Proyección de a sobre b ( a 1 ) y rechazo de a de b ( a 2 ).
Cuando 90 ° < θ ≤ 180 °, a 1 tiene una dirección opuesta con respecto a b .
La proyección vectorial de un vector a sobre (o sobre) un vector b distinto de cero , a veces denotado como [1] (también conocido como componente vectorial o resolución vectorial de a en la dirección de b ), es la proyección ortogonal de a sobre una recta. línea paralela a b . Es un vector paralelo ab , definido como:
La proyección escalar es igual a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b . El componente vectorial o resolución vectorial de a perpendicular ab , a veces también llamado rechazo vectorial de a desde b (denotado [1] ), [3] es la proyección ortogonal de a sobre el plano (o, en general, hiperplano ) ortogonal a b . Tanto la proyección a 1 como el rechazo a 2 de un vector ason vectores, y su suma es igual a a , [1] lo que implica que el rechazo viene dado por:
Normalmente, una proyección vectorial se indica en negrita (por ejemplo, un 1 ) y la proyección escalar correspondiente con una fuente normal (por ejemplo, un 1 ). En algunos casos, especialmente en la escritura a mano, la proyección vectorial también se indica con un signo diacrítico por encima o por debajo de la letra (por ejemplo, o un 1 ). La proyección del vector de una en b y el rechazo correspondiente a veces se denota por un ∥ b y un ⊥ b , respectivamente.
Definiciones basadas en el ángulo θ
Proyección escalar
Artículo principal: proyección escalar
La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a
donde θ es el ángulo entre una y b .
Se puede utilizar una proyección escalar como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.
Proyección vectorial
La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b . Es decir, se define como
donde es la proyección escalar correspondiente, como se define arriba, y es el vector unitario con la misma dirección que b :
Rechazo de vectores
Por definición, el rechazo vectorial de a sobre b es:
Por eso,
Definiciones en términos de ayb
Cuando θ no se conoce, el coseno de θ se puede calcular en términos de un y b , por la siguiente propiedad de la producto escalar un ⋅ b
Proyección escalar
Por la propiedad mencionada anteriormente del producto escalar, la definición de la proyección escalar se convierte en: [2]
En dos dimensiones, esto se convierte en
Proyección vectorial
De manera similar, la definición de la proyección vectorial de a sobre b se convierte en:
[2]
que es equivalente a
o [4]
Rechazo escalar
En dos dimensiones, el rechazo escalar equivale a la proyección de un sobre , que se gira 90 ° a la izquierda. Por eso,
Este producto escalar se denomina "producto escalar perp". [5]
Rechazo de vectores
Por definición,
Por eso,
Propiedades
Si 0 ° ≤ θ ≤ 90 °, como en este caso, la proyección escalar de a sobre b coincide con la longitud de la proyección vectorial.
Proyección escalar
Artículo principal: proyección escalar
La proyección escalar a sobre b es un escalar que tiene un signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados . Coincide con la longitud " c " de la proyección vectorial si el ángulo es menor de 90 °. Más exactamente:
a 1 = ‖ a 1 ‖ si 0 ° ≤ θ ≤ 90 °,
a 1 = −‖ a 1 ‖ si 90 ° < θ ≤ 180 °.
Proyección vectorial
La proyección vectorial de a sobre b es un vector a 1 que es nulo o paralelo a b . Más exactamente:
a 1 = 0 si θ = 90 °,
a 1 y b tienen la misma dirección si 0 ° ≤ θ <90 °,
a 1 y b tienen direcciones opuestas si 90 ° < θ ≤ 180 °.
Rechazo de vectores
El vector de rechazo de a sobre b es un vector a 2 que es nulo u ortogonal a b . Más exactamente:
a 2 = 0 si θ = 0 ° o θ = 180 °,
a 2 es ortogonal ab si 0 < θ <180 °,
Representación matricial
La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección. Para proyectar un vector en el vector unitario a = ( a x , a y , a z ), sería necesario multiplicarlo con esta matriz de proyección:
Usos
La proyección vectorial es una operación importante en la ortonormalización Gram-Schmidt de las bases del espacio vectorial . También se utiliza en el teorema del eje de separación para detectar si dos formas convexas se cruzan.
Generalizaciones
Dado que las nociones de longitud vectorial y ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio de producto interno n- dimensional , esto también es cierto para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y rechazo de un vector de otro. .
En algunos casos, el producto interior coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interno en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y rechazo. Para un espacio de producto interno tridimensional , las nociones de proyección de un vector sobre otro y el rechazo de un vector de otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y rechazo de un vector desde un plano. [6] La proyección de un vector en un plano es su proyección ortogonal en ese plano. El rechazo de un vector desde un plano es su proyección ortogonal sobre una línea recta que es ortogonal a ese plano. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, el segundo es ortogonal.
Para un vector y un plano dados, la suma de la proyección y el rechazo es igual al vector original. De manera similar, para los espacios de productos internos con más de tres dimensiones, las nociones de proyección en un vector y rechazo de un vector se pueden generalizar a las nociones de proyección en un hiperplano y rechazo de un hiperplano . En álgebra geométrica , se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y rechazo de un multivector general sobre / desde cualquier hoja k invertible .
Ver también
Proyección escalar
Notación vectorial
Referencias
^ a b c "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
^ a b c "Proyecciones escalares y vectoriales" . www.ck12.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
^ Perwass, G. (2009). Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería . pag. 83. ISBN 9783540890676.
^ "Productos de punto y proyecciones" .
^ Hill, FS Jr. (1994). Gemas gráficas IV . San Diego: Prensa académica. págs. 138-148.
^ MJ Baker, 2012. Proyección de un vector en un plano. Publicado en www.euclideanspace.com.