En matemáticas, el método de van der Corput genera estimaciones para sumas exponenciales . El método aplica dos procesos, los procesos de van der Corput A y B, que relacionan las sumas en sumas más simples que son más fáciles de estimar.
Los procesos se aplican a sumas exponenciales de la forma
donde f es una suficientemente función suave y e ( x ) denota exp (2πi x ).
Proceso A
Para aplicar el proceso A, escriba la primera diferencia f h ( x ) para f ( x + h ) - f ( x ).
Suponga que hay H ≤ b - a tal que
Luego
Proceso B
El proceso B transforma la suma que involucra a f en una que involucra una función g definida en términos de la derivada de f. Suponga que f ' es monótono y aumenta con f ' ( a ) = α, f '( b ) = β. Entonces f 'es invertible en [α, β] con la inversa u digamos. Suponga además que f '' ≥ λ> 0. Escriba
Tenemos
Al aplicar el Proceso B nuevamente a la suma que involucra g, se obtiene la suma de f y, por lo tanto, no se obtiene más información.
Pares de exponentes
El método de pares de exponentes proporciona una clase de estimaciones para funciones con una propiedad de suavidad particular. Fijar los parámetros N , R , T , s , δ. Consideramos funciones f definidas en un intervalo [ N , 2 N ] que son R veces continuamente diferenciables, satisfaciendo
uniformemente en [ a , b ] para 0 ≤ r < R .
Decimos que un par de números reales ( k , l ) con 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1 es un par exponente si para cada σ> 0 existe δ y R dependiendo de k , l , σ tal que
uniformemente en f .
Por el proceso A encontramos que si ( k , l ) es un par de exponentes, entonces también lo es. Por el Proceso B encontramos que también lo es.
Un límite trivial muestra que (0,1) es un par de exponentes.
El conjunto de pares de exponentes es convexo.
Se sabe que si ( k , l ) es un par de exponentes, entonces la función zeta de Riemann en la línea crítica satisface
dónde .
La conjetura del par de exponentes establece que para todo ε> 0, el par (ε, 1/2 + ε) es un par de exponentes. Esta conjetura implica la hipótesis de Lindelöf .
Referencias
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- Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 84 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .