En lógica matemática , y más específicamente en teoría de modelos , una estructura infinita ( M , <, ...) que está totalmente ordenada por
La O-minimidad puede considerarse como una forma débil de eliminación de cuantificadores . Una estructura M es o-minimal si y sólo si cada fórmula con una variable libre y parámetros en M es equivalente a una fórmula libre de cuantificador que implica solamente el ordenamiento, también con parámetros en M . Esto es análogo a las estructuras mínimas , que son exactamente la propiedad análoga hasta la igualdad.
Una teoría T es una teoría o-mínima si todo modelo de T es o-mínimo. Se sabe que la teoría completa T de una estructura o-mínima es una teoría o-mínima. [1] Este resultado es notable porque, en contraste, la teoría completa de una estructura mínima no necesita ser una teoría fuertemente mínima , es decir, puede haber una estructura elementalmente equivalente que no es mínima.
Definición de la teoría de conjuntos
Las estructuras O-mínimas pueden definirse sin recurrir a la teoría de modelos. Aquí definimos una estructura en un conjunto no vacío M de una manera teórica de conjuntos, como una secuencia S = ( S n ), n = 0,1,2, ... tal que
- S n es un álgebra booleana de subconjuntos de M n
- si A ∈ S n entonces M × A y A × M están en S n +1
- el conjunto {( x 1 , ..., x n ) ∈ M n : x 1 = x n } está en S n
- si A ∈ S n +1 y π : M n +1 → M n es el mapa de proyección en las primeras n coordenadas, entonces π ( A ) ∈ S n .
Si M tiene un orden lineal denso sin puntos finales en él, digamos <, entonces una estructura S en M se llama o-mínima si satisface los axiomas adicionales
- el conjunto {( x , y ) ∈ M 2 : x < y } está en S 2
- los conjuntos en S 1 son precisamente las uniones finitas de intervalos y puntos.
La "o" significa "orden", ya que cualquier estructura o-mínima requiere un orden en el conjunto subyacente.
Definición de la teoría del modelo
Las estructuras O-mínimas se originaron en la teoría de modelos y, por lo tanto, tienen una definición más simple, pero equivalente, utilizando el lenguaje de la teoría de modelos. [2] Específicamente si L es un lenguaje que incluye una relación binaria <, y ( M , <, ...) es una L -estructura donde
Ejemplos de
Ejemplos de teorías o-mínimas son:
- La teoría completa de los órdenes lineales densos en el lenguaje con solo el ordenamiento.
- RCF, la teoría de los campos cerrados reales . [4]
- La teoría completa del campo real con funciones analíticas restringidas agregadas (es decir, funciones analíticas en una vecindad de [0,1] n , restringidas a [0,1] n ; tenga en cuenta que la función seno no restringida tiene infinitas raíces, por lo que no puede ser definible en una estructura mínima.)
- La teoría completa del campo real con un símbolo para la función exponencial por el teorema de Wilkie . De manera más general, se agregó la teoría completa de los números reales con funciones de Pfaffian .
- Los dos últimos ejemplos pueden combinarse: dada cualquier expansión mínima o mínima del campo real (como el campo real con funciones analíticas restringidas), se puede definir su cierre pfaffiano, que es de nuevo una estructura mínima o mínima. [5] (El cierre de Pfaffian de una estructura es, en particular, cerrado bajo cadenas de Pfaffian donde se utilizan funciones definibles arbitrarias en lugar de polinomios).
En el caso de RCF, los conjuntos definibles son los conjuntos semialgebraicos . Así, el estudio de estructuras y teorías o-mínimas generaliza la geometría algebraica real . Una de las principales líneas de investigación actual se basa en el descubrimiento de expansiones del campo ordenado real que son mínimas. A pesar de la generalidad de la aplicación, se puede mostrar mucho sobre la geometría de conjuntos definibles en estructuras o-mínimas. Hay un teorema de descomposición celular, [6] teoremas de estratificación de Whitney y Verdier y una buena noción de dimensión y característica de Euler.
Ver también
Notas
- ^ Knight, Pillay y Steinhorn (1986), Pillay y Steinhorn (1988).
- ^ Marcador (2002) p.81
- ^ La condición de que la interpretación de
MR 0899083 y MR0943306 . - ^ Marcador (2002) p.99
- ↑ Patrick Speisseger, Pfaffian sets and o-minimalality, in: Lecture notes on o-minimal estructuras y geometría analítica real, C. Miller, J.-P. Rolin y P. Speissegger (eds.), Fields Institute Communications vol. 62, 2012, págs. 179–218. doi : 10.1007 / 978-1-4614-4042-0_5
- ^ Marcador (2002) p.103
Referencias
- van den Dries, Lou (1998). Topología domesticada y estructuras mínimas . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 248 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045 .
- Marker, David (2000). "Revisión de" Topología domesticada y estructuras mínimas " " (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 37 (3): 351–357. doi : 10.1090 / S0273-0979-00-00866-1 .
- Marker, David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas. 217 . Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034 .
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Conjuntos definibles en estructuras ordenadas I" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 295 (2): 565–592. doi : 10.2307 / 2000052 . JSTOR 2000052 . Zbl 0662.03023 .
- Knight, Julia ; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Conjuntos definibles en estructuras ordenadas II" . Transacciones de la American Mathematical Society . 295 (2): 593–605. doi : 10.2307 / 2000053 . JSTOR 2000053 . Zbl 0662.03024 .
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). "Conjuntos definibles en estructuras ordenadas III" . Transacciones de la American Mathematical Society . 309 (2): 469–476. doi : 10.2307 / 2000920 . JSTOR 2000920 . Zbl 0707.03024 .
- Wilkie, AJ (1996). "Resultados de completitud del modelo para expansiones del campo ordenado de números reales por funciones restringidas de Pfaffian y la función exponencial" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 9 (4): 1051–1095. doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00216-0 .
- Denef, J .; van den Dries, L. (1989). "conjuntos p -ádicos y subanalíticos reales". Annals of Mathematics . 128 (1): 79-138. doi : 10.2307 / 1971463 . JSTOR 1971463 .
enlaces externos
- Servidor de preimpresión de teoría de modelos
- Servidor de preimpresión de geometría real algebraica y analítica