El espacio universal de Urysohn es un cierto espacio métrico que contiene todos los espacios métricos separables de una manera particularmente agradable. Este concepto matemático se debe a Pavel Samuilovich Urysohn .
Definición
Un espacio métrico ( U , d ) se llama Urysohn universal [1] si es separable y completo y tiene la siguiente propiedad:
- dado cualquier espacio métrico finito X , cualquier punto x en X , y cualquier incrustación isométrica f : X \ { x } → U , existe una incrustación isométrica F : X → U que extiende f , es decir, tal que F ( y ) = f ( y ) para todo y en X \ { x }.
Propiedades
Si U es Urysohn universal y X es cualquier espacio métrico separable, entonces existe una inmersión isométrica f : X → U . (Otros espacios comparten esta propiedad: por ejemplo, el espacio l ∞ de todas las secuencias reales acotadas con la norma superior admite incrustaciones isométricas de todos los espacios métricos separables (" incrustación de Fréchet "), al igual que el espacio C [0,1] de todos funciones continuas [0,1] → R , nuevamente con la norma suprema, un resultado debido a Stefan Banach .)
Además, toda isometría entre subconjuntos finitos de U se extiende a una isometría de U sobre sí misma. Este tipo de "homogeneidad" caracteriza en realidad los espacios universales de Urysohn: Un espacio métrico completo separable que contiene una imagen isométrica de cada espacio métrico separable es Urysohn universal si y sólo si es homogéneo en este sentido.
Existencia y singularidad
Urysohn demostró que existe un espacio universal de Urysohn y que dos espacios universales de Urysohn son isométricos . Esto se puede ver de la siguiente manera. Llevar, dos espacios Urysohn. Estos son separables, así que fíjelos en los respectivos espacios contables subconjuntos densos. Estos deben ser propiamente infinitos, por lo que mediante un argumento de ida y vuelta, se pueden construir isometrías parciales paso a paso. cuyo dominio (resp. rango) contiene (resp. ). La unión de estos mapas define una isometría parcialcuyo dominio resp. rango son densos en los espacios respectivos. Y tales mapas se extienden (únicamente) a las isometrías, ya que se requiere que un espacio de Urysohn esté completo.
Referencias
- ^ Juha Heinonen (enero de 2003), Embeddings geométricos de espacios métricos , consultado el 6 de enero de 2009