En la teoría de modelos , una estructura débilmente o-mínima es una estructura teórica de modelos cuyos conjuntos definibles en el dominio son solo uniones finitas de conjuntos convexos.
Definición
Una estructura linealmente ordenada , M , con el lenguaje L que incluye una relación de ordenamiento <, se llama débilmente o-mínimo si cada subconjunto de M definible paramétricamente es una unión finita de subconjuntos convexos (definibles). Una teoría es débilmente o-mínima si todos sus modelos son débilmente o-mínimos.
Nótese que, en contraste con la o-minimidad , es posible que una teoría tenga modelos que sean débilmente o-mínimos y tener otros modelos que no sean débilmente o-mínimos. [1]
Diferencia de o-minimidad
En una estructura mínima lo definible se establece en son uniones finitas de puntos e intervalos, donde intervalo representa conjuntos de la forma, para algunos a y b en. Para estructuras débilmente o mínimasesto se relaja para que los conjuntos definibles en M sean uniones finitas de conjuntos definibles convexos. Un conjuntoes convexa si cada vez que un y b son en, a < b y c ∈ satisface que un < c < b , a continuación, c está en C . Los puntos y los intervalos son, por supuesto, conjuntos convexos, pero hay conjuntos convexos que no son puntos ni intervalos, como se explica a continuación.
Si tenemos una estructura débilmente o mínima que se expande ( R , <), el campo ordenado real, entonces la estructura será o mínima. Sin embargo, las dos nociones son diferentes en otros entornos. Por ejemplo, deja que R sea el campo ordenado de verdaderos números algebraicos con el orden usual
de modo que el conjunto consta de todos los números algebraicos reales estrictamente positivos que son menores que π . El conjunto es claramente convexa, pero no se puede escribir como una unión finita de puntos e intervalos cuyos extremos están en R . Para escribirlo como un intervalo, uno tendría que incluir el punto final π , que no está en R , o uno requeriría infinitos intervalos, como la unión
Dado que tenemos un conjunto definible que no es una unión finita de puntos e intervalos, esta estructura no es mínima. Sin embargo, se sabe que la estructura es débilmente o-mínima y, de hecho, la teoría de esta estructura es débilmente o-mínima. [2]
Notas
- ^ MADickmann, Eliminación de cuantificadores para anillos de valoración ordenados , The Journal of Symbolic Logic, Vol. 52, núm. 1 (marzo de 1987), págs. 116-128.
- ^ D. Macpherson, D. Marker, C. Steinhorn, Estructuras débilmente o-mínimas y campos cerrados reales , Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 352 (2000), núm. 12, págs. 5435-5483, MR 1781273 .