 1413–1426. doi : 10.1007 / BF02722852 . ISSN 1826-9877 .
- ^ Jarlskog, C. (2 de septiembre de 1985). "Conmutador de las matrices de masa de Quark en el modelo estándar electrodébil y una medida de no conservación de CP máxima". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 55 (10): 1039–1042. doi : 10.1103 / physrevlett.55.1039 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Dunkl, Charles; Życzkowski, Karol (2009). "Volumen del conjunto de matrices unistocásticas de orden 3 y el invariante Jarlskog medio". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 50 (12): 123521. arXiv : 0909.0116 . doi : 10.1063 / 1.3272543 . ISSN 0022-2488 .
- ^ Rajchel, Grzegorz; Gąsiorowski, Adam; Życzkowski, Karol (19 de septiembre de 2018). "Matrices robustas de Hadamard, rayos unistocásticos en Birkhoff Polytope y Bases Equi-Entangled en espacios compuestos" . Matemáticas en Informática . Springer Science and Business Media LLC. 12 (4): 473–490. arXiv : 1804.10715 . doi : 10.1007 / s11786-018-0384-y . ISSN 1661-8270 .
- Bengtsson, Ingemar; Ericsson, Åsa; Kuś, Marek; Tadej, Wojciech; Życzkowski, Karol (2005), "Birkhoff's Polytope and Unistochastic Matrices, N = 3 and N = 4", Communications in Mathematical Physics , 259 (2): 307–324, arXiv : math / 0402325 , Bibcode : 2005CMaPh.259 .. 307B , doi : 10.1007 / s00220-005-1392-8.
- Bengtsson, Ingemar (11 de marzo de 2004). "La importancia de ser antiestático". arXiv : quant-ph / 0403088 .
- Karabegov, Alexander (14 de junio de 2008). "Un mapeo de lo unitario a matrices y símbolos doblemente estocásticos en un conjunto finito". arXiv : 0806.2357 .