Hipótesis de Riemann

Conjetura en matemáticas vinculada a la distribución de números primos

Para el término musical, consulte la teoría de Riemann .

La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica Re ( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales se pueden ver en Im ( s ) = ± 14.135, ± 21.022 y ± 25.011.

Problemas del Premio del Milenio
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer Conjetura de Hodge Existencia y suavidad de Navier-Stokes Problema de P versus NP Conjetura de Poincaré (resuelto) Hipótesis de Riemann Existencia de Yang-Mills y brecha de masa
v t mi

En matemáticas, la hipótesis de Riemann es una conjetura que la función zeta de Riemann tiene sus ceros solamente en el enteros pares negativos y los números complejos con parte real 1 / 2 . Muchos lo consideran el problema sin resolver más importante de las matemáticas puras . ^[1] Es de gran interés en la teoría de números porque implica resultados sobre la distribución de números primos . Fue propuesto por Bernhard Riemann  ( 1859 ), de quien toma su nombre.

La hipótesis de Riemann y algunas de sus generalizaciones, junto con la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos , constituyen el octavo problema de Hilbert en la lista de David Hilbert de 23 problemas no resueltos ; también es uno de los problemas del premio Millennium del Clay Mathematics Institute . El nombre también se usa para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos .

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función cuyo argumento s puede ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Tiene ceros en los enteros pares negativos; es decir, ζ ( s ) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan ceros triviales . Sin embargo, los enteros pares negativos no son los únicos valores para los que la función zeta es cero. Los otros se llaman ceros no triviales . La hipótesis de Riemann se ocupa de las ubicaciones de estos ceros no triviales y establece que:

La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es  1 / 2 .

Así, si la hipótesis es correcta, todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica que consiste de los números complejos 1 / 2 + i t , donde t es un número real y i es la unidad imaginaria .

Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann se define para complejos s con parte real mayor que 1 por la serie infinita absolutamente convergente

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Leonhard Euler ya consideró esta serie en la década de 1730 para valores reales de s, junto con su solución al problema de Basilea . También demostró que es igual al producto de Euler.

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots }$

donde el producto infinito se extiende sobre todos los números primos p . ^[2]

La hipótesis de Riemann analiza los ceros fuera de la región de convergencia de esta serie y el producto de Euler. Para dar sentido a la hipótesis, es necesario continuar analíticamente la función para obtener una forma que sea válida para todos los complejos s . Esto es permisible porque la función zeta es meromórfica , por lo que se garantiza que su continuación analítica sea formas únicas y funcionales equivalentes en sus dominios . Se comienza mostrando que la función zeta y la función eta de Dirichlet satisfacen la relación

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots .}$

Pero la serie de la derecha converge no solo cuando la parte real de s es mayor que uno, sino más generalmente siempre que s tiene una parte real positiva. Por lo tanto, esta serie alternativa extiende la función zeta de Re ( s )> 1 al dominio más grande Re ( s )> 0 , excluyendo los ceros de donde es cualquier número entero distinto de cero (consulte la función eta de Dirichlet ). La función zeta también se puede extender a estos valores tomando límites, dando un valor finito para todos los valores de s con parte real positiva excepto para el polo simple en s  = 1.${\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2}$${\displaystyle 1-2/2^{s}}$${\displaystyle n}$

En la franja 0 <Re ( s ) <1, la función zeta satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Entonces se puede definir ζ ( s ) para todos los números complejos restantes distintos de cero s ( Re ( s ) ≤ 0 y s ≠ 0) aplicando esta ecuación fuera de la tira, y dejando que ζ ( s ) sea igual al lado derecho de la ecuación siempre que s tenga una parte real no positiva (y s ≠ 0).

Si s es un entero par negativo, entonces ζ ( s ) = 0 porque el factor sin (π s / 2) desaparece; estos son los ceros triviales de la función zeta. (Si s es un entero par positivo, este argumento no se aplica porque los ceros de la función seno son cancelados por los polos de la función gamma ya que toma argumentos enteros negativos).

El valor ζ (0) = −1/2 no está determinado por la ecuación funcional, pero es el valor límite de ζ ( s ) cuando s se acerca a cero. La ecuación funcional también implica que la función zeta no tiene ceros con una parte real negativa distinta de los ceros triviales, por lo que todos los ceros no triviales se encuentran en la franja crítica donde s tiene una parte real entre 0 y 1.

Origen

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre alerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... es muy probable que todas las raíces sean reales. Por supuesto, uno desearía una prueba rigurosa aquí; Por el momento, después de algunos intentos fugaces y vanos, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de esto, ya que parece prescindible para el objetivo inmediato de mi investigación.

-  Declaración de Riemann de la hipótesis de Riemann, de ( Riemann 1859 ). (Estaba discutiendo una versión de la función zeta, modificada para que sus raíces (ceros) sean reales en lugar de estar en la línea crítica).

La motivación original de Riemann para estudiar la función zeta y sus ceros fue su aparición en su fórmula explícita para el número de primos π ( x ) menor o igual a un número dado x , que publicó en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos Menos de una magnitud dada ". Su fórmula se dio en términos de la función relacionada

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{\frac {1}{2}})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{\frac {1}{3}})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{\frac {1}{4}})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{\frac {1}{5}})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{\frac {1}{6}})+\cdots }$

que cuenta los primos y las potencias primas hasta x , contando una potencia prima p ⁿ como 1 ⁄ n . El número de primos se puede recuperar de esta función utilizando la fórmula de inversión de Möbius ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{\frac {1}{n}})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{\frac {1}{2}})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{\frac {1}{3}})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{\frac {1}{5}})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{\frac {1}{6}})-\cdots ,\end{aligned}}}$

donde μ es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}$

donde la suma está por encima de los ceros no triviales de la función zeta y donde Π ₀ es una versión ligeramente modificada de Π que reemplaza su valor en sus puntos de discontinuidad por el promedio de sus límites superior e inferior:

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

La suma en la fórmula de Riemann no es absolutamente convergente, pero puede evaluarse tomando los ceros ρ en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (no compensada) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Los términos li ( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan algo de cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen (para x  > 1) por continuación analítica en la variable compleja ρ en la región Re ( ρ )> 0, es decir, deben considerarse como Ei ( ρ log x ) . Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li ( x ) proviene del polo en s  = 1, considerado como un cero de multiplicidad -1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Para algunos gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, ver Riesel & Göhl (1970)o Zagier (1977) .

Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los primos alrededor de sus posiciones "esperadas". Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta estaban distribuidos simétricamente alrededor de la línea s = 1/2 + it , y sabía que todos sus ceros no triviales deben estar en el rango 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 . se comprobó que algunos de los ceros se echó en la línea crítica con parte real medio y sugirió que todos lo hacen; esta es la hipótesis de Riemann.

El resultado ha captado la imaginación de la mayoría de los matemáticos porque es muy inesperado y conecta dos áreas aparentemente no relacionadas en las matemáticas; es decir, la teoría de números , que es el estudio del análisis discreto y complejo , que se ocupa de los procesos continuos. ( Burton 2006 , pág. 376)

Consecuencias

Los usos prácticos de la hipótesis de Riemann incluyen muchas proposiciones que se sabe que son verdaderas bajo la hipótesis de Riemann, y algunas que pueden demostrarse que son equivalentes a la hipótesis de Riemann.

Distribución de números primos

La fórmula explícita de Riemann para el número de primos menores que un número dado en términos de una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann dice que la magnitud de las oscilaciones de los primos alrededor de su posición esperada está controlada por las partes reales de los ceros de la función zeta. En particular, el término de error en el teorema de los números primos está estrechamente relacionado con la posición de los ceros. Por ejemplo, si β es el límite superior de las partes reales de los ceros, entonces. ^[3] Ya se sabe que 1/2 ≤ β ≤ 1. ^[4]${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\left(x^{\beta }\log x\right).}$

Von Koch (1901) demostró que la hipótesis de Riemann implica el "mejor límite posible" para el error del teorema de los números primos. Una versión precisa del resultado de Koch, debido a Schoenfeld (1976) , dice que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log x,\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}$

donde π ( x ) es la función de conteo de primos y log ( x ) es el logaritmo natural de x .

Schoenfeld (1976) también mostró que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x,\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}$

donde ψ ( x ) es la segunda función de Chebyshev .

Dudek (2014) demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todos hay un primo que satisface${\displaystyle x\geq 2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

Ésta es una versión explícita de un teorema de Cramér .

Crecimiento de funciones aritméticas

La hipótesis de Riemann implica fuertes límites en el crecimiento de muchas otras funciones aritméticas , además de la función de conteo de primos anterior.

Un ejemplo involucra la función μ de Möbius . La afirmación de que la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

es válido para todo s con parte real mayor que 1/2, con la suma del lado derecho convergiendo, es equivalente a la hipótesis de Riemann. De esto también podemos concluir que si la función de Mertens está definida por

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

luego la afirmación de que

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

pues cada ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann ( JE Littlewood , 1912; ver por ejemplo: párrafo 14.25 en Titchmarsh (1986) ). (Para conocer el significado de estos símbolos, consulte la notación O grande .) El determinante de la matriz de orden n Redheffer es igual a M ( n ), por lo que la hipótesis de Riemann también puede establecerse como una condición para el crecimiento de estos determinantes. La hipótesis de Riemann establece un límite bastante estricto en el crecimiento de M , ya que Odlyzko y te Riele (1985) refutaron la conjetura de Mertens, un poco más fuerte

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

La hipótesis de Riemann es equivalente a muchas otras conjeturas sobre la tasa de crecimiento de otras funciones aritméticas además de μ ( n ). Un ejemplo típico es el teorema de Robin , ^[5] que establece que si σ ( n ) es la función divisor , dada por

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

luego

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

para todo n > 5040 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Otro ejemplo fue encontrado por Jérôme Franel y ampliado por Landau (véase Franel y Landau (1924) ). La hipótesis de Riemann es equivalente a varias afirmaciones que muestran que los términos de la secuencia de Farey son bastante regulares. Una de esas equivalencias es la siguiente: si F _n es la secuencia de Farey de orden n , comenzando con 1 / n y hasta 1/1, entonces la afirmación de que para todo ε> 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })}$

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Aquí

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\phi (i)}$

es el número de términos en la secuencia de Farey de orden n .

Para un ejemplo de la teoría de grupos , si g ( n ) es la función de Landau dada por el orden máximo de elementos del grupo simétrico S _n de grado n , entonces Massias, Nicolas y Robin (1988) demostraron que la hipótesis de Riemann es equivalente a la ligado

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todo lo suficientemente grande n .

Hipótesis de Lindelöf y crecimiento de la función zeta

La hipótesis de Riemann también tiene varias consecuencias más débiles; una es la hipótesis de Lindelöf sobre la tasa de crecimiento de la función zeta en la línea crítica, que dice que, para cualquier ε > 0,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

como .${\displaystyle t\to \infty }$

La hipótesis de Riemann también implica límites bastante marcados para la tasa de crecimiento de la función zeta en otras regiones de la franja crítica. Por ejemplo, implica que

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

por lo que la tasa de crecimiento de ζ (1+ it ) y su inversa se conocerían hasta un factor de 2. ^[6]

Conjetura de gran brecha principal

El teorema de los números primos implica que, en promedio, la brecha entre el primo py su sucesor es log  p . Sin embargo, algunas brechas entre los números primos pueden ser mucho mayores que el promedio. Cramér demostró que, asumiendo la hipótesis de Riemann, cada brecha es O ( √ p  log  p ). Este es un caso en el que incluso el mejor límite que puede probarse utilizando la hipótesis de Riemann es mucho más débil de lo que parece cierto: la conjetura de Cramér implica que cada espacio es O ((log  p ) ²), que, si bien es mayor que la brecha promedio, es mucho menor que el límite implícito en la hipótesis de Riemann. La evidencia numérica apoya la conjetura de Cramér. ^[7]

Criterios analíticos equivalentes a la hipótesis de Riemann

Se han encontrado muchas afirmaciones equivalentes a la hipótesis de Riemann, aunque hasta ahora ninguna de ellas ha conducido a mucho progreso para probarla (o refutarla). Algunos ejemplos típicos son los siguientes. (Otros involucran la función divisoria σ ( n )).

El criterio de Riesz fue dado por Riesz (1916) , en el sentido de que el límite

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

Se cumple para todo ε> 0 si y solo si se cumple la hipótesis de Riemann.

Nyman (1950) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y solo si el espacio de funciones de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

donde ρ ( z ) es la parte fraccionaria de z , 0 ≤ θ _ν ≤ 1 , y

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0}$,

es denso en el espacio de Hilbert L 2 (0,1) de funciones cuadradas integrables en el intervalo unitario. Beurling (1955) extendió esto mostrando que la función zeta no tiene ceros con una parte real mayor que 1 / p si y solo si este espacio funcional es denso en L ^p (0,1)

Salem (1953) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y solo si la ecuación integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\phi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

no tiene soluciones limitadas no triviales para .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$

El criterio de Weil es la afirmación de que la positividad de una determinada función es equivalente a la hipótesis de Riemann. Relacionado está el criterio de Li , una afirmación de que la positividad de una determinada secuencia de números es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Speiser (1934) demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que , la derivada de , no tiene ceros en la tira${\displaystyle \zeta '(s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

Que solo tenga ceros simples en la línea crítica es equivalente a que su derivada no tenga ceros en la línea crítica.${\displaystyle \zeta (s)}$

La secuencia de Farey proporciona dos equivalencias, debidas a Jerome Franel y Edmund Landau en 1924.

La constante De Bruijn-Newman denotada por Λ y nombrada en honor a Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman , se define mediante los ceros de la función

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du}$,

que usa un parámetro real λ , una variable compleja z y una función super-exponencialmente decadente definida como

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$.

Dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de H (0,  z ) son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que . Brad Rodgers y Terence Tao descubrieron que la equivalencia es en realidad al demostrar que cero es el límite inferior de la constante. ^[8] Demostrar que cero es también el límite superior, por lo tanto, probaría la hipótesis de Riemann. En abril de 2020, el límite superior es . ^[9]${\displaystyle \Lambda \leq 0}$${\displaystyle \Lambda =0}$${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$

Consecuencias de la hipótesis de Riemann generalizada

Varias aplicaciones utilizan la hipótesis de Riemann generalizada para la serie L de Dirichlet o funciones zeta de campos numéricos en lugar de solo la hipótesis de Riemann. Muchas propiedades básicas de la función zeta de Riemann se pueden generalizar fácilmente a todas las series L de Dirichlet, por lo que es plausible que un método que pruebe la hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemann también funcione para la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet. Varios resultados que se probaron primero usando la hipótesis de Riemann generalizada y luego se dieron pruebas incondicionales sin usarla, aunque por lo general eran mucho más difíciles. Muchas de las consecuencias de la siguiente lista se han tomado de Conrad (2010) .

• En 1913, Grönwall mostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la lista de campos cuadráticos imaginarios de Gauss con la clase número 1 está completa, aunque Baker, Stark y Heegner más tarde dieron pruebas incondicionales de esto sin utilizar la hipótesis de Riemann generalizada.
• En 1917, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una conjetura de Chebyshev de que

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$

que dice que los primos 3 mod 4 son más comunes que los primos 1 mod 4 en cierto sentido. (Para obtener resultados relacionados, consulte el teorema de los números primos § Raza de los números primos ).

• En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis de Riemann generalizada implica una forma débil de la conjetura de Goldbach para números impares: que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos, aunque en 1937 Vinogradov dio una prueba incondicional. En 1997 , Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que todo número impar mayor que 5 es la suma de tres primos. En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura ternaria de Goldbach sin la dependencia de GRH, sujeta a algunos cálculos extensos completados con la ayuda de David J. Platt.
• En 1934, Chowla demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que el primer primer en la progresión aritmética de un mod m es como máximo Km ² log ( m ) ² para alguna constante fijo K .
• En 1967, Hooley demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas .
• En 1973, Weinberger demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la lista de números idoneales de Euler está completa.
• Weinberger (1973) mostró que la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones zeta de todos los campos numéricos algebraicos implica que cualquier campo numérico con la clase número 1 es euclidiano o un campo numérico cuadrático imaginario de discriminante −19, −43, −67 o - 163.
• En 1976, G. Miller demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que se puede probar si un número es primo en el tiempo polinomial mediante la prueba de Miller . En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron este resultado incondicionalmente utilizando la prueba de primalidad AKS .
• Odlyzko (1990) analizó cómo se puede utilizar la hipótesis de Riemann generalizada para obtener estimaciones más precisas de discriminantes y números de clase de campos numéricos.
• Ono y Soundararajan (1997) demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la forma cuadrática integral de Ramanujan x ² + y ² + 10 z ² representa todos los enteros que representa localmente, con exactamente 18 excepciones.

Medio excluido

Algunas consecuencias de la RH son también consecuencias de su negación y, por tanto, son teoremas. En su discusión del teorema de Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn , Ireland & Rosen (1990 , p. 359) dicen

El método de prueba aquí es realmente asombroso. Si la hipótesis de Riemann generalizada es verdadera, entonces el teorema es verdadero. Si la hipótesis de Riemann generalizada es falsa, entonces el teorema es verdadero. Por lo tanto, ¡el teorema es verdadero! (puntuación en el original)

Se debe tener cuidado de comprender lo que se quiere decir cuando se dice que la hipótesis de Riemann generalizada es falsa: se debe especificar exactamente qué clase de serie de Dirichlet tiene un contraejemplo.

Teorema de littlewood

Esto se refiere al signo del error en el teorema de los números primos . Se ha calculado que π ( x ) <li ( x ) para todo x ≤ 10 ²⁵ (ver esta tabla ), y no se conoce ningún valor de x para el cual π ( x )> li ( x ).

En 1914, Littlewood demostró que existen valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

y que también hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Por tanto, la diferencia π ( x ) - li ( x ) cambia de signo infinitamente muchas veces. El número de sesgos es una estimación del valor de x correspondiente al primer cambio de signo.

La demostración de Littlewood se divide en dos casos: la RH se asume falsa (aproximadamente media página de Ingham 1932 , Cap. V), y la RH se asume verdadera (aproximadamente una docena de páginas). Stanisław Knapowski ( 1962 ) siguió esto con un artículo sobre el número de veces que cambia de signo en el intervalo .${\displaystyle \Delta (n)}$${\displaystyle \Delta (n)}$

Conjetura del número de clase de Gauss

Ésta es la conjetura (enunciada por primera vez en el artículo 303 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss ) de que sólo hay un número finito de campos cuadráticos imaginarios con un número de clase determinado. Una forma de demostrarlo sería mostrar que como discriminante D → −∞ el número de clase h ( D ) → ∞.

La siguiente secuencia de teoremas que involucran la hipótesis de Riemann se describe en Ireland & Rosen 1990 , pp. 358-361:

Teorema (Hecke; 1918). Deje D <0 sea el discriminante de un imaginario cuadrática campo de número K . Suponga la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de todos los caracteres de Dirichlet cuadráticos imaginarios. Entonces hay una constante absoluta C tal que

${\displaystyle h(D)>C{\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}.}$

Teorema (Deuring; 1933). Si la HR es falsa, entonces h ( D )> 1 si | D | es suficientemente grande.

Teorema (Mordell; 1934). Si la HR es falsa, entonces h ( D ) → ∞ como D → −∞.

Teorema (Heilbronn; 1934). Si la RH generalizada es falsa para la función L de algún carácter de Dirichlet cuadrático imaginario, entonces h ( D ) → ∞ como D → −∞.

(En el trabajo de Hecke y Heilbronn, las únicas funciones L que ocurren son las adjuntas a caracteres cuadráticos imaginarios, y es solo para esas funciones L que GRH es verdadero o GRH es falso se pretende; una falla de GRH para el La función L de un carácter de Dirichlet cúbico significaría, estrictamente hablando, que GRH es falso, pero ese no era el tipo de falla de GRH que Heilbronn tenía en mente, por lo que su suposición era más restringida que simplemente GRH es falso ).

En 1935, Carl Siegel posteriormente reforzó el resultado sin utilizar RH o GRH de ninguna manera.

Crecimiento del totient de Euler

En 1983, JL Nicolas demostró que

$${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$$

para infinitos n , donde φ ( n ) es la función totient de Euler y γ es la constante de Euler . Ribenboim comenta que: "El método de prueba es interesante, ya que la desigualdad se muestra primero bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera, en segundo lugar bajo el supuesto contrario". ^[10]

Generalizaciones y análogos

Dirichlet L-series y otros campos numéricos

La hipótesis de Riemann se puede generalizar reemplazando la función zeta de Riemann por las funciones L globales formalmente similares, pero mucho más generales . En este contexto más amplio, se espera que los ceros no triviales de las funciones L globales tengan una parte real 1/2. Son estas conjeturas, más que la clásica hipótesis de Riemann solo para la función zeta de Riemann única, las que explican la verdadera importancia de la hipótesis de Riemann en matemáticas.

La hipótesis de Riemann generalizada extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones L de Dirichlet . En particular, implica la conjetura de que los ceros de Siegel (ceros de funciones L entre 1/2 y 1) no existen.

La hipótesis de Riemann extendida extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones zeta de Dedekind de los campos numéricos algebraicos . La hipótesis de Riemann extendida para la extensión abeliana de los racionales es equivalente a la hipótesis de Riemann generalizada. La hipótesis de Riemann también se puede extender a las funciones L de los caracteres de Hecke de campos numéricos.

La gran hipótesis de Riemann la extiende a todas las funciones zeta automórficas , como las transformadas de Mellin de las formas propias de Hecke .

Campos de función y funciones zeta de variedades sobre campos finitos

Artin (1924) introdujo funciones zeta globales de campos funcionales (cuadráticos) y conjeturó un análogo de la hipótesis de Riemann para ellos, que ha sido probada por Hasse en el caso del género 1 y por Weil (1948) en general. Por ejemplo, el hecho de que la suma de Gauss , del carácter cuadrático de un campo finito de tamaño q (con q impar), tenga un valor absoluto es en realidad una instancia de la hipótesis de Riemann en la configuración del campo de función. Esto llevó a Weil (1949) a conjeturar un enunciado similar para todas las variedades algebraicas ; las conjeturas de Weil resultantes fueron probadas por${\displaystyle {\sqrt {q}}}$Pierre Deligne  ( 1974 , 1980 ).

Funciones zeta aritméticas de esquemas aritméticos y sus factores L

Las funciones zeta aritméticas generalizan las funciones zeta de Riemann y Dedekind, así como las funciones zeta de variedades sobre campos finitos a cada esquema aritmético o un esquema de tipo finito sobre enteros. La función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional conectado regular de dimensión n de Kronecker se puede factorizar en el producto de factores L definidos apropiadamente y un factor auxiliar Jean-Pierre Serre  ( 1969-1970 ). Suponiendo una ecuación funcional y continuación meromórfica, la hipótesis de Riemann generalizada para el factor L establece que sus ceros dentro de la franja crítica${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$Acuéstese en la vía central. En consecuencia, la hipótesis generalizada de Riemann para la función aritmética zeta de un esquema aritmético equidimensional conectado regular establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales y sus polos dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales . Esto es conocido por esquemas en característica positiva y se sigue de Pierre Deligne  ( 1974 , 1980 ), pero permanece completamente desconocido en característica cero.${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$

Funciones zeta de Selberg

Artículo principal: función zeta de Selberg

Selberg (1956) introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann. Estos son similares a la función zeta de Riemann: tienen una ecuación funcional y un producto infinito similar al producto de Euler pero asumido sobre geodésicas cerradas en lugar de primos. La fórmula de la traza de Selberg es análoga a estas funciones de las fórmulas explícitas en la teoría de números primos. Selberg demostró que las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, con las partes imaginarias de sus ceros relacionados con los valores propios del operador laplaciano de la superficie de Riemann.

Funciones de Ihara zeta

La función zeta de Ihara de un gráfico finito es análoga a la función zeta de Selberg , que fue introducida por primera vez por Yasutaka Ihara en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos. Un gráfico finito regular es un gráfico de Ramanujan , un modelo matemático de redes de comunicación eficientes, si y solo si su función Ihara zeta satisface el análogo de la hipótesis de Riemann, como señaló T. Sunada .

Conjetura de correlación de pares de Montgomery

Montgomery (1973) sugirió la conjetura de correlación de pares de que las funciones de correlación de los ceros (adecuadamente normalizados) de la función zeta deberían ser las mismas que las de los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria . Odlyzko (1987) mostró que esto está respaldado por cálculos numéricos a gran escala de estas funciones de correlación.

Montgomery mostró que (asumiendo la hipótesis de Riemann) al menos 2/3 de todos los ceros son simples, y una conjetura relacionada es que todos los ceros de la función zeta son simples (o más generalmente no tienen relaciones lineales enteras no triviales entre sus partes imaginarias ). Las funciones zeta de Dedekind de los campos numéricos algebraicos, que generalizan la función zeta de Riemann, a menudo tienen múltiples ceros complejos. ^[11] Esto se debe a que las funciones zeta de Dedekind se factorizan como un producto de las potencias de las funciones L de Artin , por lo que los ceros de las funciones L de Artin a veces dan lugar a múltiples ceros de las funciones zeta de Dedekind. Otros ejemplos de funciones zeta con múltiples ceros son las funciones L de algunas curvas elípticas: pueden tener varios ceros en el punto real de su línea crítica; la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer predice que la multiplicidad de este cero es el rango de la curva elíptica.

Otras funciones zeta

Hay muchos otros ejemplos de funciones zeta con análogos de la hipótesis de Riemann, algunos de los cuales han sido probados. Las funciones zeta de Goss de los campos funcionales tienen una hipótesis de Riemann, probada por Sheats (1998) . La conjetura principal de la teoría de Iwasawa , probada por Barry Mazur y Andrew Wiles para campos ciclotómicos , y Wiles para campos totalmente reales , identifica los ceros de una función L p -ádica con los valores propios de un operador, por lo que puede considerarse como un análogo de la conjetura de Hilbert-Pólya para p -adicL- funciones . ^[12]

Pruebas intentadas

Varios matemáticos han abordado la hipótesis de Riemann, pero ninguno de sus intentos ha sido aceptado como prueba. Watkins (2007) enumera algunas soluciones incorrectas.

Teoría del operador

Artículo principal: conjetura de Hilbert-Pólya

Hilbert y Pólya sugirieron que una forma de derivar la hipótesis de Riemann sería encontrar un operador autoadjunto , de cuya existencia seguiría el enunciado sobre las partes reales de los ceros de ζ ( s ) cuando se aplica el criterio sobre valores propios . Algún apoyo para esta idea proviene de varios análogos de las funciones zeta de Riemann cuyos ceros corresponden a valores propios de algún operador: los ceros de una función zeta de una variedad sobre un campo finito corresponden a valores propios de un elemento de Frobenius en un grupo de cohomología étale , el los ceros de una función zeta de Selberg son valores propios de un operador laplaciano de una superficie de Riemann, y los ceros de unaLa función zeta p-ádica corresponde a los vectores propios de una acción de Galois en grupos de clases ideales .

Odlyzko (1987) mostró que la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann comparte algunas propiedades estadísticas con los valores propios de matrices aleatorias extraídas del conjunto unitario gaussiano . Esto da algo de apoyo a la conjetura de Hilbert-Pólya .

En 1999, Michael Berry y Jonathan Keating conjeturaron que existe alguna cuantificación desconocida del clásico hamiltoniano H = xp de modo que${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$

y aún más fuertemente, que los ceros de Riemann coinciden con el espectro del operador . Esto contrasta con la cuantificación canónica , que conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg y a los números naturales como espectro del oscilador armónico cuántico . El punto crucial es que el hamiltoniano debe ser un operador autoadjunto para que la cuantificación sea una realización del programa de Hilbert-Pólya. En relación con este problema de mecánica cuántica, Berry y Connes habían propuesto que el inverso del potencial del hamiltoniano está conectado a la semiderivada de la función${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

$${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$

luego, en el enfoque de Berry-Connes ^[13]

$${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$

Esto produce un hamiltoniano cuyos valores propios son el cuadrado de la parte imaginaria de los ceros de Riemann, y también que el determinante funcional de este operador hamiltoniano es solo la función Xi de Riemann . De hecho, la función de Riemann Xi sería proporcional al determinante funcional ( producto de Hadamard )

$${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$

como lo demostraron Connes y otros, en este enfoque

$${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$

La analogía con la hipótesis de Riemann sobre campos finitos sugiere que el espacio de Hilbert que contiene autovectores correspondientes a los ceros podría ser una especie de primer grupo de cohomología del espectro Spec ( Z ) de los enteros. Deninger (1998) describió algunos de los intentos de encontrar tal teoría de cohomología. ^[14]

Zagier (1981) construyó un espacio natural de funciones invariantes en el semiplano superior que tiene valores propios bajo el operador laplaciano que corresponden a ceros de la función zeta de Riemann, y remarcó que en el improbable caso de que se pudiera mostrar la existencia de una función positiva adecuada producto interior definido en este espacio, se seguiría la hipótesis de Riemann. Cartier (1982) discutió un ejemplo relacionado, donde debido a un error extraño, un programa de computadora enumeró ceros de la función zeta de Riemann como valores propios del mismo operador laplaciano .

Schumayer y Hutchinson (2011) examinaron algunos de los intentos de construir un modelo físico adecuado relacionado con la función zeta de Riemann.

Teorema de Lee-Yang

El teorema de Lee-Yang establece que los ceros de ciertas funciones de partición en mecánica estadística se encuentran todos en una "línea crítica" con su parte real igual a 0, y esto ha llevado a algunas especulaciones sobre una relación con la hipótesis de Riemann. ^[15]

Resultado de Turán

Pál Turán  ( 1948 ) demostró que si las funciones

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$

no tiene ceros cuando la parte real de s es mayor que uno, entonces

$${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$

donde λ ( n ) es la función de Liouville dada por (−1) ^r si n tiene r factores primos. Mostró que esto a su vez implicaría que la hipótesis de Riemann es cierta. Pero Haselgrove (1958) demostró que T ( x ) es negativa para un número infinito de x (y también refutado la estrecha relación conjetura de Pólya ), y Borwein, Ferguson y Mossinghoff (2008) mostraron que los más pequeños tales x es 72 185 376 951 205 . Spira (1968)mostró mediante cálculo numérico que la serie finita de Dirichlet anterior para N = 19 tiene un cero con parte real mayor que 1. Turán también mostró que un supuesto algo más débil, la inexistencia de ceros con parte real mayor que 1+ N ^{−1 / 2 + ε} para N grande en la serie finita de Dirichlet anterior, también implicaría la hipótesis de Riemann, pero Montgomery (1983) mostró que para todos los N suficientemente grandes, estas series tienen ceros con una parte real mayor que 1 + (log log N ) / (4 log N ) . Por lo tanto, el resultado de Turán es vacuamente cierto y no puede ayudar a probar la hipótesis de Riemann.

Geometría no conmutativa

Connes  ( 1999 , 2000 ) ha descrito una relación entre la hipótesis de Riemann y la geometría no conmutativa , y muestra que un análogo adecuado de la fórmula de trazas de Selberg para la acción del grupo de clases idèle en el espacio de clases adèle implicaría la hipótesis de Riemann. Algunas de estas ideas se elaboran en Lapidus (2008) .

Espacios de Hilbert de funciones completas

Louis de Branges  ( 1992 ) mostró que la hipótesis de Riemann se seguiría de una condición de positividad en un cierto espacio de Hilbert de funciones completas . Sin embargo, Conrey y Li (2000) demostraron que no se satisfacen las condiciones de positividad necesarias. A pesar de este obstáculo, De Branges ha continuado trabajando en un intento de demostración de la hipótesis de Riemann en la misma línea, pero esto no ha sido ampliamente aceptado por otros matemáticos. ^[dieciséis]

Cuasicristales

La hipótesis de Riemann implica que los ceros de la función zeta forman un cuasicristal , una distribución con soporte discreto cuya transformada de Fourier también tiene soporte discreto. Dyson (2009) sugirió intentar probar la hipótesis de Riemann clasificando, o al menos estudiando, cuasicristales unidimensionales.

Funciones zeta aritméticas de modelos de curvas elípticas sobre campos numéricos

Cuando se pasa de la dimensión geométrica uno, por ejemplo, un campo numérico algebraico , a la dimensión geométrica dos, por ejemplo, un modelo regular de una curva elíptica sobre un campo numérico, la parte bidimensional de la hipótesis de Riemann generalizada para la función zeta aritmética del modelo. se ocupa de los polos de la función zeta. En la dimensión uno, el estudio de la integral zeta en la tesis de Tate no conduce a nueva información importante sobre la hipótesis de Riemann. Contrariamente a esto, en la dimensión dos obra de Ivan Fesenkosobre la generalización bidimensional de la tesis de Tate incluye una representación integral de una integral zeta estrechamente relacionada con la función zeta. En esta nueva situación, no posible en la dimensión uno, los polos de la función zeta se pueden estudiar mediante la integral zeta y los grupos adele asociados. La conjetura relacionada de Fesenko  ( 2010 ) sobre la positividad de la cuarta derivada de una función de frontera asociada a la integral zeta implica esencialmente la parte polar de la hipótesis de Riemann generalizada. Suzuki ( 2011 ) demostró que este último, junto con algunos supuestos técnicos, implica la conjetura de Fesenko.

Varias funciones zeta

La prueba de Deligne de la hipótesis de Riemann sobre campos finitos utilizó las funciones zeta de las variedades de productos, cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta original, para unir las partes reales de los ceros de la función zeta original. Por analogía, Kurokawa (1992) introdujo múltiples funciones zeta cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta de Riemann. Para hacer converger la serie se limitó a sumas de ceros o polos todos con parte imaginaria no negativa. Hasta ahora, los límites conocidos de los ceros y polos de las funciones zeta múltiples no son lo suficientemente fuertes como para proporcionar estimaciones útiles para los ceros de la función zeta de Riemann.

Ubicación de los ceros

Numero de ceros

La ecuación funcional combinada con el principio del argumento implica que el número de ceros de la función zeta con parte imaginaria entre 0 y T viene dado por

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

para s = 1/2 + i T , donde el argumento se define mediante la variación de forma continua a lo largo de la línea con Im ( s ) = T , comenzando con el argumento 0 en ∞ + i T . Esta es la suma de un término amplio pero bien entendido

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

y un término pequeño pero bastante misterioso

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

Entonces, la densidad de ceros con una parte imaginaria cerca de T es aproximadamente log ( T ) / 2π, y la función S describe las pequeñas desviaciones de esto. La función S ( t ) salta en 1 en cada cero de la función zeta, y para t ≥ 8 disminuye monótonamente entre ceros con una derivada cercana a −log t .

Trudgian (2014) demostró que, si , entonces${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Karatsuba (1996) demostró que cada intervalo ( T , T + H ] para contiene al menos${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo.

Selberg (1946) mostró que los momentos promedio de potencias pares de S están dados por

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

Esto sugiere que S ( T ) / (log log T ) ^{1/2 se} asemeja a una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza 2π ² ( Ghosh (1983) demostró este hecho). En particular | S ( T ) | suele estar en algún lugar alrededor de (log log T ) ^1/2 , pero en ocasiones es mucho más grande. Se desconoce el orden exacto de crecimiento de S ( T ). No ha habido una mejora incondicional en el límite original de Riemann S ( T ) = O (log T), aunque la hipótesis de Riemann implica el límite ligeramente más pequeño S ( T ) = O (log T / log log T ). ^[6] El verdadero orden de magnitud puede ser algo menor que esto, ya que las funciones aleatorias con la misma distribución que S ( T ) tienden a tener un crecimiento de orden alrededor de log ( T ) ^1/2 . En la otra dirección no puede ser demasiado pequeño: Selberg (1946) mostró que S ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/3 / (log log T ) ^7/3 ), y asumiendo la hipótesis de Riemann, Montgomery mostró que S ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/2 / (log log T ) ^1/2 ) .

Los cálculos numéricos confirman que S crece muy lentamente: | S ( T ) | <1 para T <280 , | S ( T ) | <2 para T  <  6 800 000 y el mayor valor de | S ( T ) | encontrado hasta ahora no es mucho mayor que 3. ^[17]

La estimación de Riemann S ( T ) = O (log T ) implica que los espacios entre ceros están acotados, y Littlewood mejoró esto ligeramente, mostrando que los espacios entre sus partes imaginarias tienden a 0.

Teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) y de la Vallée-Poussin (1896) demostraron de forma independiente que no había ceros en la recta Re ( s ) = 1. Junto con la ecuación funcional y el hecho de que no hay ceros con una parte real mayor que 1, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la franja crítica 0 <Re ( s ) <1 . Este fue un paso clave en sus primeras demostraciones del teorema de los números primos .

Ambas pruebas originales de que la función zeta no tiene ceros con la parte real 1 son similares y dependen de mostrar que si ζ (1+ it ) desaparece, entonces ζ (1 + 2 it ) es singular, lo cual no es posible. Una forma de hacer esto es usando la desigualdad

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

para σ> 1, t real, y mirando el límite como σ → 1. Esta desigualdad se sigue tomando la parte real del logaritmo del producto de Euler para ver que

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

donde la suma está sobre todos los poderes primos p ⁿ , de modo que

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

que es al menos 1 porque todos los términos de la suma son positivos, debido a la desigualdad

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

Regiones libres de cero

De la Vallée-Poussin (1899-1900) demostró que si σ + i t es un cero de la función zeta de Riemann, a continuación, 1 - σ ≥ C / log ( t ) para alguna constante positiva C . En otras palabras, los ceros no pueden estar demasiado cerca de la línea σ = 1: hay una región libre de cero cerca de esta línea. Esta región libre de cero ha sido ampliada por varios autores utilizando métodos como el teorema del valor medio de Vinogradov . Ford (2002) dio una versión con constantes numéricas explícitas: ζ (σ + i t  ) ≠ 0 siempre que | t  | ≥ 3 y

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}.}$

En 2015, Mossinghoff y Trudgian demostraron ^[18] que zeta no tiene ceros en la región.

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}}$

para | t | ≥ 2 . Esta es la región libre de cero más grande conocida en la franja crítica para .${\displaystyle 3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}}$

Ceros en la línea crítica

Hardy (1914) y Hardy y Littlewood (1921) mostraron que hay infinitos ceros en la línea crítica, al considerar momentos de ciertas funciones relacionadas con la función zeta. Selberg (1942) demostró que al menos una (pequeña) proporción positiva de ceros se encuentra en la línea. Levinson (1974) mejoró esto a un tercio de los ceros relacionando los ceros de la función zeta con los de su derivada, y Conrey (1989) lo mejoró aún más a dos quintos.

La mayoría de los ceros se encuentran cerca de la línea crítica. Más precisamente, Bohr y Landau (1914) demostraron que para cualquier ε positivo, el número de ceros con parte real al menos 1/2 + ε y parte imaginaria entre -T y T es . Combinado con el hecho de que los ceros en la franja crítica son simétricos con respecto a la línea crítica y que el número total de ceros en la franja crítica es , casi todos los ceros no triviales están dentro de una distancia ε de la línea crítica. Ivić (1985) da varias versiones más precisas de este resultado, llamadas estimaciones de densidad cero , que limitan el número de ceros en regiones con parte imaginaria como máximo T${\displaystyle O(T)}$${\displaystyle \Theta (T\log T)}$ y parte real al menos 1/2 + ε.

Conjeturas de Hardy-Littlewood

En 1914 Godfrey Harold Hardy demostró que tiene infinitos ceros reales.${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Las siguientes dos conjeturas de Hardy y John Edensor Littlewood sobre la distancia entre ceros reales de y sobre la densidad de ceros de en el intervalo para lo suficientemente grande , y con el valor más pequeño posible de , donde es un número arbitrariamente pequeño, abren dos nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann:${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. Para cualquier existe un límite inferior tal que para y el intervalo contiene un cero de orden impar de la función .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Sea el número total de ceros reales y el número total de ceros de orden impar de la función que se encuentra en el intervalo .${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0}(T)}$${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$${\displaystyle (0,T]~}$

2. Para cualquiera existe y algunos , de modo que para y la desigualdad es verdadera.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Conjetura de la función zeta de Selberg

Artículo principal: conjetura de la función zeta de Selberg

Atle Selberg  ( 1942 ) investigó el problema de Hardy-Littlewood 2 y demostró que para cualquier ε> 0 existe tal y c = c (ε)> 0, tal que para y la desigualdad es cierta. Selberg conjeturó que esto podría ajustarse . AA Karatsuba  ( 1984a , 1984b , 1985 ) demostró que para un fijo ε satisface la condición 0 <ε <0,001, una suficientemente grande T y , , el intervalo ( T , T + H ) contiene al menos cH${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$${\displaystyle H=T^{0.5}}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$log ( T ) ceros reales de la función zeta de Riemann y, por tanto, confirmó la conjetura de Selberg. Las estimaciones de Selberg y Karatsuba no pueden mejorarse con respecto al orden de crecimiento según T → ∞.${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Karatsuba (1992) demostró que un análogo de la conjetura de Selberg se cumple para casi todos los intervalos ( T , T + H ] , donde ε es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. El método de Karatsuba permite investigar ceros de la función zeta de Riemann en " Intervalos supercortos "de la línea crítica, es decir, en los intervalos ( T , T + H ], cuya longitud H crece más lentamente que cualquier T , incluso un grado arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado ε, satisfaciendo las condiciones casi todos los intervalos ( T , T + H${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$] para contener al menos ceros de la función . Esta estimación se acerca bastante a la que se desprende de la hipótesis de Riemann.${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Cálculos numéricos

Valor absoluto de la función ζ

La función

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

tiene los mismos ceros que la función zeta en la franja crítica, y es real en la línea crítica debido a la ecuación funcional, por lo que se puede probar la existencia de ceros exactamente en la línea real entre dos puntos comprobando numéricamente que la función tiene un valor opuesto señales en estos puntos. Usualmente uno escribe

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

donde la función Z de Hardy y la función theta de Riemann-Siegel θ están definidas de manera única por esto y la condición de que sean funciones reales suaves con θ (0) = 0. Al encontrar muchos intervalos en los que la función Z cambia de signo, se puede mostrar que hay muchos ceros en la línea crítica. Para verificar la hipótesis de Riemann hasta una parte imaginaria dada T de los ceros, también se debe verificar que no haya más ceros fuera de la línea en esta región. Esto se puede hacer calculando el número total de ceros en la región usando el método de Turing y verificando que sea el mismo que el número de ceros encontrado en la línea. Esto permite verificar la hipótesis de Riemann computacionalmente hasta cualquier valor deseado deT (siempre que todos los ceros de la función zeta en esta región sean simples y estén en la línea crítica).

Algunos cálculos de ceros de la función zeta se enumeran a continuación, donde la "altura" de un cero es la magnitud de su parte imaginaria, y la altura del n- ésimo cero se denota por γ _n . Hasta ahora, todos los ceros que se han verificado están en la línea crítica y son simples. (Un cero múltiple causaría problemas para los algoritmos de búsqueda de cero, que dependen de la búsqueda de cambios de signo entre ceros). Para obtener tablas de ceros, consulte Haselgrove y Miller (1960) u Odlyzko .

Año	Numero de ceros	Autor
1859?	3	B. Riemann usó la fórmula de Riemann-Siegel (no publicada, pero reportada en Siegel 1932 ).
1903	15	JP Gram (1903) utilizó la suma de Euler-Maclaurin y descubrió la ley de Gram . Mostró que los 10 ceros con una parte imaginaria como máximo 50 en el rango se encuentran en la línea crítica con la parte real 1/2 al calcular la suma de las décimas potencias inversas de las raíces que encontró.
1914	79 (γ n ≤ 200)	RJ Backlund (1914) introdujo un método mejor para verificar que todos los ceros hasta ese punto están en la línea, mediante el estudio del argumento S ( T ) de la función zeta.
1925	138 (γ n ≤ 300)	JI Hutchinson (1925) encontró el primer fallo de la ley de Gram, en el punto de Gram g 126 .
1935	195	EC Titchmarsh (1935) utilizó la fórmula de Riemann-Siegel recientemente redescubierta , que es mucho más rápida que la suma de Euler-Maclaurin. Se necesitan aproximadamente O ( T 3/2 + ε ) pasos para verificar ceros con una parte imaginaria menor que T , mientras que el método de Euler-Maclaurin toma aproximadamente O ( T 2 + ε ) pasos.
1936	1041	EC Titchmarsh (1936) y LJ Comrie fueron los últimos en encontrar ceros a mano.
1953	1104	AM Turing (1953) encontró una manera más eficiente de comprobar que todos los ceros hasta algún punto se contabilizan mediante los ceros de la línea, comprobando que Z tiene el signo correcto en varios puntos Gram consecutivos y utilizando el hecho de que S ( T ) tiene un valor promedio de 0. Esto casi no requiere trabajo adicional porque el signo de Z en los puntos Gram ya se conoce al encontrar los ceros, y sigue siendo el método habitual utilizado. Este fue el primer uso de una computadora digital para calcular los ceros.
1956	15 000	DH Lehmer (1956) descubrió algunos casos en los que la función zeta tiene ceros que son "sólo" en la línea: dos ceros de la función zeta están tan juntos que es inusualmente difícil encontrar un cambio de signo entre ellos. Esto se llama "fenómeno de Lehmer", y primero ocurre en los ceros con partes imaginarias 7005.063 y 7005.101, que difieren solo en 0.04 mientras que la brecha promedio entre otros ceros cerca de este punto es aproximadamente 1.
1956	25 000	DH Lehmer
1958	35 337	NA Meller
1966	250 000	RS Lehman
1968	3 500 000	Rosser, Yohe y Schoenfeld (1969) establecieron la regla de Rosser (descrita a continuación).
1977	40 000 000	RP Brent
1979	81 000 001	RP Brent
mil novecientos ochenta y dos	200 000 001	RP Brent, J. van de Lune , HJJ te Riele , DT Winter
1983	300 000 001	J. van de Lune, HJJ te Riele
1986	1 500 000 001	van de Lune, te Riele & Winter (1986) dieron algunos datos estadísticos sobre los ceros y dan varias gráficas de Z en lugares donde tiene un comportamiento inusual.
1987	Algunos de gran altura (~ 10 12 )	AM Odlyzko ( 1987 ) calculó números más pequeños de ceros de altura mucho mayor, alrededor de 10 12 , con alta precisión para verificar la conjetura de correlación de pares de Montgomery .
1992	Algunos de gran altura (~ 10 20 )	AM Odlyzko ( 1992 ) calculó 175 millones de ceros de alturas alrededor de 10 20 y algunos más de alturas alrededor de 2 × 10 20 , y dio una discusión extensa de los resultados.
1998	10000 de gran altura (~ 10 21 )	AM Odlyzko ( 1998 ) calculó unos ceros de altura alrededor de 10 21
2001	10 000 000 000	J. van de Lune (inédito)
2004	~ 900 000 000 000 [19]	S. Wedeniwski ( informática distribuida ZetaGrid )
2004	10 000 000 000 000 y algunos de gran tamaño (hasta ~ 10 24 ) alturas	X. Gourdon (2004) y Patrick Demichel utilizaron el algoritmo Odlyzko-Schönhage . También comprobaron dos mil millones de ceros alrededor de las alturas 10 13 , 10 14 , ..., 10 24 .
2020	12 363 153 437 138 hasta la altura de 3 000 175 332 800	Platt y Trudgian (2021) . También verificaron el trabajo de Gourdon (2004) y otros.

Puntos gramo

Un punto de Gram es un punto en la línea crítica 1/2 +  it donde la función zeta es real y distinta de cero. Usando la expresión para la función zeta en la línea crítica, ζ (1/2 +  it ) = Z ( t ) e  ^{-  i θ ( t )} , donde la función de Hardy, Z , es real para t real , y θ es el Riemann –Función theta de Siegel , vemos que zeta es real cuando sin (θ ( t )) = 0. Esto implica que θ ( t) es un múltiplo entero de π, lo que permite que la ubicación de los puntos de Gram se calcule con bastante facilidad invirtiendo la fórmula para θ. Por lo general, se numeran como g _n para n = 0, 1, ..., donde g _n es la única solución de θ ( t ) = n π.

Gram observó que a menudo había exactamente un cero de la función zeta entre dos puntos de Gram cualesquiera; Hutchinson llamó a esta observación ley de Gram . Hay varias otras afirmaciones estrechamente relacionadas que a veces también se denominan ley de Gram: por ejemplo, (−1) ⁿ Z ( g _n ) suele ser positivo, o Z ( t ) suele tener el signo opuesto en puntos Gram consecutivos. Las partes imaginarias γ _n de los primeros ceros (en azul) y los primeros puntos de Gram g _n se dan en la siguiente tabla

		g −1	γ 1	g 0	γ 2	g 1	γ 3	g 2	γ 4	g 3	γ 5	g 4	γ 6	g 5
0	3.436	9.667	14.135	17.846	21.022	23.170	25.011	27.670	30.425	31.718	32,935	35.467	37.586	38.999

Esta es una gráfica polar de los primeros 20 ceros no triviales de la función zeta de Riemann (incluidos los puntos de Gram ) a lo largo de la línea crítica para valores reales de 0 a 50. Los ceros etiquetados consecutivamente tienen 50 puntos rojos de la gráfica entre cada uno, con ceros identificados por anillos magenta concéntricos escalados para mostrar la distancia relativa entre sus valores de t. La ley de Gram establece que la curva generalmente cruza el eje real una vez entre ceros.${\displaystyle \zeta (1/2+it)}$${\displaystyle t}$

La primera falla de la ley de Gram ocurre en el 127º cero y el punto de Gram g ₁₂₆ , que están en el orden "incorrecto".

g 124	γ 126	g 125	g 126	γ 127	γ 128	g 127	γ 129	g 128
279.148	279.229	280.802	282.455	282.465	283.211	284.104	284.836	285.752

Un punto de Gram t se llama bueno si la función zeta es positiva en 1/2 + it . Los índices de los puntos Gram "malos" donde Z tiene el signo "incorrecto" son 126, 134, 195, 211, ... (secuencia A114856 en la OEIS ). Un bloque Gram es un intervalo delimitado por dos puntos Gram buenos, de modo que todos los puntos Gram entre ellos son malos. Un refinamiento de la ley de Gram llamado regla de Rosser debido a Rosser, Yohe y Schoenfeld (1969) dice que los bloques de Gram a menudo tienen el número esperado de ceros en ellos (el mismo que el número de intervalos de Gram), aunque algunos de los intervalos de Gram individuales en el bloque puede no tener exactamente un cero en ellos. Por ejemplo, el intervalo delimitado porg ₁₂₅ y g ₁₂₇ es un bloque de Gram que contiene un único punto de Gram incorrecto g ₁₂₆ , y contiene el número esperado 2 de ceros, aunque ninguno de sus dos intervalos de Gram contiene un cero único. Rosser y col. comprobó que no había excepciones a la regla de Rosser en los primeros 3 millones de ceros, aunque hay infinitas excepciones a la regla de Rosser sobre toda la función zeta.

Tanto la regla de Gram como la regla de Rosser dicen que, en cierto sentido, los ceros no se alejan demasiado de sus posiciones esperadas. La distancia de un cero a su posición esperada está controlada por la función S definida anteriormente, que crece extremadamente lentamente: su valor promedio es del orden de (log log T ) ^1/2 , que solo llega a 2 para T alrededor de 10 ²⁴ . Esto significa que ambas reglas se mantienen la mayor parte del tiempo para T pequeña, pero eventualmente se rompen con frecuencia. De hecho, Trudgian (2011)mostró que tanto la ley de Gram como la regla de Rosser fallan en una proporción positiva de casos. Para ser específico, se espera que en aproximadamente el 73% un cero esté encerrado por dos puntos Gram sucesivos, pero en el 14% no hay cero y en el 13% dos ceros están en dicho intervalo Gram a largo plazo.

Argumentos a favor y en contra de la hipótesis de Riemann

Los artículos matemáticos sobre la hipótesis de Riemann tienden a ser cautelosamente evasivos sobre su verdad. De los autores que expresan una opinión, la mayoría de ellos, como Riemann (1859) y Bombieri (2000) , dan a entender que esperan (o al menos esperan) que sea verdad. Los pocos autores que expresan serias dudas al respecto incluyen a Ivić (2008) , que enumera algunas razones para el escepticismo, y Littlewood (1962) , quien afirma rotundamente que cree que es falso, que no hay evidencia de ello y ninguna razón imaginable por la que lo haría. ser cierto. El consenso de los artículos de la encuesta ( Bombieri 2000 , Conrey 2003 y Sarnak 2005) es que la evidencia es sólida pero no abrumadora, de modo que, si bien es probable que sea cierto, existen dudas razonables.

Sarnak (2005) , Conrey (2003) e Ivić (2008) enumeran algunos de los argumentos a favor y en contra de la hipótesis de Riemann , e incluyen los siguientes:

• Ya se han probado varios análogos de la hipótesis de Riemann. La prueba de la hipótesis de Riemann para variedades sobre campos finitos por Deligne (1974) es posiblemente la razón teórica más fuerte a favor de la hipótesis de Riemann. Esto proporciona alguna evidencia para la conjetura más general de que todas las funciones zeta asociadas con formas automórficas satisfacen una hipótesis de Riemann, que incluye la hipótesis clásica de Riemann como un caso especial. De manera similar, funciones zeta de Selbergsatisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, y son en cierto modo similares a la función zeta de Riemann, teniendo una ecuación funcional y una expansión del producto infinito análoga a la expansión del producto de Euler. Pero también existen algunas diferencias importantes; por ejemplo, no están dados por la serie de Dirichlet. La hipótesis de Riemann para la función zeta de Goss fue probada por Sheats (1998) . En contraste con estos ejemplos positivos, algunas funciones zeta de Epstein no satisfacen la hipótesis de Riemann aunque tengan un número infinito de ceros en la línea crítica. ^[6] Estas funciones son bastante similares a la función zeta de Riemann, y tienen una expansión en serie de Dirichlet y una ecuación funcional, pero los que se sabe que fallan en la hipótesis de Riemann no tienen un producto de Euler y no están directamente relacionados con representaciones automórficas .
• Al principio, la verificación numérica de que hay muchos ceros en la línea parece una fuerte evidencia de ello. Pero la teoría analítica de números ha tenido muchas conjeturas apoyadas por evidencia numérica sustancial que resultó ser falsa. Véase el número de Skewes para un ejemplo notorio, donde la primera excepción a una conjetura plausible relacionada con la hipótesis de Riemann probablemente ocurre alrededor de 10 ³¹⁶ ; un contraejemplo de la hipótesis de Riemann con una parte imaginaria de este tamaño estaría mucho más allá de cualquier cosa que pueda calcularse actualmente utilizando un enfoque directo. El problema es que el comportamiento a menudo se ve influenciado por funciones que aumentan muy lentamente, como log log T, que tienden al infinito, pero lo hacen tan lentamente que esto no puede ser detectado por cálculo. Tales funciones ocurren en la teoría de la función zeta que controla el comportamiento de sus ceros; por ejemplo, la función S ( T ) anterior tiene un tamaño promedio alrededor de (log log T ) ^1/2 . Como S ( T ) salta en al menos 2 en cualquier contraejemplo de la hipótesis de Riemann, uno podría esperar que cualquier contraejemplo de la hipótesis de Riemann comience a aparecer solo cuando S ( T) se vuelve grande. Nunca es mucho más de 3 en la medida en que se ha calculado, pero se sabe que no está acotado, lo que sugiere que es posible que los cálculos aún no hayan alcanzado la región de comportamiento típico de la función zeta.
• El argumento probabilístico de Denjoy para la hipótesis de Riemann ^[20] se basa en la observación de que si μ ( x ) es una secuencia aleatoria de "1" sy "−1" s entonces, para todo ε> 0 , las sumas parciales
  $${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$$
  (cuyos valores son posiciones en una caminata aleatoria simple ) satisfacen el límite
  $${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$$
  con probabilidad 1 . La hipótesis de Riemann es equivalente a esta cota para la función de Möbius  μ y la función de Mertens M deriva de la misma forma. En otras palabras, la hipótesis de Riemann es en cierto sentido equivalente a decir que μ ( x ) se comporta como una secuencia aleatoria de lanzamientos de monedas. Cuando μ ( x ) es distinto de cero, su signo da la paridad del número de factores primos de xDe manera informal, la hipótesis de Riemann dice que la paridad del número de factores primos de un número entero se comporta aleatoriamente. Tales argumentos probabilísticos en la teoría de números a menudo dan la respuesta correcta, pero tienden a ser muy difíciles de hacer rigurosos y ocasionalmente dan una respuesta incorrecta para algunos resultados, como el teorema de Maier .
• Los cálculos de Odlyzko (1987) muestran que los ceros de la función zeta se comportan de manera muy parecida a los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria , lo que sugiere que son los valores propios de algún operador autoadjunto, lo que implicaría la hipótesis de Riemann. Todos los intentos de encontrar un operador de este tipo han fracasado.
• Hay varios teoremas, como la conjetura débil de Goldbach para números impares suficientemente grandes, que se probaron primero utilizando la hipótesis de Riemann generalizada y luego se demostró que eran verdaderos incondicionalmente. Esto podría considerarse una evidencia débil para la hipótesis de Riemann generalizada, ya que varias de sus "predicciones" son ciertas.
• El fenómeno de Lehmer , ^[21] donde dos ceros son a veces muy cercanos, a veces se da como una razón para no creer en la hipótesis de Riemann. Pero uno esperaría que esto suceda ocasionalmente por casualidad, incluso si la hipótesis de Riemann es cierta, y los cálculos de Odlyzko sugieren que los pares de ceros cercanos ocurren con la misma frecuencia que predice la conjetura de Montgomery .
• Patterson (1988) sugiere que la razón más convincente de la hipótesis de Riemann para la mayoría de los matemáticos es la esperanza de que los números primos se distribuyan con la mayor regularidad posible. ^[22]

Notas

1. Bombieri (2000) .
2. Leonhard Euler. Observaciones de Variae circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160-188, Teoremas 7 y 8. En el Teorema 7, Euler prueba la fórmula en el caso especial, y en el Teorema 8 la prueba de manera más general. En el primer corolario de su Teorema 7 señala que , y hace uso de este último resultado en su Teorema 19, para mostrar que la suma de las inversas de los números primos es.${\displaystyle s=1}$${\displaystyle \zeta (1)=\log \infty }$${\displaystyle \log \log \infty }$
3. Ingham (1932) , Teorema 30, p. 83; Montgomery y Vaughan (2007) , pág. 430
4. Ingham (1932) , pág. 82.
5. Robin (1984) .
6. Titchmarsh (1986) .
7. Bien (1999) .
8. Rodgers y Tao (2020) .
9. Platt y Trudgian (2021) .
10. Ribenboim (1996) , p. 320.
11. Radziejewski (2007) .
12. Wiles (2000) .
13. Connes (1999) .
14. Leichtnam (2005) .
15. Knauf (1999) .
16. Sarnak (2005) .
17. Odlyzko (2002) .
18. Mossinghoff, Michael J .; Trudgian, Timothy S. (2015). "Polinomios trigonométricos no negativos y una región libre de cero para la función zeta de Riemann". J. Teoría de números . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . doi : 10.1016 / J.JNT.2015.05.010 . S2CID  117968965 .
19. Weisstein, Eric W. , "Ceros de la función Zeta de Riemann" , MathWorld: "ZetaGrid es un proyecto de computación distribuida que intenta calcular tantos ceros como sea posible. Había llegado a 1029,9 mil millones de ceros al 18 de febrero de 2005".
20. Edwards (1974) .
21. Lehmer (1956) .
22. p. 75: "Uno probablemente debería agregar a esta lista la razón 'platónica' por la que uno espera que los números naturales sean la idea más perfecta concebible, y que esto solo es compatible con la distribución de los números primos de la manera más regular posible ..."

Referencias

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enlaces externos

• Medios relacionados con la hipótesis de Riemann en Wikimedia Commons

Wikiquote tiene citas relacionadas con la hipótesis de Riemann

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