Factoriales descendentes y ascendentes
En matemáticas , el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente , [1] producto secuencial descendente o factorial inferior ) se define como el polinomio
El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer , polinomio de Pochhammer , factorial ascendente , [1] producto secuencial ascendente o factorial superior ) se define como
El valor de cada uno se toma como 1 (un producto vacío ) cuando n = 0. Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales . [2]
El símbolo de Pochhammer , introducido por Leo August Pochhammer , es la notación ( x ) n , donde n es un número entero no negativo . Se puede representar ya sea el aumento o la caída factorial, con diferentes artículos y autores utilizan diferentes convenciones. El propio Pochhammer usó ( x ) n con otro significado, a saber, para denotar el coeficiente binomial . [3]
En este artículo, el símbolo ( x ) n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x ( n ) se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria , [4] aunque las notaciones de subrayado / sobrelineado de Knuth son cada vez más populares. [2] [5] En la teoría de funciones especiales (en particular la función hipergeométrica ) y en la obra de referencia estándar Abramowitz y Stegun , el símbolo de Pochhammer ( x ) nse utiliza para representar el factorial ascendente. [6] [7]
Cuando x es un entero positivo, ( x ) n da el número de n- permutaciones de un conjunto de elementos x , o de manera equivalente, el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño n a un conjunto de tamaño x . Además, ( x ) n es "el número de formas de organizar n banderas en x astas de bandera", [8] donde se deben usar todas las banderas y cada asta de bandera puede tener como máximo una bandera. En este contexto, otras notaciones como x P n y P ( x, n ) también se utilizan a veces.