En matemáticas, la ondícula de Haar es una secuencia de funciones de "forma cuadrada" reescaladas que juntas forman una familia o base de ondículas . El análisis de ondículas es similar al análisis de Fourier en el sentido de que permite representar una función objetivo en un intervalo en términos de una base ortonormal . La secuencia de Haar ahora se reconoce como la primera base de ondículas conocida y se utiliza ampliamente como ejemplo de enseñanza.
La secuencia de Haar fue propuesta en 1909 por Alfréd Haar . [1] Haar usó estas funciones para dar un ejemplo de un sistema ortonormal para el espacio de funciones cuadradas integrables en el intervalo unitario [0, 1]. El estudio de las ondículas, e incluso el término "ondículas", no llegó hasta mucho más tarde. Como caso especial de la ondícula de Daubechies , la ondícula de Haar también se conoce como Db1 .
La ondícula de Haar es también la ondícula más simple posible. La desventaja técnica de la ondícula de Haar es que no es continua y, por lo tanto, no es diferenciable . Sin embargo, esta propiedad puede ser una ventaja para el análisis de señales con transiciones repentinas ( señales discretas ), como la monitorización de fallos de herramientas en máquinas. [2]
La función de la ondícula madre de la ondícula de Haar se puede describir como
Su función de escala se puede describir como
Funciones Haar y sistema Haar
Para cada par n , k de enteros en, la función de Haar ψ n , k se define en la línea real por la fórmula
Esta función se apoya en el intervalo de apertura a la derecha I n , k = [ k 2 - n , ( k +1) 2 - n ) , es decir , desaparece fuera de ese intervalo. Tiene integral 0 y norma 1 en el espacio de Hilbert L 2 ( ) ,
Las funciones de Haar son ortogonales por pares ,
dónde representa el delta de Kronecker . Aquí está la razón de la ortogonalidad: cuando los dos intervalos de apoyo y no son iguales, entonces son disjuntos, o el más pequeño de los dos soportes, digamos , está contenida en la mitad inferior o superior del otro intervalo, en el que la función permanece constante. En este caso se deduce que el producto de estas dos funciones de Haar es un múltiplo de la primera función de Haar, por lo que el producto tiene la integral 0.
El sistema Haar en la línea real es el conjunto de funciones
Está completo en L 2 (): El sistema Haar en la línea es una base ortonormal en L 2 ().
Propiedades de la ondícula de Haar
La ondícula de Haar tiene varias propiedades notables:
- Cualquier función real continua con soporte compacto puede aproximarse uniformemente mediante combinaciones lineales dey sus funciones cambiadas. Esto se extiende a aquellos espacios funcionales donde cualquier función en ellos puede aproximarse mediante funciones continuas.
- Cualquier función real continua en [0, 1] puede aproximarse uniformemente en [0, 1] mediante combinaciones lineales de la función constante 1 ,y sus funciones cambiadas. [3]
- Ortogonalidad en la forma
Aquí, representa el delta de Kronecker . La función dual de ψ ( t ) es la propia ψ ( t ).
- Las funciones wavelet / escalado con diferente escala n tienen una relación funcional: [4] ya que
- se deduce que los coeficientes de escala n pueden calcularse mediante coeficientes de escala n + 1 :
- Si
- y
- luego
En esta sección, la discusión se limita al intervalo unitario [0, 1] y a las funciones de Haar que son compatibles con [0, 1]. El sistema de funciones considerado por Haar en 1910, [5] llamado sistema Haar en [0, 1] en este artículo, consiste en el subconjunto de ondas Haar definidas como
con la adición de la función constante 1 en [0, 1].
En términos de espacio de Hilbert , este sistema de Haar en [0, 1] es un sistema ortonormal completo , es decir , una base ortonormal , para el espacio L 2 ([0, 1]) de funciones cuadradas integrables en el intervalo unitario.
El sistema de Haar en [0, 1] —con la función constante 1 como primer elemento, seguido de las funciones de Haar ordenadas según el orden lexicográfico de parejas ( n , k ) - es además una base monótona de Schauder para el espacio L p ( [0, 1]) cuando 1 ≤ p <∞ . [6] Esta base es incondicional cuando 1 < p <∞ . [7]
Existe un sistema Rademacher relacionado que consta de sumas de funciones de Haar,
Observe que | r n ( t ) | = 1 en [0, 1). Este es un sistema ortonormal pero no está completo. [8] [9] En el lenguaje de la teoría de la probabilidad , la secuencia de Rademacher es una instancia de una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli independientes con media 0. La desigualdad de Khintchine expresa el hecho de que en todos los espacios L p ([0, 1] ), 1 ≤ p <∞ , la secuencia de Rademacher es equivalente a la base del vector unitario en ℓ 2 . [10] En particular, el intervalo lineal cerrado de la secuencia de Rademacher en L p ([0, 1]), 1 ≤ p <∞ , es isomorfo a ℓ 2 .
El sistema Faber-Schauder
El sistema de Faber-Schauder [11] [12] [13] es la familia de funciones continuas en [0, 1] que consta de la función constante 1 , y de múltiplos de integrales indefinidas de las funciones en el sistema Haar en [0, 1], elegido para tener norma 1 en la norma máxima . Este sistema comienza con s 0 = 1 , luego s 1 ( t ) = t es la integral indefinida que desaparece en 0 de la función 1 , primer elemento del sistema Haar en [0, 1]. A continuación, para cada entero n ≥ 0 , las funciones s n , k se definen mediante la fórmula
Estas funciones s n , k son continuas, lineal a trozos , apoyado por el intervalo I n , k que también soportes Psi n , k . La función s n , k es igual a 1 en el punto medio x n , k del intervalo I n , k , lineal en ambas mitades de ese intervalo. Toma valores entre 0 y 1 en todas partes.
El sistema de Faber-Schauder es una base de Schauder para el espacio C ([0, 1]) de funciones continuas en [0, 1]. [6] Para cada f en C ([0, 1]), la suma parcial
de la expansión en serie de f en el sistema de Faber-Schauder es la función lineal continua por partes que concuerda con f en los 2 n + 1 puntos k 2 - n , donde 0 ≤ k ≤ 2 n . A continuación, la fórmula
da una forma de calcular la expansión de f paso a paso. Dado que f es uniformemente continua , la secuencia { f n } converge uniformemente af . De ello se deduce que la expansión de la serie de Faber-Schauder de f converge en C ([0, 1]), y la suma de esta serie es igual af .
El sistema Franklin
El sistema de Franklin se obtiene del sistema de Faber-Schauder mediante el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt . [14] [15] Dado que el sistema de Franklin tiene el mismo tramo lineal que el del sistema Faber-Schauder, este tramo es denso en C ([0, 1]), por lo tanto en L 2 ([0, 1]). Por lo tanto, el sistema de Franklin es una base ortonormal para L 2 ([0, 1]), que consta de funciones lineales continuas por partes. P. Franklin demostró en 1928 que este sistema es una base de Schauder para C ([0, 1]). [16] El sistema de Franklin también es una base de Schauder incondicional para el espacio L p ([0, 1]) cuando 1 < p <∞ . [17] El sistema de Franklin proporciona una base de Schauder en el álgebra de disco A ( D ). [17] Esto fue probado en 1974 por Bočkarev, después de que la existencia de una base para el álgebra de disco permaneciera abierta durante más de cuarenta años. [18]
La construcción de Bočkarev de una base de Schauder en A ( D ) es la siguiente: sea f una función de Lipschitz de valor complejo en [0, π]; entonces f es la suma de una serie de coseno con coeficientes absolutamente sumables . Sea T ( f ) el elemento de A ( D ) definido por la serie compleja de potencias con los mismos coeficientes,
La base de Bočkarev para A ( D ) está formada por las imágenes bajo T de las funciones en el sistema de Franklin en [0, π]. Descripción equivalente de Bočkarev para el mapeo T se inicia mediante la extensión de f a un incluso Lipschitz función g 1 en [-π, π], identificado con una función de Lipschitz en el círculo unitario T . Luego, sea g 2 la función conjugada de g 1 , y defina T ( f ) como la función en A ( D ) cuyo valor en el límite T de D es igual ag 1 + i g 2 .
Cuando se trata de funciones continuas 1-periódicas, o más bien con funciones continuas f en [0, 1] tales que f (0) = f (1) , se elimina la función s 1 ( t ) = t del sistema de Faber-Schauder , para obtener el sistema periódico Faber-Schauder . El sistema de Franklin periódico se obtiene por ortonormalización a partir del sistema periódico de Faber-Schauder. [19] Se puede probar el resultado de Bočkarev en A ( D ) demostrando que el sistema de Franklin periódico en [0, 2π] es una base para un espacio de Banach A r isomorfo a A ( D ). [19] El espacio A r consta de funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua.
Matriz de haar
La matriz de Haar 2 × 2 que está asociada con la ondícula de Haar es
Usando la transformada de ondícula discreta , se puede transformar cualquier secuencia de longitud uniforme en una secuencia de vectores de dos componentes . Si uno multiplica a la derecha cada vector con la matriz, se obtiene el resultado de una etapa de la transformada rápida de ondas de Haar. Por lo general, uno separa las secuencias s y d y continúa con la transformación de la secuencia s . La secuencia s a menudo se denomina parte de promedios , mientras que d se conoce como parte de detalles . [20]
Si se tiene una secuencia de longitud múltiplo de cuatro, se pueden construir bloques de 4 elementos y transformarlos de manera similar con la matriz Haar 4 × 4
que combina dos etapas de la transformada rápida de ondas de Haar.
Compare con una matriz de Walsh , que es una matriz 1 / –1 no localizada.
Generalmente, la matriz de Haar 2N × 2N se puede derivar mediante la siguiente ecuación.
- dónde y es el producto Kronecker .
El producto Kronecker de, dónde es una matriz m × n y es una matriz ap × q, se expresa como
Una matriz de Haar de 8 puntos no normalizada se muestra a continuación
Tenga en cuenta que la matriz anterior es una matriz de Haar no normalizada. La matriz de Haar requerida por la transformada de Haar debe normalizarse.
De la definición de la matriz de Haar , se puede observar que, a diferencia de la transformada de Fourier, tiene solo elementos reales (es decir, 1, -1 o 0) y no es simétrico.
Tome la matriz de Haar de 8 puntos como ejemplo. La primera fila de mide el valor promedio, y la segunda fila de mide un componente de baja frecuencia del vector de entrada. Las siguientes dos filas son sensibles a la primera y segunda mitad del vector de entrada, respectivamente, que corresponde a componentes de frecuencia moderada. Las cuatro filas restantes son sensibles a las cuatro secciones del vector de entrada, que corresponde a componentes de alta frecuencia. [21]
Haar transform
La transformada de Haar es la más simple de las transformadas wavelet . Esta transformada multiplica de forma cruzada una función contra la ondícula de Haar con varios cambios y estiramientos, como la transformada de Fourier multiplica de forma cruzada una función contra una onda sinusoidal con dos fases y muchos estiramientos. [22] [ aclaración necesaria ]
Introducción
La transformada de Haar es una de las funciones de transformación más antiguas, propuesta en 1910 por el matemático húngaro Alfréd Haar . Se encuentra eficaz en aplicaciones como la compresión de señales e imágenes en ingeniería eléctrica e informática, ya que proporciona un enfoque simple y computacionalmente eficiente para analizar los aspectos locales de una señal.
La transformada de Haar se deriva de la matriz de Haar. A continuación se muestra un ejemplo de una matriz de transformación Haar 4x4.
La transformada de Haar se puede considerar como un proceso de muestreo en el que las filas de la matriz de transformación actúan como muestras de resolución cada vez más fina.
Compare con la transformada de Walsh , que también es 1 / –1, pero no está localizada.
Propiedad
La transformada de Haar tiene las siguientes propiedades
- 1. No hay necesidad de multiplicaciones. Solo requiere adiciones y hay muchos elementos con valor cero en la matriz de Haar, por lo que el tiempo de cálculo es corto. Es más rápida que la transformada de Walsh , cuya matriz está compuesta por +1 y −1.
- 2. La longitud de entrada y salida es la misma. Sin embargo, la longitud debe ser una potencia de 2, es decir .
- 3. Se puede utilizar para analizar la característica localizada de señales. Debido a la propiedad ortogonal de la función Haar, se pueden analizar los componentes de frecuencia de la señal de entrada.
Transformada Haar y Transformada Haar inversa
La transformada de Haar y n de una función de n entradas x n es
La matriz de la transformada de Haar es real y ortogonal. Por tanto, la transformada inversa de Haar se puede derivar mediante las siguientes ecuaciones.
- dónde es la matriz de identidad. Por ejemplo, cuando n = 4
Por lo tanto, la transformada inversa de Haar es
Ejemplo
Los coeficientes de la transformada de Haar de una señal de = 4 puntos se puede encontrar como
La señal de entrada se puede reconstruir perfectamente mediante la transformada inversa de Haar.
Ver también
- Reducción de dimensión
- Matriz de Walsh
- Transformada de Walsh
- Wavelet
- Chirplet
- Señal
- Característica similar a un pelo
- Onda de Strömberg
- Transformación diádica
Notas
- ^ ver p. 361 en Haar (1910) .
- ^ Lee, B .; Tarng, YS (1999). "Aplicación de la transformada de ondícula discreta a la monitorización de fallos de herramienta en fresado final utilizando la corriente del motor del cabezal". Revista internacional de tecnología de fabricación avanzada . 15 (4): 238–243. doi : 10.1007 / s001700050062 .
- ↑ A diferencia de la afirmación anterior, este hecho no es obvio: ver p. 363 en Haar (1910) .
- ^ Vidakovic, Brani (2010). Modelado estadístico por Wavelets (2 ed.). págs. 60, 63. doi : 10.1002 / 9780470317020 .
- ^ p. 361 en Haar (1910)
- ^ a b ver pág. 3 en J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
- ^ El resultado se debe a RE Paley , Una serie notable de funciones ortogonales (I) , Proc. London Math. Soc. 34 (1931) págs. 241-264. Ver también p. 155 en J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Classical Banach spaces II, Function spaces". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 .
- ^ "Sistema ortogonal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Walter, Gilbert G .; Shen, Xiaoping (2001). Wavelets y otros sistemas ortogonales . Boca Ratón: Chapman. ISBN 1-58488-227-1.
- ^ ver por ejemplo p. 66 en J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
- ^ Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (en alemán) 19 : 104-112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
- ^ Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28 : 317–320.
- ^ Golubov, BI (2001) [1994], "Sistema Faber-Schauder" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ ver Z. Ciesielski, Propiedades del sistema Franklin ortonormal . Studia Math. 23 1963 141-157.
- ^ Sistema de Franklin. BI Golubov (creador), Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
- ^ Philip Franklin, Un conjunto de funciones ortogonales continuas , Matemáticas. Ana. 100 (1928), 522-529.
- ^ a b S. V. Bočkarev, Existencia de una base en el espacio de funciones analíticas en el disco y algunas propiedades del sistema de Franklin . Estera. Sb. 95 (1974), 3–18 (ruso). Traducido en matemáticas. URSS-Sb. 24 (1974), 1-16.
- ^ La pregunta aparece p. 238, §3 en el libro de Banach, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires , Monografie Matematyczne, 1 , Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901. El álgebra de disco A ( D ) aparece como Ejemplo 10, p. 12 en el libro de Banach.
- ^ a b Véase la pág. 161, III.D.20 y pág. 192, III.E.17 en Wojtaszczyk, Przemysław (1991), espacios de Banach para analistas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 25 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. Xiv + 382, ISBN 0-521-35618-0
- ^ Ruch, David K .; Van Fleet, Patrick J. (2009). Teoría de ondas: un enfoque elemental con aplicaciones . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-38840-2.
- ^ "haar" . Fourier.eng.hmc.edu. 30 de octubre de 2013 . Consultado el 23 de noviembre de 2013 .
- ^ La transformación de Haar
Referencias
- Haar, Alfréd (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen , 69 (3): 331–371, doi : 10.1007 / BF01456326 , hdl : 2027 / uc1.b2619563
- Charles K. Chui, Introducción a Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
- Traducción al inglés del artículo fundamental de Haar: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf [ enlace muerto permanente ]
enlaces externos
- "Sistema Haar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Implementación gratuita de filtrado de ondas de Haar y demostración interactiva
- Eliminación de ruido de ondas de Haar y compresión de señal con pérdida
Haar transform
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