Proyección vectorial

La proyección vectorial de un vector a sobre (o sobre) un vector b distinto de cero , a veces denotado (también conocido como componente vectorial o resolución vectorial de a en la dirección de b ), es la proyección ortogonal de a sobre una línea recta paralela a b . Es un vector paralelo a b , definido como: ${\displaystyle \operatorname {proyecto} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

donde es un escalar, llamado proyección escalar de a sobre b , y b̂ es el vector unitario en la dirección de b . ${\ estilo de visualización a_ {1}}$

donde el operador ⋅ denota un producto punto , ‖ a ‖ es la longitud de a , y θ es el ángulo entre a y b .

La proyección escalar es igual a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b . El componente vectorial o vector resuelto de a perpendicular a b , a veces también llamado vector rechazo de a desde b (denotado ), ^[2] es la proyección ortogonal de a sobre el plano (o, en general, hiperplano ) ortogonal a b . Tanto la proyección a ₁ como el rechazo a ₂ de un vector a${\displaystyle \operatorname {oproj}_{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$son vectores, y su suma es igual a a , lo que implica que el rechazo viene dado por:${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.}$

Por lo general, una proyección vectorial se indica en negrita (p. ej ., un ₁ ) y la proyección escalar correspondiente con fuente normal (p. ej ., un ₁ ). En algunos casos, especialmente en la escritura a mano, la proyección del vector también se denota usando un diacrítico encima o debajo de la letra (p. ej., o un ₁ ). La proyección vectorial de a sobre b y el rechazo correspondiente a veces se denotan por a _{∥ b} y a _{⊥ b} , respectivamente.${\displaystyle {\vec{a}}_{1}}$

La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b . Es decir, se define como

Proyección de a sobre b ( a ₁ ) y rechazo de a desde b ( a ₂ ).

Cuando 90° < θ ≤ 180°, a ₁ tiene una dirección opuesta con respecto a b .

Si 0° ≤ θ ≤ 90°, como en este caso, la proyección escalar de a sobre b coincide con la longitud de la proyección vectorial.