En matemáticas , un número natural una es un divisor unitario (o Salón divisor ) de un número b si una es un divisor de b y si una yson coprimos y no tienen un factor común distinto de 1. Por lo tanto, 5 es un divisor unitario de 60, porque 5 ytienen solo 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor pero no un divisor unitario de 60, ya que 6 y tienen un factor común distinto de 1, a saber, 2. 1 es un divisor unitario de todo número natural.
De manera equivalente, un divisor dado a de b es un divisor unitario si y solo si cada factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a que en b .
La función de suma de divisores unitarios se denota mediante la letra griega minúscula sigma así: σ * ( n ). La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ * k ( n ):
Si los divisores unitarios propios de un número dado se suman a ese número, entonces ese número se llama un número perfecto unitario .
Propiedades
El número de divisores unitarios de un número n es 2 k , donde k es el número de factores primos distintos de n .
Esto se debe a que cada entero N> 1 es el producto de potencias positivas p r p de distintos números primos p. Así, cada divisor unitario de N es el producto, sobre un subconjunto dado S de los divisores primos {p} de N, de los poderes primos p r p para p ∈ S. Si hay k divisores primos, entonces hay exactamente 2 k subconjuntos S, y la declaración sigue.
La suma de los divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluido 1), e incluso en caso contrario.
Tanto la cuenta como la suma de los divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es
Todo divisor de n es unitario si y solo si n es libre de cuadrados .
Divisores unitarios impares
La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios impares es
También es multiplicativo, con función generadora de Dirichlet
Divisores bi-unitarios
Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el mayor divisor unitaria común de d y n / d es 1. El número de divisores bi-unitarias de n es una función multiplicativa de n con el fin promedio donde [1]
Un número perfecto bi-unitario es uno igual a la suma de sus divisores alícuotas bi-unitarios. Los únicos números de este tipo son 6, 60 y 90. [2]
Secuencias OEIS
Referencias
- Richard K. Guy (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . pag. 84. ISBN 0-387-20860-7. Sección B3.
- Paulo Ribenboim (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Springer-Verlag. pag. 352. ISBN 0-387-98911-0.
- Cohen, Eckford (1959). "Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius" . Pacific J. Math . 9 (1): 13-23. doi : 10.2140 / pjm.1959.9.13 . Señor 0109806 .
- Cohen, Eckford (1960). "Funciones aritméticas asociadas a los divisores unitarios de un número entero". Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi : 10.1007 / BF01180473 . Señor 0112861 .
- Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un entero". American Mathematical Monthly . 67 (9): 879–880. doi : 10.2307 / 2309455 . JSTOR 2309455 . Señor 0122790 .
- Cohen, Graeme L. (1990). "En divisores infinitarios de números enteros" . Matemáticas. Comp . 54 (189): 395–411. Código Bibliográfico : 1990MaCom..54..395C . doi : 10.1090 / S0025-5718-1990-0993927-5 . Señor 0993927 .
- Cohen, Graeme L. (1993). "Funciones aritméticas asociadas a divisores infinitarios de un entero" . En t. J. Math. Matemáticas. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155 / S0161171293000456 .
- Finch, Steven (2004). "Unitarismo e infinitarismo" (PDF) .
- Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Una publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc .: John Wiley & Sons. pag. 395. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026 .
- Mathar, RJ (2011). "Estudio de la serie de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [ math.NT ]. Sección 4.2
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .
- Toth, L. (2009). "Sobre los análogos bi-unitarios de la función aritmética de Euler y la función de suma mcd" . J. Int. Seq . 12 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Divisor unitario" . MathWorld .