Par de Wilf-Zeilberger

En  matemáticas , específicamente en  combinatoria , un  par Wilf-Zeilberger , o  par WZ , es un par de  funciones que se pueden usar para certificar ciertas identidades combinatorias  . Los pares WZ llevan el nombre de  Herbert S. Wilf y  Doron Zeilberger , y son fundamentales en la evaluación de muchas  sumas que involucran  coeficientes binomiales , factoriales y, en general, cualquier  serie hipergeométrica . La contraparte WZ de una función se puede usar para encontrar una suma equivalente y mucho más simple. Aunque encontrar pares de WZ a mano no es práctico en la mayoría de los casos,El algoritmo de Gosper proporciona un método seguro para encontrar la contraparte WZ de una función y se puede implementar en un  programa de manipulación simbólica .

Definición

Dos  funciones F  y  G forman un par WZ si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k),}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.}$

Juntas, estas condiciones aseguran que

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

porque la función G telescopios :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k),}$

eso es

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)=const.}$

La constante no depende de  n . Su valor se puede encontrar sustituyendo  n = n ₀ por un n ₀ particular  .

Si  F  y  G forman un par WZ, entonces satisfacen la relación

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1),}$

donde es una función racional de n y k y se denomina certificado de prueba WZ .${\displaystyle R(n,k)}$

Ejemplo

Se puede utilizar un par de Wilf-Zeilberger para verificar la identidad

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}={2n \choose n}.}$

Divida la identidad por su lado derecho:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}}{2n \choose n}}=1.}$

Utilice el certificado de prueba

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}}$

para verificar que el lado izquierdo no depende de  n , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}}{2n \choose n}},\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

Ahora F  y  G forman un par de Wilf-Zeilberger.

Para probar que la constante en el lado derecho de la identidad es 1, sustituya  n  = 0,  por ejemplo.

Referencias

• Marko Petkovsek ; Herbert Wilf y Doron Zeilberger (1996). A = B . AK Peters. ISBN 1-56881-063-6.
• Tefera, Akalu (2010), "¿Qué es ... una pareja de Wilf-Zeilberger?" (PDF) , Avisos de AMS , 57 (4): 508–509.

Ver también

• Método Almkvist-Zeilberger , un análogo del método WZ para evaluar integrales definidas .

enlaces externos

• El algoritmo de Gosper proporciona un método para generar pares WZ cuando existen.
• Generatingfunctionology proporciona detalles sobre el método WZ de certificación de identidad.