Integral
En matemáticas , una integral asigna números a funciones de una manera que describe el desplazamiento, el área , el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales . El proceso de encontrar integrales se llama integración . Junto con la diferenciación , la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo , [a] y sirve como herramienta para resolver problemas en matemáticas y física que involucran el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido. entre otros.
Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas , que pueden interpretarse como el área con signo de la región en el plano que está delimitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos de la recta real . Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también se refieren al concepto de antiderivada , una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se denominan integrales indefinidas . El teorema fundamental del cálculo relaciona integrales definidas con diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.
Aunque los métodos para calcular áreas y volúmenes datan de las matemáticas griegas antiguas , los principios de integración fueron formulados independientemente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a fines del siglo XVII, quienes pensaban en el área bajo una curva como una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal. . Bernhard Riemann más tarde dio una definición rigurosa de integrales, que se basa en un procedimiento de limitación que aproxima el área de una región curvilínea rompiendo la región en losas verticales delgadas.
Las integrales pueden generalizarse según el tipo de función, así como el dominio sobre el que se realiza la integración. Por ejemplo, una integral de línea se define para funciones de dos o más variables, y el intervalo de integración se reemplaza por una curva que conecta los dos puntos finales del intervalo. En una integral de superficie , la curva se reemplaza por una parte de una superficie en un espacio tridimensional .
La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de agotamiento del antiguo astrónomo griego Eudoxo ( ca. 370 aC), que buscaba encontrar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de divisiones para las cuales el área o volumen se conocía. [1] Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo III a. C. y se usó para calcular el área de un círculo , el área de superficie y el volumen de una esfera , el área de una elipse , el área bajo una parábola., el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral . [2]
Un método similar fue desarrollado independientemente en China alrededor del siglo III d.C. por Liu Hui , quien lo usó para encontrar el área del círculo. Este método fue utilizado más tarde en el siglo V por los matemáticos chinos de padre e hijo Zu Chongzhi y Zu Geng para encontrar el volumen de una esfera. [3]
