Una dimensión fractal es un índice para caracterizar patrones o conjuntos fractales cuantificando su complejidad como una relación entre el cambio de detalle y el cambio de escala. [2] : 1 Hay varios tipos de dimensión fractal que pueden determinarse teórica y empíricamente ( ver Figura 1 ). [3] [4] Los conjuntos para los que se utilizan las dimensiones fractales provienen de un amplio espectro que va desde lo abstracto [5] [4] hasta una serie de fenómenos prácticos, incluida la turbulencia [2] : 97–104 , las redes fluviales : 247–246 , crecimiento urbano [6] [7] , fisiología humana [8] [9] , medicina [3] y tendencias del mercado [10] . La idea esencial de dimensiones "fraccionales" o "fractales" tiene una larga historia en matemáticas que se remonta al siglo XVII [2] : 19 [11] , pero el término en sí fue puesto en primer plano por el matemático Benoît Mandelbrot. quien, en 1975, acuñó los términos fractal y dimensión fractal . [12] [3] [2] [5] [13] [4] [10]
Las dimensiones fractales se aplicaron por primera vez como índice que caracterizaba ciertas formas geométricas complejas para las cuales los detalles parecían más importantes que la imagen general [12] . Para elaborar, para conjuntos que describen formas geométricas ordinarias, la dimensión fractal teórica es igual a la familiar dimensión euclidiana o topológica del conjunto . Por tanto, es 0 para conjuntos que describen puntos (conjuntos de dimensión 0); 1 para conjuntos que describen líneas (conjuntos unidimensionales que tienen longitud únicamente); 2 para conjuntos que describen superficies (conjuntos bidimensionales que tienen largo y ancho); y 3 para conjuntos que describen volúmenes (conjuntos tridimensionales que tienen largo, ancho y alto). Pero esto cambia para los conjuntos fractales. Si la dimensión fractal teórica de un conjunto excede su dimensión topológica, se considera que el conjunto tiene geometría fractal [14] . Además, a diferencia de las dimensiones topológicas, el índice fractal puede caer entre valores enteros , lo que atestigua que un conjunto llena su espacio cualitativa y cuantitativamente de manera diferente a como lo hace un conjunto geométrico ordinario. [4] [5] [13] Por ejemplo, una curva con una dimensión fractal muy cercana a 1, digamos 1,10, se comporta bastante como líneas ordinarias, pero una curva con una dimensión fractal de 1,9 serpentea enrevesadamente a través del espacio casi como una superficie; a su vez, una superficie con una dimensión fractal de 2,1 llena el espacio de forma muy parecida a las superficies ordinarias, pero una con una dimensión fractal de 2,9 se pliega y fluye para llenar el espacio casi como un volumen. [14] : 48 [15]
Se podría interpretar que la relación entre una dimensión fractal creciente y el llenado del espacio significa que las dimensiones fractales miden la densidad, pero no es así; los dos no están estrictamente correlacionados [1] . Más bien, lo que mide una dimensión fractal es la complejidad, un concepto ligado a ciertas características clave de los fractales: autosimilitud y detalle o irregularidad [16] . Estas características son evidentes en el ejemplo de curva fractal de Koch ilustrada en la Figura 2 . Es una curva con una dimensión topológica de 1, por lo que se podría esperar poder medir su longitud o pendiente , como ocurre con las líneas ordinarias. Pero no podemos hacer ninguna de estas cosas, porque la curva fractal tiene una complejidad en forma de autosemejanza y detalles de los que carecen las líneas ordinarias pero que necesariamente definen los fractales. [2] La autosemejanza radica en la escala infinita y el detalle en el elemento definitorio del conjunto de Koch. La longitud entre dos puntos cualesquiera en una curva de Koch es infinitamente inmensurable porque la curva es una construcción teórica que nunca deja de repetirse. Cada pieza más pequeña está compuesta por un número infinito de segmentos escalados que se ven exactamente como la primera iteración. De ninguna manera es una curva rectificable , lo que significa que no se puede medir dividiéndola en muchos segmentos que se aproximan a su longitud. Por lo tanto, no podemos caracterizarla encontrando su longitud o pendiente, pero podemos determinar su dimensión fractal, que resulta ser 1,2619 (ver cálculos ) , y nos dice que la curva de Koch llena el espacio un poco más que las líneas ordinarias, pero notablemente menos. que si fuera una superficie.