En geometría , el problema de Weber , que lleva el nombre de Alfred Weber , es uno de los problemas más famosos de la teoría de la ubicación . Requiere encontrar un punto en el avión que minimice la suma de los costos de transporte desde este punto hasta n puntos de destino, donde diferentes puntos de destino están asociados con diferentes costos por unidad de distancia.
El problema de Weber generaliza la mediana geométrica , que supone que los costos de transporte por unidad de distancia son los mismos para todos los puntos de destino, y el problema de calcular el punto de Fermat , la mediana geométrica de tres puntos. Por esta razón, a veces se le denomina problema de Fermat-Weber, aunque también se ha utilizado el mismo nombre para el problema de la mediana geométrica no ponderada. El problema de Weber se generaliza a su vez por el problema de atracción-repulsión , que permite que algunos de los costos sean negativos, de modo que mayor distancia de algunos puntos es mejor.
Definición e historia de los problemas de Fermat, Weber y atracción-repulsión
El problema de Fermat | El problema de Weber | El problema de la atracción y la repulsión | |
---|---|---|---|
Primero formulado por | Fermat (antes de 1640) | Simpson (1750) | Tellier (1985) |
Solución geométrica del problema del triángulo. | Torricelli (1645) | Simpson (1750) | Tellier (2013) |
Solución numérica directa del problema del triángulo | Tellier (1972) | Tellier (1972) | Tellier (1985) |
Solución numérica iterativa del problema | Kuhn y Kuenne (1962) | Kuhn y Kuenne (1962) | Chen, Hansen, Jaumard y Tuy (1992) |
En el caso del triángulo, el problema de Fermat consiste en ubicar un punto D con respecto a tres puntos A, B y C de tal manera que se minimice la suma de las distancias entre D y cada uno de los otros tres puntos. Fue formulado por el famoso matemático francés Pierre de Fermat antes de 1640, y puede verse como el verdadero comienzo tanto de la teoría de la ubicación como de la economía espacial. Torricelli encontró una solución geométrica a este problema alrededor de 1645, pero aún no tenía una solución numérica directa más de 325 años después. Kuhn y Kuenne [1] encontraron una solución iterativa para el problema general de Fermat en 1962 y, en 1972, Tellier [2] encontró una solución numérica directa al problema del triángulo de Fermat, que es trigonométrico. La solución de Kuhn y Kuenne se aplica al caso de polígonos que tienen más de tres lados, lo que no es el caso de la solución de Tellier por las razones que se explican más adelante.
El problema de Weber consiste, en el caso del triángulo, en ubicar un punto D con respecto a tres puntos A, B y C de tal manera que se minimice la suma de los costos de transporte entre D y cada uno de los otros tres puntos. El problema de Weber es una generalización del problema de Fermat, ya que involucra fuerzas de atracción iguales y desiguales (ver más abajo), mientras que el problema de Fermat solo trata con fuerzas de atracción iguales. Fue formulado por primera vez y resuelto geométricamente en el caso del triángulo por Thomas Simpson en 1750. [3] Más tarde fue popularizado por Alfred Weber en 1909. [4] La solución iterativa de Kuhn y Kuenne encontrada en 1962, y la solución de Tellier encontrada en 1972 se aplican tanto al problema del triángulo de Weber como al de Fermat. La solución de Kuhn y Kuenne se aplica también al caso de polígonos que tienen más de tres lados.
En su versión más simple, el problema de atracción-repulsión consiste en ubicar un punto D con respecto a tres puntos A 1 , A 2 y R de tal forma que las fuerzas de atracción ejercidas por los puntos A 1 y A 2 , y la fuerza repulsiva ejercida por el punto R se cancelan entre sí como debe hacerlo en el óptimo. Constituye una generalización de los problemas de Fermat y Weber. Fue formulado y resuelto por primera vez, en el caso del triángulo, en 1985 por Luc-Normand Tellier . [5] En 1992, Chen, Hansen, Jaumard y Tuy encontraron una solución al problema de Tellier para el caso de polígonos que tienen más de tres lados.
La solución geométrica de Torricelli del problema del triángulo de Fermat
La solución geométrica de Evangelista Torricelli del problema del triángulo de Fermat surge de dos observaciones:
1– el punto D está en su ubicación óptima cuando cualquier movimiento significativo fuera de esa ubicación induce un aumento neto de la distancia total a los puntos de referencia A, B y C, lo que significa que el punto óptimo es el único punto donde un movimiento infinitesimal hacia uno de los tres puntos de referencia induce una reducción de la distancia a ese punto que es igual a la suma de los cambios inducidos en las distancias a los otros dos puntos; de hecho, en el problema de Fermat, la ventaja de reducir la distancia de A en un kilómetro es igual a la ventaja de reducir la distancia de B en un kilómetro o la distancia de C en la misma longitud; en otras palabras, la actividad que se ubicará en D es igualmente atraída por A, B y C;
2- según un importante teorema de la geometría euclidiana, en un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios (es decir, su suma es igual a 180 °); ese teorema también puede tomar la siguiente forma: si cortamos un círculo con una cuerda AB, obtenemos dos arcos circulares, digamos AiB y AjB; en el arco AiB, cualquier ángulo ∠AiB es el mismo para cualquier punto i elegido, y, en el arco AjB, todos los ángulos ∠AjB también son iguales para cualquier punto j elegido; además, los ángulos ∠AiB y ∠AjB son suplementarios.
Se puede demostrar que la primera observación implica que, en el óptimo, los ángulos entre las líneas rectas AD, BD y CD deben ser iguales a 360 ° / 3 = 120 °. Torricelli dedujo de esa conclusión que:
1– si cualquier triángulo ABD, cuyo ángulo ∠ADB es igual a 120 °, genera un cuadrilátero convexo ABDE inscrito en un círculo, el ángulo ∠ABE del triángulo ABE debe ser igual a (180 ° - 120 °) = 60 °;
2– una forma de determinar el conjunto de ubicaciones de D para las que el ángulo ∠ADB es igual a 120 ° es dibujar un triángulo ABE equilátero (porque cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60 °), donde E está ubicado fuera el triángulo ABC y dibuja un círculo alrededor de ese triángulo; entonces todos los puntos D 'de la circunferencia de ese círculo que se encuentran dentro del círculo ABC son tales que el ángulo ∠AD'B es igual a 120 °;
3– se puede hacer el mismo razonamiento con respecto a los triángulos ACD y BCD;
4– esto lleva a dibujar otros dos triángulos equiláteros ACF y BCG, donde F y G están ubicados fuera del triángulo ABC, así como otros dos círculos alrededor de estos triángulos equiláteros, y determinar la ubicación donde se cruzan los tres círculos; en esa ubicación, los ángulos entre las líneas rectas AD, BD y CD son necesariamente iguales a 120 °, lo que demuestra que es la ubicación óptima.
Solución geométrica de Simpson del problema del triángulo de Weber
La solución geométrica de Simpson del llamado "problema del triángulo de Weber" (que fue formulado por primera vez por Thomas Simpson en 1750) se deriva directamente de la solución de Torricelli. Simpson y Weber destacaron el hecho de que, en un problema de minimización total del transporte, la ventaja de acercarse a cada punto de atracción A, B o C depende de lo que se transporta y de su costo de transporte. En consecuencia, la ventaja de acercarse un kilómetro a A, B o C varía, y los ángulos ∠ADB, ∠ADC y ∠BDC ya no necesitan ser iguales a 120 °.
Simpson demostró que, al igual que en el caso del problema del triángulo de Fermat, los triángulos construidos ABE, ACF y BCG eran equiláteros porque las tres fuerzas de atracción eran iguales, en el caso del problema del triángulo de Weber, los triángulos construidos ABE, ACF y BCG , donde E, F y G se encuentran fuera del triángulo ABC, debe ser proporcional a las fuerzas de atracción del sistema de ubicación.
La solución es tal que:
1– en el triángulo construido ABE, el lado AB es proporcional a la fuerza de atracción C w apuntando hacia C, el lado AE es proporcional a la fuerza de atracción B w apuntando hacia B, y el lado BE es proporcional a la fuerza de atracción A w apuntando hacia A;
2– en el triángulo construido BCG, el lado BC es proporcional a la fuerza de atracción A w apuntando hacia A, el lado BG es proporcional a la fuerza de atracción B w apuntando hacia B, y el lado CG es proporcional a la fuerza de atracción C w apuntando hacia C;
3– el punto óptimo D está ubicado en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos ABE y BCG.
Se puede dibujar un tercer triángulo de fuerzas ACF, donde F se encuentra fuera del triángulo ABC, en función del lado AC, y se puede trazar una tercera circunferencia alrededor de ese triángulo. Esa tercera circunferencia cruza las dos anteriores en el mismo punto D.
Solución geométrica de Tellier del problema del triángulo de atracción-repulsión
Existe una solución geométrica para el problema del triángulo de atracción-repulsión. Su descubrimiento es bastante reciente. [6] Esa solución geométrica difiere de las dos anteriores ya que, en este caso, los dos triángulos de fuerza construidos se superponen al triángulo de ubicación A 1 A 2 R (donde A 1 y A 2 son puntos de atracción y R, uno de repulsión) , mientras que en los casos anteriores nunca lo hicieron.
Esta solución es tal que:
1– en el triángulo construido RA 2 H, que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación A 1 A 2 R, el lado RA 2 es proporcional a la fuerza de atracción A1 w apuntando hacia A 1 , el lado derecho es proporcional a la fuerza de atracción A2 w apuntando hacia A 2 , y el lado A 2 H es proporcional a la fuerza repulsiva R w que empuja lejos del punto R;
2– en el triángulo construido RA 1 I, que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación A 1 A 2 R, el lado RA 1 es proporcional a la fuerza de atracción A2 w apuntando hacia A 2 , el lado RI es proporcional a la fuerza de atracción A1 w apuntando hacia A 1 , y el lado A 1 I es proporcional a la fuerza repulsiva R w que se aleja del punto R;
3- el punto óptimo D está ubicado en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos RA 2 H y RA 1 I. Esta solución es inútil si una de las fuerzas es mayor que la suma de las otras dos o si los ángulos no son compatibles. En algunos casos, ninguna fuerza es mayor que las otras dos y los ángulos no son compatibles; entonces, la ubicación óptima se encuentra en el punto que ejerce la mayor fuerza de atracción.
Solución trigonométrica de Tellier de los problemas del triángulo de Fermat y Weber
Más de 332 años separan la primera formulación del problema del triángulo de Fermat y el descubrimiento de su solución numérica no iterativa, mientras que existió una solución geométrica durante casi todo ese período de tiempo. ¿Hay alguna explicación para eso? Esa explicación radica en la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores orientados hacia los tres puntos de atracción no coincidan. Si esos orígenes coinciden y se encuentran en la ubicación óptima P, los vectores orientados hacia A, B y C, y los lados del triángulo de ubicación ABC forman los seis ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, y ∠6, y los tres vectores forman la ∠α A , ∠α B y ∠α C ángulos. Es fácil escribir las siguientes seis ecuaciones que unen seis incógnitas (los ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6) con seis valores conocidos (ángulos ∠A, ∠B y ∠C, cuyos valores se dan, y ángulos ∠α A , ∠α B y ∠α C , cuyos valores dependen únicamente de la magnitud relativa de las tres fuerzas de atracción que apuntan hacia los puntos de atracción A, B y C):
- ∠1 + ∠2 = ∠C;
- ∠3 + ∠4 = ∠A;
- ∠5 + ∠6 = ∠B;
- ∠1 + ∠6 + ∠α A = 180 °;
- ∠2 + ∠3 + ∠α B = 180 °;
- ∠4 + ∠5 + ∠α C = 180 °.
Desafortunadamente, este sistema de seis ecuaciones simultáneas con seis incógnitas es indeterminado, y la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores orientados hacia los tres puntos de atracción no coincidan explica por qué. En el caso de no coincidencia, observamos que las seis ecuaciones siguen siendo válidas. Sin embargo, la ubicación óptima P ha desaparecido debido al agujero triangular que existe dentro del triángulo. De hecho, como ha demostrado Tellier (1972) [7] , ese agujero triangular tenía exactamente las mismas proporciones que los “triángulos de fuerzas” que dibujamos en la solución geométrica de Simpson.
Para resolver el problema, debemos agregar a las seis ecuaciones simultáneas un séptimo requisito, que establece que no debe haber un agujero triangular en el medio del triángulo de ubicación. En otras palabras, los orígenes de los tres vectores deben coincidir.
La solución de Tellier de los problemas del triángulo de Fermat y Weber implica tres pasos:
1– Determine los ángulos ∠α A , ∠α B y ∠α C que sean tales que las tres fuerzas de atracción A w, B w y C w se cancelen entre sí para asegurar el equilibrio. Esto se hace mediante las siguientes ecuaciones independientes:
- cos ∠α A = - ( B w 2 + C w 2 - A w 2 ) / (2 B w C w);
- cos ∠α B = - ( A w 2 + C w 2 - B w 2 ) / (2 A w C w);
- cos ∠α C = - ( A w 2 + B w 2 - C w 2 ) / (2 A w B w);
2– Determine el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación deriva del requisito de que el punto D debe coincidir con el punto E):
- tan ∠3 = (k sen k ') / (1 + k cos k');
donde k = (CB / CA) (sin ∠α B / sin ∠α A ), y k '= (∠A + ∠B + ∠α C ) - 180 °;
3– Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas donde ahora se conoce ∠3:
- ∠1 + ∠2 = ∠C;
- ∠3 + ∠4 = ∠A;
- ∠5 + ∠6 = ∠B;
- ∠1 + ∠6 + ∠α A = 180 °;
- ∠2 + ∠3 + ∠α B = 180 °;
- ∠4 + ∠5 + ∠α C = 180 °.
Solución trigonométrica de Tellier del problema de atracción-repulsión de un triángulo
Tellier (1985) [8] extendió el problema de Fermat-Weber al caso de las fuerzas repulsivas. Examinemos el caso del triángulo donde hay dos fuerzas de atracción A1 w y A2 w, y una fuerza repulsiva R w. Aquí, como en el caso anterior, existe la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores no coincidan. Entonces la solución debe requerir su coincidencia. La solución trigonométrica de Tellier de este problema es la siguiente:
1– Determine el ángulo ∠e:
- cos ∠e = - ( A1 w 2 + A2 w 2 - R w 2 ) / (2 A1 w A2 w);
2– Determine el ángulo ∠p:
- cos ∠p = - ( A1 w 2 + R w 2 - A2 w 2 ) / (2 A1 w R w);
3– Determine el ángulo ∠c:
- ∠c = 180 ° - ∠p;
4– Determine el ángulo ∠d:
- ∠d = ∠e - ∠c;
5– Determine el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación deriva del requisito de que el punto D debe coincidir con el punto E):
- tan ∠3 = x / y;
donde x = sin ∠f - (RA 1 / RA 2 ) (sin ∠d sin [∠e - ∠b] / sin ∠c); e y = (RA 1 / RA 2 ) (sen ∠d cos [∠e - ∠b] / sen ∠c) - cos ∠f;
6– Determine ∠1:
- ∠1 = 180 ° - ∠e - ∠3;
7– Determine ∠5:
- ∠5 = 180 ° - ∠b - ∠c - ∠1;
8– Determine ∠2:
- ∠2 = ∠a - ∠5.
Soluciones iterativas de los problemas de Fermat, Weber y atracción-repulsión
Cuando el número de fuerzas es superior a tres, ya no es posible determinar los ángulos que separan las distintas fuerzas sin tener en cuenta la geometría del polígono de ubicación. Los métodos geométricos y trigonométricos son entonces impotentes. En tales casos, se utilizan métodos de optimización iterativos. Kuhn y Kuenne (1962) [9] sugirieron un algoritmo basado en mínimos cuadrados reponderados iterativamente generalizando el algoritmo de Weiszfeld para el problema no ponderado . Su método es válido para los problemas de Fermat y Weber que involucran muchas fuerzas, pero no para el problema de atracción-repulsión. En este método, para encontrar una aproximación al punto y minimizando la suma ponderada de distancias
se encuentra una aproximación inicial a la solución y 0 , y luego en cada etapa del algoritmo se acerca a la solución óptima estableciendo y j + 1 como el punto que minimiza la suma de las distancias ponderadas al cuadrado
donde los pesos iniciales w i de los puntos de entrada se dividen por las distancias de cada punto a la aproximación de la etapa anterior. Como solución óptima única para un problema de mínimos cuadrados ponderados, cada aproximación sucesiva se puede encontrar como un promedio ponderado:
Para el problema de atracción-repulsión, se debe recurrir al algoritmo propuesto por Chen, Hansen, Jaumard y Tuy (1992). [10]
Interpretación de la teoría de la renta de la tierra a la luz del problema de atracción-repulsión
En el mundo de la economía espacial , las fuerzas repulsivas son omnipresentes. Los valores de la tierra son la principal ilustración de ellos. De hecho, una parte sustancial de la teoría del valor de la tierra , tanto rural como urbana, se puede resumir de la siguiente manera.
En el caso de que todo el mundo se sienta atraído por un único punto de atracción (el mercado rural o el distrito central de negocios urbano), la competencia entre los distintos postores que quieran ubicarse en el centro generará valores de la tierra que transformarán el punto de atracción único de la ciudad. sistema en un punto de repulsión desde el punto de vista del valor de la tierra y, en el equilibrio, cada habitante y actividad se ubicará en el punto donde se anularán las fuerzas atractivas y repulsivas que ejerce el centro sobre ellos.
El problema de la atracción-repulsión y la nueva geografía económica
El problema de Tellier precedió al surgimiento de la Nueva Geografía Económica . Es visto por Ottaviano y Thisse (2005) [11] como un preludio de la Nueva Geografía Económica (NEG) que se desarrolló en la década de 1990, y se ganó Paul Krugman un premio conmemorativo Nobel en ciencias económicas en 2008. El concepto de fuerza de atracción es similar al concepto NEG de aglomeración o fuerza centrípeta, y el concepto de fuerza repulsiva es similar al concepto NEG de fuerza de dispersión o centrífuga.
Notas
- ^ Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Revista de ciencia regional 4, 21–34.
- ^ Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, no. 3, págs. 215-233.
- ^ Simpson, Thomas, 1750, La doctrina y la aplicación de fluxions , Londres.
- ^ Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien , Tübingen, JCB Mohr) - traducción al inglés: The Theory of the Location of Industries , Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 páginas.
- ^ Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie Spacial: Racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
- ^ Tellier, Luc-Normand, 2013, «Anexo 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d'attraction-répulsion», anexo del artículo de Pierre Hansen, Christophe Meyer y Luc-Normand Tellier, «Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique: compatibilité, convergence et avantages comparés », en Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II: méthodologies , Québec, Presses de l'Université du Québec.
- ^ Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, no. 3, págs. 215-233.
- ^ Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie Spacial: Racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
- ^ Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Revista de ciencia regional 4, 21–34.
- ^ Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte y Hoang Tuy, 1992, "Problema de Weber con la atracción y la repulsión", Revista de ciencia regional 32, 467–486.
- ^ Ottaviano, Gianmarco y Jacques-François Thisse, 2005, «Nueva geografía económica: ¿qué pasa con la N? », Medio ambiente y planificación A 37, 1707-1725.
Referencias
- Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte y Hoang Tuy, 1992, "El problema de Weber con la atracción y la repulsión", Journal of Regional Science 32, 467–486.
- Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Revista de ciencia regional 4, 21–34.
- Ottaviano, Gianmarco y Jacques-François Thisse, 2005, «Nueva geografía económica: ¿y la N? », Medio ambiente y planificación A 37, 1707-1725.
- Simpson, Thomas, 1750, La Doctrina y Aplicación de Fluxions, Londres.
- Tellier, Luc-Normand y Boris Polanski, 1989, “El problema de Weber: frecuencia de diferentes tipos de soluciones y extensión a fuerzas repulsivas y procesos dinámicos”, Journal of Regional Science , vol 29, no. 3, pág. 387–405.
- Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, no. 3, págs. 215-233.
- Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie Spacial: Racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
- Tellier, Luc-Normand, 2013, «Anexo 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d'attraction – répulsion», anexo del artículo de Pierre Hansen, Christophe Meyer y Luc-Normand Tellier, «Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique: compatibilité, convergence et avantages comparés », en Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II: méthodologies , Québec, Presses de l'Université du Québec.
- Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien , Tübingen, JCB Mohr) - traducción al inglés: The Theory of the Location of Industries , Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 páginas.
- Wesolowski, Georges, 1993, «El problema de Weber: historia y perspectiva», Location Science , vol. 1, pág. 5-23.
enlaces externos
- "Problema de Weber" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]