Subconjunto

Diagrama de Euler que muestra
A es un subconjunto propio de B , A ⊂ B , y por el contrario B es un superconjunto adecuada de A .

En matemáticas , un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B ; B es entonces un superconjunto de A . Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B . La relación de que un conjunto es un subconjunto de otro se denomina inclusión (o, a veces, contención ). A es un subconjunto de Btambién se puede expresar como B incluye (o contiene) A o A está incluido (o contenido) en B .

La relación de subconjunto define un orden parcial en los conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra booleana bajo la relación de subconjunto, en la que la unión y el encuentro están dados por intersección y unión , y la relación de subconjunto en sí es la relación de inclusión booleana .

Definiciones [ editar ]

Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también un elemento de B , entonces:

A es un subconjunto de B , denotado por o equivalentemente ${\ Displaystyle A \ subseteq B,}$
B es un superconjunto de A , denotado por ^[1] ${\ Displaystyle B \ supseteq A.}$

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir , existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:

A es un subconjunto adecuado (o estricto ) de B , indicado por (o ^[1]^[^{¿informe circular?}^]^[2]^[se^{necesita una mejor fuente}^] ). O equivalente, ${\ Displaystyle A \ subsetneq B}$ ${\ Displaystyle A \ subconjunto B}$
B es un superconjunto apropiado (o estricto ) de A , denotado por (o ^[1]^[^{informe circular?}^] ). ${\ Displaystyle B \ supsetneq A}$ ${\ Displaystyle B \ supset A}$
El conjunto vacío , escrito {} o ∅, es un subconjunto de cualquier conjunto X y un subconjunto adecuado de cualquier conjunto excepto él mismo.

Para cualquier conjunto S , la relación de inclusión ⊆ es un orden parcial en el conjunto (el conjunto de potencias de S , el conjunto de todos los subconjuntos de S ^[3] ) definido por . También podemos ordenar parcialmente por inclusión de conjuntos inversos definiendo ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ ${\ Displaystyle A \ leq B \ iff A \ subseteq B}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ ${\ Displaystyle A \ leq B \ iff B \ subseteq A.}$

Cuando se cuantifica, $A \subseteq B$ se representa como $\forall x (x \in A \to x \in B)$ . ^[4]

Podemos probar el enunciado $A \subseteq B$ aplicando una técnica de prueba conocida como argumento del elemento ^[5] :

Dejemos que se den los conjuntos A y B. Para demostrar que $A \subseteq B$ ,
Supongamos que a es un elemento de A particular pero arbitrariamente elegido ,
muestran que una es un elemento de B .

La validez de esta técnica puede verse como una consecuencia de la generalización universal : la técnica muestra $c \in A \to c \in B$ para un elemento c elegido arbitrariamente . La generalización universal implica entonces $\forall x (x \in A \to x \in B)$ , que es equivalente a $A \subseteq B$ , como se indicó anteriormente.

Propiedades [ editar ]

Un conjunto A es un subconjunto de B si y solo si su intersección es igual a A.

Formalmente:

{\ Displaystyle A \ subseteq B \ Leftrightarrow A \ cap B = A.}

Un conjunto A es un subconjunto de B si y solo si su unión es igual a B.

Formalmente:

{\ Displaystyle A \ subseteq B \ Leftrightarrow A \ cup B = B.}

Un conjunto finito A es un subconjunto de B , si y solo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de A.

Formalmente:

{\ Displaystyle A \ subseteq B \ Leftrightarrow | A \ cap B | = | A |.}

Símbolos ⊂ y [[ editar ]

Algunos autores usan los símbolos ⊂ y ⊃ para indicar subconjunto y superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado y en lugar de los símbolos, ⊆ y ⊇. ^[6] Por ejemplo, para estos autores, es cierto de cada conjunto A que A ⊂ A .

Otros autores prefieren usar los símbolos ⊂ y ⊃ para indicar el subconjunto adecuado (también llamado estricto) y el superconjunto adecuado, respectivamente; es decir, con el mismo significado y en lugar de los símbolos, ⊊ y ⊋. ^[7]^[1] Este uso hace que ⊆ y ⊂ sean análogos a los símbolos de desigualdad ≤ y <. Por ejemplo, si x ≤ y , entonces x puede o no ser igual a y , pero si x < y , entonces x definitivamente no es igual a y , y es menor que y . De manera similar, usando la convención de que ⊂ es un subconjunto adecuado, siA ⊆ B , entonces A puede o puede no ser igual B , pero si A ⊂ B , entonces A definitivamente no es igual a B .

Ejemplos de subconjuntos [ editar ]

Los polígonos regulares forman un subconjunto de los polígonos

El conjunto A = {1, 2} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3}, por lo que ambas expresiones A ⊆ B y A ⊊ B son verdaderas.
El conjunto D = {1, 2, 3} es un subconjunto (pero no un subconjunto propio) de E = {1, 2, 3}, por lo que D ⊆ E es verdadero y D ⊊ E no es verdadero (falso).
Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo, pero no un subconjunto adecuado. (X ⊆ X es verdadero y X ⊊ X es falso para cualquier conjunto X.)
El conjunto { x : x es un número primo mayor que 10} es un subconjunto propio de { x : x es un número impar mayor que 10}
El conjunto de números naturales es un subconjunto propio del conjunto de números racionales ; del mismo modo, el conjunto de puntos en un segmento de línea es un subconjunto propio del conjunto de puntos en una línea . Estos son dos ejemplos en los que tanto el subconjunto como el conjunto completo son infinitos, y el subconjunto tiene la misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, es decir, el número de elementos, de un conjunto finito) como el conjunto; tales casos pueden ir en contra de la intuición inicial.
El conjunto de números racionales es un subconjunto propio del conjunto de números reales . En este ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero el último conjunto tiene una cardinalidad (o potencia ) mayor que el primero.

Otro ejemplo en un diagrama de Euler :

A es un subconjunto propio de B
C es un subconjunto pero no un subconjunto adecuado de B

Otras propiedades de la inclusión [ editar ]

A ⊆ B y B ⊆ C implica A ⊆ C

La inclusión es el orden canónico parcial , en el sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado ( X , ) es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo simple: si cada ordinal n se identifica con el conjunto [ n ] de todos los ordinales menores o iguales an , entonces a ≤ b si y solo si [ a ] ⊆ [ b ]. ${\ Displaystyle \ preceq}$

Para el conjunto de potencias de un conjunto S , el orden parcial de inclusión es, hasta un isomorfismo de orden , el producto cartesiano de k = | S | (la cardinalidad de S ) copias del orden parcial en {0,1} para las cuales 0 <1. Esto se puede ilustrar enumerando S = { s ₁ , s ₂ , ..., s _k }, y asociando con cada subconjunto T ⊆ S (es decir, cada elemento de 2 ^S ) el k -tupla de {0,1} ^k , de los cuales el ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ i ésimo de coordenadas es 1 si y sólo si s _i es miembro de T .

Ver también [ editar ]

Orden de inclusión
Región
Problema de suma de subconjuntos
Contención subsuntiva
Subconjunto total

Referencias [ editar ]

^ a b c d "Lista completa de símbolos de la teoría de conjuntos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-11 . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
^ "Introducción a los conjuntos" . www.mathsisfun.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
^ Weisstein, Eric W. "Subconjunto" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
^ Rosen, Kenneth H. (2012). Matemáticas discretas y sus aplicaciones (7ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Epp, Susanna S. (2011). Matemáticas discretas con aplicaciones (Cuarta ed.). pag. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
^ Subconjuntos y subconjuntos adecuados (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 23 de enero de 2013 , consultado el 7 de septiembre de 2012

Bibliografía [ editar ]

Jech, Thomas (2002). Establecer teoría . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Enlaces externos [ editar ]

Medios relacionados con subconjuntos en Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Subconjunto" . MathWorld .

[:0-1] "Lista completa de símbolos de la teoría de conjuntos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-11 . Consultado el 23 de agosto de 2020 .

[2] "Introducción a los conjuntos" . www.mathsisfun.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .

[3] Weisstein, Eric W. "Subconjunto" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .

[4] Rosen, Kenneth H. (2012). Matemáticas discretas y sus aplicaciones (7ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5.

[5] Epp, Susanna S. (2011). Matemáticas discretas con aplicaciones (Cuarta ed.). pag. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.

[6] Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157

[7] Subconjuntos y subconjuntos adecuados (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 23 de enero de 2013 , consultado el 7 de septiembre de 2012

[1]

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